Hasta ahora en esta sub unidad, hemos estado viendo ecuaciones
diferenciales de dos dimensiones
y funciones iterativas de dos dimensiones
En esta parte de la unidad, voy a presentar
ecuaciones diferenciales de
tres dimensiones. Ahora tendremos
3 variables para poder observar, X, Y y Z
y el plano de fase se volverá un espacio de fase
Al introducir ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones, 3D, veremos
un sistema conocido como ecuación de Lorenz
Comencemos
La ecuación de Lorenz son tres ecuaciones diferenciales, es
un sistema de ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones
Fue introducido a comienzos de la década del '60
por Edward Lorenz, un meteorólogo del MIT
Él propuso este modelo muy muy simple de las convecciones
que se producen en la atmósfera
El comenzó con modelos más complejos
y separó estos modelos hasta encontrar estas 3, que fueron diseñadas
como otros modelos que hemos visto para ofrecer una suerte de
caricatura o esquema de algunos aspectos de la convección
y tal vez del clima.
No se preocupen por el origen físico, lo interpretaremos
simplemente como 3 variables
sin importar qué significan, X, Y y Z
Esta ecuación tiene 3 parámetros y estos parámetros son letras griegas
sigma, ro y beta.
Este es un sistema dinámico determinista
igual a los que estudiamos antes
Ahora tenemos 3 variables, X, Y y Z
y dadas unas condiciones iniciales, en los puntos X, Y y Z
La trayectoria futura de estos puntos está determinada por esta ecuación
Esta dirección nos dice que tienen que hacer X, Y y Z
Y estas 3 ecuaciones están juntas, porque por ejemplo X depende de Y
Y depende de X y Z y así sucesivamente
La evolución de estas 3 variables están todas vinculadas
Ok, quiero mostrar algunas soluciones
y discutir esas soluciones de la ecuación de Lorenz para 3
elecciones diferentes de los parámetros
Y la primera elección que voy a hacer
es sigma = 10, ro = 9 y beta = 8/3
Entonces si escojo estos tres parámetros
estos tres valores de parámetros
los pongo aquí, escojo una condición incial para el valor de X, de Y y de Z
y puedo resolver estas ecuaciones produciendo soluciones utilizando
el método de Euler o en este caso uso el método de Runge Kutta en phyton
pero la misma idea básica y podemos hacerlo y obtendremos 3 soluciones
Obtendremos una solución para X como una función de t
Esto es tiempo, esto es X, creo que esto comienza en 10 y la X
serpentea y se aproxima a un punto fijo
Podemos mirar a Y, se solapa un poquito
La Y se comporta de una manera similar.
Comienza en 10 y luego serpentea de esta forma
Y aquí tenemos a Z, Z se ve un poco diferente
Z empieza en 10, pero luego va para arriba
y luego también seprentea
En el caso de dos dimensiones, cuando teníamos conejos y zorros
teníamos una curva para conejos y otra curva para zorros
y lo graficábamos como conejos contra zorros, para observar
el plano de fase y sacábamos al tiempo
y sólo mirábamos como los conejos y los zorros estaban vinculados
Aquí tenemos X, Y y Z y si queremos deshacernos del tiempo
tenemos un gráfico de 3 dimensiones
X, Y y Z
Otra vez para ser claros, podemos pensar que aquí capturamos la posición X
nos movemos de este modo
Esto puede describir la posición de Y
y esta será la posición de Z, cuán alto o bajo es esta cosa
Graficamos estos dos juntos, es una cosa de 3 dimensiones, es difícil de
visualizar a las 3 dimensiones en un papel de 2 dimensiones, pero haremos el intento
Aquí hay un gráfico de las 3 soluciones una contra otra
Esto es X, esto es Y y esto es Z
X e Y están aisladas y Z también está aislada
Esto se verá más o menos así
Un movimiento que alcanza un punto fijo en algún lugar por aquí
El punto es que se espiraliza alrededor en X, Y y en Z
y termina en un punto fijo
Esta es un tipo de conducta que podemos ver en ecuaciones diferenciales
de 3 dimensiones como ésta.
Tenemos un atractor de punto fijo que espiraliza, su órbita se espiraliza
en los ejes aislados X, Y y Z, a medida que se aproxima al punto fijo.
Miremos las soluciones de estas ecuaciones
para otro conjunto de valores de parámetros
Ahora le asigno a sigma el valor 10, a beta el valor 8/3 pero ahora a
ro le asigno el valor 160
Veamos como se ven las soluciones
Primero veamos la curva para X
Este es un sistema dinámico conocemos los valores de los parámetros
conocemos los valores de inicio que determinan los valores futuros
con el método de Euler para resolverlas o con algo como eso,
produciremos estas curvas
Comenzamos en 10, primero sube
pero para el momento del tiempo en que llego a 3 o 4, se asienta
en una especie de ciclo regular
no es perfecto, tenemos estos graciosos zigzags
pero sea lo que fuere, siempre se repite, por ejemplo de aquí a aquí
es lo mismo que de aquí a aquí y así sucesivamente
Veamos que ocurre con Y
Aquí está la solución para Y
también aquí hay un zigzag inicial bien grande, pero luego se asienta
en algo que se repite, de aquí a aquí es lo mismo que de aquí a aquí
Es un poco raro, es otra forma de ciclo, sube y baja, no sé bien
cómo se ve esto, el punto es que sea lo que sea, se repite.
