أهلاً ومرحباً بكم في الوحدة السابعة.
لحد الآن في هذه الدورة، لقد نظرنا إلى الأنظمة الديناميكية أحادية البعد على وجه الحصر تقريباً.
نظرنا كيف يتغير رقم وحيد - غالباً كثافة سكانية أو ربما درجة حرارة - خلال الزمن.
في هذه الوحدة، سننظر إلى أنظمة ديناميكية ثنائية وثلاثية البعد، وسأقدّم هؤلاء خلال عدّة أمثلة.
أنظمة فولتيرا-لوتكا، أنظمة لورينز، كلاهما معادلات تفاضلية، وثمّ خريطة هينون أيضاً، والتي هي تابع تكراري ثنائي البعد.
أحد المفاهيم أو الأفكار الرئيسية التي ستنشأ من مفهوم الفراغ المرحلي هذا، تعميم لفكرة الفراغ المرحلي،
وسنرى أنّ هذه تقنية مفيدة جداً لتحليل هذه الأنظمة ذات الأبعاد الأعلى.
لن يكون هناك كثيراً من الشواش في هذه الوحدة.
سنصطدم به بضع مرات، لكن الشواش ذو البعد الأعلى، الشواش ثنائي وثلاثي البعد،
سنوفره للوحدة التالية، وحدة 8، حيث سنقابل جاذبات غريبة.
المثال الأول الذي سأقوم به في هذه الوحدة، في نظام فولتيرا لوتكا، وسأبدأ من خلال تذكيرنا بشكلٍ سريع بالمعادلات التفاضلية أحادية البعد.
إذاً دعونا نبدأ.
في الوحدات السابقة، لقد نظرنا إلى معادلات تفاضلية أحادية البعد.
دعوني أذكركم بذلك بسرعة هنا.
إذاً لقد نظرنا إلى معادلات بهذا الشكل. (dp/dT = f(P. إذاً يقول هذا أنّ مقدار التطور لـ P هو دالة ما لـ P.
بالتفكير بمصطلحات كثافة سكانية، إذا عرفت الكثافة السكانية P، يخبرني هذا كم هي سرعة تغير الكثافة السكانية.
مثال قد نظرنا إلية بتفصيل أكثر في المعادلة التفاضلية اللوجيستية، وهنا نسخة واحدة لذلك (معادلة).
إذاً قد يقول هذا بأنّ مشتق الـ P، مقدار التطور لـ P، هو 2 ضرب P ضرب1 ناقص P تقسيم 100.
وإذاً لقد فسّرنا 2 كنوع ما لمقدار التطور و 100 كالسعة الحاملة.
إذاً تذكروا أنّنا نعرض هذا كنظام ديناميكي: نظام ديناميكي هو قاعدة تخبرنا كيف تتغير بعض الكمية في الزمن.
ها هي الكمية المهتمين بها وهي P. نريد أن نعرف كيف تتغير P في الزمن، والمعادلة التفاضلية قاعدة التي تحدد P لـ t،
إنّها تفعلها بطريقة غير مباشرة بدلاً من تحديد قيم P مباشرةً، تخبرنا كيف تتغير P.
لقد رأينا كيف نحلل هذا. أستطيع أن أرسم الجهة اليمنى. قد تبدو كهذا، إذاً هذا dP/dt.
هذه P. وهذا يخبرنا كيف يعتمد معدل النمو على الكثافة السكانية. سيكون هذا 100.
ودعونا نرى حلول لهذه (الدالة) تبدو شيئاً ما كهذا (الرسم البياني).
سأرسم خط منقط ونقول هذه P، هذه t، خط منقط هنا عند 100، الحلول - سأفعل هؤلاء بلون مختلف.
إن بدأت هنا، أزيد - تزداد الكثافة السكانية حتى تصل 100. قد يبدو هذا شيئاً ما كهذا.
إن بدأ فوق، تتناقص الكثافة السكانية، حتى تصطدم بـ 100.
إذاً لدينا نقطة ثابتة غير مستقرة عند 0، ونقطة ثابتة مستقرة عند 100.
ويمكننا أن نلخص ذلك السلوك في خط مرحلي. نقطتان ثابتتان أو توازنان عند 0 و 100...