Es repetitivo, es una especie de ciclo
y por último veamos a Z
Aquí esta la parte de la solución de Z
arriba,
Otra vez, hay un gran zigzag inicial pero luego hay una sacudida y encontramos
otra vez una clase de conducta cíclica
Esto se repite aquí, y se repite allí
Ahora nos preguntamos cómo se ve en un espacio de 3 dimensiones
graficamos X, Y y Z juntos
Creo que esto representa la posición de X de un objeto, esta la posición de Y
esta la posición de Z, cuál será la curva que se traza en el espacio
Para tener una figura de esto voy a ver, en vez de ir de 0 a 6
voy a ir desde 10 a 60
esto nos dará una mejor visión de cual es la conducta de retorno
Resolviendo de 0 a 10, pero sólo graficando de 10 a 60
Aquí en el eje de las X podemos ver
como se repite el zigzag
Veamos si puedo describir este movimiento en la dirección de las X
Empezamos con X negativo
Comienza aquí, se mueve hacia arriba, es positivo, luego abajo,
arriba, como esto
Este movimiento debe ser algo como esto
Subo mis dedos
es el punto donde se mueven alrededor en el espacio de fase
Aquí tenemos a Y
Este movimiento de Y se verá
algo regular, como un zigzag regular
arriba y abajo
regular en el sentido de que se repite no regular en el sentido de un subir
y bajar lineal, como una onda sinoidal
y esto será Z
veamos esto va para arriba lejos y luego abajo, arriba y abajo
Esto se ve algo así
arriba
Así es como se describe este movimiento
Entonces el movimiento total será de estas tres cosas todas ocurriendo
al mismo tiempo. Habrá un arriba
a lo largo de este movimiento en la dirección de X y este en la dirección
de Y
Si graficamos esto en 3D, proyectado en un pedazo de papel
Obtenemos la siguiente forma
algo así
Se mueve arriba y abajo en Z, se mueve de lado a lado en X, de lado a lado en Y
y si los combinamos todos juntos obtenemos esta estructura
Se repite en el espacio, puedo imaginarme que es una mosca moviéndose
en una habitación
se mueve así en espiral
y vuelve allí
Esta es una solución periódica
algo que quiero enfatizar, es que
al igual que 2 dimensiones, en 3 dimensiones las líneas del
espacio de fase, no pueden cruzarse
Miremos aquí, parece que se están cruzando
pero en verdad, estas líneas están arriba de las que van debajo
mis dedos se están cruzando, pero no realmente porque hay una separación
entre ellos
Recordemos nuevamente las líneas de Y no pueden cruzarse, se puede tener
este tipo de cruzamiento en un diagrama de fase, que violaría la condición del
determinismo
Si imaginamos a este objeto moviéndose en un espacio de 3 dimensiones
lo que estas ecuaciones nos dicen, es que hay un único conjunto de direcciones
en cada punto del espacio. Si las líneas se cruzan, entonces tendríamos una
dirección que no es única y esto violaría la condición determinista.
Aquí tenemos alguna conducta periódica complicada, pero aún así es periódica
vuelve a donde comenzó y una vez que vuelve se repite para siempre
esa es la naturaleza determinista.
Otra forma de decirlo es, que esta dinámica, junto con el conocimiento
del punto en el espacio en cualquier momento determina el valor de la
curva en el futuro. Y por supuesto también en el pasado.
Este es un tipo de conducta que podemos ver en 3 dimensiones
Es una conducta cíclica pero notemos que es más complicada en el sentido
de la conducta que vimos para sistemas de 2 dimensiones
debido a que el período vuelve sobre sí mismo, pero no realmente porque
se lo impiden las propiedades de las 3 dimensiones.
Hemos visto un punto fijo y hemos visto un ciclo periódico
veamos otro tipo de conducta
aquí está
Otra vez, sigma valdrá 10, beta 2/3 pero ahora ro será 28
estos son valores de parámetros famosos para este sistema
estos son los que Lorenz usó en su artículo
Otra vez estos valores de parámetros, especifican las condiciones iniciales
y estos determinan una curva, el método de Euler es una forma
de darnos cuenta qué tipo de curva es
y si lo hacemos obtenemos esto
y creo que esta curva ya la mostramos antes, cuando estuvimos hablando
del caos en la unidad 3, creo, parece que pasó mucho tiempo
Lo que hay que notar aquí es que hay una cierta clase de regularidad
zigzaguea espaciadamente pero no hay un patrón regular
aquí tenemos 3 abajo, 5 arriba, dos abajo dos arriba, 3 abajo y así sucesivamente
parece que hay un patrón aquí pero es aperiódico, no se repite.
Podemos ver algo similar en Y, hay alguna correlación entre estos dos
si miramos cuidadosamente, podemos ver que las curvas no son exáctamente
idénticas pero similares, otra vez hay una suerte de conducta regular
en términos del tiempo, se duplica en el tiempo
pero la trayectoria misma es aperiódica, no se repite
Y por último podemos ver la solución de Z, aquí está
Luce diferente de X e Y
pero otra vez notamos que no se repite
zigzaguea arriba y abajo, pero las alturas del zigzag cambian siempre
primero más pequeñas, luego más grandes
arriba y abajo, arriba y abajo y así sucesivamente
Podemos hacer la misma cosa para el otro conjunto de soluciones
graficarlas, no contra el tiempo, sino X contra Y contra Z en un espacio
de fase de 3 dimensiones y ver qué es lo que ocurre
y eso es algo que deberá esperar hasta la unidad 8
Lo veremos pronto, ustedes lo pueden buscar o codificar por su propia cuenta
la ecuación de Lorenz y observar como es la forma que queda