وسيبدو شيئاً ما كهذا.
إذاً النقطة الثابتة عند 0، التوازن عند 0، ذلك غير مستقر. التوازن عند 100، ذلك مستقر.
إن كنّا بين 0 و 100، نرتفع. وإن كنّا فوق الـ 100، ننزل ونقترب من 100.
ومجدداً فقط لتأكيد هذا، هذا نظام ديناميكي. هناك قاعدة تحدد كيف تتغير P،
ويمكننا تخيل هذا الخط، قيم P هذه، إذا عرفنا قيمة P، نستطيع أن نستخدم المعادلة - نتبع القاعدة - التي تخبرنا كيف تتغير،
ويخبرنا ذلك بأي اتجاه نذهب، وكم هي كبيرةٌ هذه المنطقة - بأي اجاه نتحرك وبأي سرعة يجب أن نتحرك.
إذاً هؤلاء معادلات أحادية البعد، ولقد حللناهم منذ قليل.
الذي سنفعله تالياً هو أن ننظر لبعض المعادلات التفاضلية ثنائية البعد، وسنرى كيف هم مختلفين.
بالنسبة للمعادلات التفاضلية ثنائية البعد، نحن مهتمين بكيفية تغير مقدارين، وليس فقط مقدار واحد.
ولأكون واقعياً، سأقدّم هذا في سياق نماذج الكثافة السكانية، مثلما فعلنا للتطور اللوجيستي.
إذاً الآن سيكون لدينا كثاقتين سكانيتين. دعونا نقول أرانب وثعالب، والشيء الرئيسي هنا هو أنّ الثعالب تأكل الأرانب.
إذاً R سوف تكون عدد الأرانب، و F ستكون عدد الثعالب.
ولن نقلق حول الوحدات، سننتهي بوحدات كسرية مضحكة.
إذاً لن أقلق حقاً حول معايرة هؤلاء، إذاً كالمعتاد، لا تأخذ هؤلاء على محمل الجدية كثيراً كنموذج للأرانب والثعالب.
حسناً، إذاً القكرة لهذا النوع من المعادلة التفاضلية هي كالتالي: قد نريد أن نعرف، "كيف تتغير الكثافة السكانية للأرانب؟"
هذا معدل النمو للأرانب، والفكرة هي أنّ هذا يعتمد الآن على عدد الأرانب، وعدد الثعالب.
إذاً لكي نكتشف مقدار سرعة زيادة أو تقلص كثافة الأرانب السكانية، أحتاج أن أعرف ليس فقط عدد الأرانب، بل أيضاً عدد الثعالب.
وعلى نحوٍ مشابه، مقدار النمو للثعالب هو دالة الآن للأرانب والثعالب أيضاً.
هناك دوال مختلفة: سيكون مقدار النمو أكبر كلما كان يوجد أرانب أكثر، لأنه يوجد المزيد للثعالب لتأكله،
والقصة المعاكسة ستكون صحيحة من وجهة نظر الأرانب. معدل النمو سيكون أصغر وربما سالب إن كان هناك الكثير من الثعالب.
يوجد الكثير من الأمثلة المحتملة لهذا، وسأقوم بأبسط وأحد أشهر الأمثلة، والذي يدعى معادلة فولتيرا - لوتكا،
على ما أعتقد قدّمت في 1920 - 1929، بشكل مستقل بواسطة لوتكا وفولتيرا، وها هنا مثال واحد لهذا.
... ومقدار نمو الأرانب سيكون 0.2 Rf ناقص 0.6 F (الثعالب).
إذاً في فيديو اختياري في الوحدة الفرعية هذه، سأعطي استنتاج غير منظم للمكان الذي يأتي منه هذا، جدال غير دقيق للسبب الذي يجعلنا نتوقع أن نحصل على مصطلحات كهذه.
للآن دعونا نقبل هذا كنموذج فقط وسنحاول أن نفهمه ونعتبره كشيء رياضي.
قبل أن نحلل حلول لهذا، دعوني أؤكد مجدداً أنّ هذا نظام ديناميكي.
إنّنا نحاول الآن أن نستمر بمتابعة شيئين: الكثافة السكانية للأرانب والكثافة السكانية للثعالب، وهذه قاعدة تخبرنا كيف يعمل ذلك -
كيف تتغير الأرانب والثعالب مع الوقت.
يقول هذا، أنّ لمعرفة كيف تتغير الأرانب، أحتاج أن أعرف الأرانب والثعالب، ومن ثمّ لأعرف كيف تتغير الثعالب، أحتاج أن أعرف عدد الأرانب وعدد الثعالب.
إذاً إنّها مشابهة جداً للمعادلة اللوجيستية أحادية البعد أو أيّاً من معادلات أحادية البعد اللواتي قمنا بهم من قبل.
إنّنا نحدد مقدار التغير بشيءٍ ما كدالة لذلك الشيء.
الإختلاف الوحيد الآن هو أنّنا لدينا شيئين نستمر بمتابعتهم بدلاً من شيءٍ واحد.
إذاً طرق الحل التي تعلمناها للمعادلات التفاضلية أحادية البعد تنتقل إلى ثنائية البعد بشكل أكثر أو أقل.
خاصةً، معظم ما سأفعله في هذه الوحدة سيُظهر لكم حلول عددية لهذه المعادلات.
يعني ذلك أنني سأقوم بطريقة أويلر أو شيءٍ ما مثلها.
إذاً تذكر أنّ طريقة أويلر التي تقول أنّنا لدينا قيمة أولية ما، عدد أولي للأرانب، وعدد أولي للثعالب،
ونريد أن نعرف ما هو عدد الأرانب والثعالب بعد وقتٍ قليل، لذلك نوصل للجهة اليمنى ونحصل على مقدار التغيير
لهؤلاء الأرانب والثعالب.
ويتغير مقدار التغيير ذلك كل الوقت، لكن نتظاهر بأنّ مقدار التغيير ذلك ثابت طوال فاصل زمني،
وثمّ نحدّث عدد الأرانب والثعالب، ومن ثمّ نعيد تقييم المشتق وهكذا.
إذاً تلك هي طريقة أويلر. تحدثنا عنها كثيراً في الوحدة 2.
لا أريد أن أمضي بها مجدداً هنا: سأقدم لكم فقط نتائج طريقة أويلر.
الشيء الرئيسي هو أنّ طريقة أويلر تعمل لأنّ هذه طريقة غير مبهمة لوصف كيف تتغير الكثافة السكانية عبر الوقت.
إذا أخبرتك العدد الأولي للأرانب، العدد الأولي للثعالب وقلت، " ها هي القاعدة"،
يوجد حل واحد فقط للمعادلة التفاضلية وهو طريقة أويلر، أو أشياء مثلها سوف تقترب أكثر وأكثر لذلك الحل.
إذاً دعوني أريكم بعض الحلول لمعادلات فولتيرا - لوتكا.
مجدداً، ها هي المعادلات التفاضلية. معادلتين تفاضليتين، واحدة لكل R و F. وسنقول أنّ هؤلاء متقارنين بالمناسبة،
لأنّ R تعتمد على F و F تعتمد على R. مصائر الأرانب والثعالب متشابكة.
إنّهم متقارنين - مترابطين - معاً.
وثمّ لكي أحل معادلة تفاضلية، أحتاج أن أختار قيمة بداية.
سأتخيّل أنّ قيمتي الأوليّة لـ R هي 10 و F هي 6. إذاً يعني ذلك أنّ لدي 10 وحدات من الأرانب و 6 وحدات من الثعالب.
من يعلم، لم أكن لأفكر بهؤلاء كـ 10 أرانب حقيقية و 6 ثعالب. ربما يقيس هذا كتلة حيوية كلية، لذلك هذه 10 أطنان من الأرانب
وهناك 6 أطنان من الثعالب.
مجدداً، لم يقصد بهذا أن يكون صحيحاً بيولوجياً.
لكن الشيء الرئيسي هو أنّنا حصلنا على نقطة البداية التي تحدد بشكلٍ فريد الحلول (R(t و (F(t:
الأرانب كدالة للزمن والثعالب كدالة للزمن.
إذاً أستطيع أن أجعل حاسوب يقوم بذلك باستخدام طريقة أويلر، وستبدو النتيجة شيئاً ما كهذه.
إذاً ها هنا حل للأرانب. إذاً هذا هو الزمن (t)، مقاس بالأشهر أو بالسنين، من يعلم.
وها هي كثافة الأرانب السكانية مقاسة بأطنان الأرانب أو شيئاً ما.
إذاً نبدأ بـ 10، ذلك ما نراه هناك، ومن ثمّ تتحطم الكثافة السكانية للأرانب بسرعة جداً. يبدو أنّ الأزمنة سيئة للأرانب.
لكن بعد ذلك يتحسّنون! ويرتفعون لأكثر من 10 قليلاً، 11 تقريباً، أطنان من الأرانب.
ومن ثمّ تتحطم الكثافة السكانية مجدداً، ترتفع، تتحطم، مجدداً، وترتفع مجدداً وهكذا.
إذاً نرى دورة . يوجد بعض السلوك الدوري لكثافة الأرانب السكانية.
حسناً، إذاً هؤلاء هم الأرانب. ماذا عن الثعالب؟ دعونا ننظر إليهم.
إذاً ها هو حل الثعلب. هذا مجدداً، إنّه الزمن (t)، وهذه كثافة الثعالب السكانية، مجدداً مقاسة بأطنان الثعالب أو شيئاً ما كهذا.
يبدأ عن 6، بزداد بسرعة جداً لحوالي 11 تماماً، ثمّ تتحطم كثافة الثعالب السكانية - زمن سيء للثعالب - لكن بعد ذلك أزمنة جيدة مجدداً.
الكثير والكثير من الثعالب. وإنّها تدور.
إذاً نرى سلوك دوري أيضاً للثعالب.
إذاً لدينا أرانب - تتذبذب الكثافة السكانية، والثعالب - تتذبذب الكثافة السكانية.
قد تتساءل، "كيف هذه التذبذبات مترابطة؟"، وطريقة واحدة لرؤية ذلك هي أن نرسم هاتين الإثنتين بيانياً على نفس الرسم البياني.
أستطيع أن أقوم بذلك تقريباً هنا، إنّك تراه نوعاً ما، لكن من الأسهل القيام به بهذه الطريقة.
إذاً سنمضي القليل من الوقت بتحليل هذا. إذاً لدينا هنا أرانب وثعالب مرسومة بيانياً على نفس الرسم البياني.
إذاً لدينا الزمن (t) ولدينا الكثافة السكانية هنا، مقاسة بأطنان من الحيوانات، للثعالب أو الأرانب.
لقد قررت أن ألوّن الأرانب بالأزرق والثعالب بالأحمر. الثعالب غالباً ضاربة للحمرة نوعاً ما ولا أعرف، لا يوجد هناك أرانب زرقاء.
سيكون من الممتع لو كان هناك، لكن على أي حال، إذاً ثعالب حمراء وأرانب زرقاء!
دعونا نبدأ تحليل هذا الحل، نكتشف ماذا يحدث مع الانحدار الأولي هذا هنا.
إذاً يوجد هبوط في كثافة الأرانب السكانية هنا، وهذا ليس جبداً جداً للثعالب.
ماذا سوف تأكل الثعالب؟ لن يأكلوا كثيراً، وبالتالي لديك الكثير من الثعالب الجائعة، وإنّه من المحزن، أنّ كثافة الثعالب السكانية تتحطم هنا.
لكن الآن لا ييوجد الكثير من الثعالب، لذلك الأمور تبدو جيدة بالنسبة للأرانب.
لا يوجد كل هذه الثعالب الذين يأكلوهم على الدوام، لذلك تنمو كثافة الأرانب السكانية بسرعة لأنّه لا يوجد ثعالب حولهم لتتحكم بالأرانب.
ثمّ لدينا الكثير والكثير من الأرانب وتبدأ كثافة الثعالب السكانية بالنمو أيضاً.
إنّه من الجيد أن تكون ثعلباً إذا كان هناك الكثير من الأرانب لتأكلها.
إذاً عندئذٍ تزداد كثافة الثعالب السكانية أكثر وأكثر، وثمّ بالأعلى هنا (أو قبل هنا بقليل، لدينا الكثير والكثير من الثعالب،
ويبدأ هذا ليكون أخبار سيئة للأرانب مجدداً، وبالتالي تتحطم كثافة الأرانب السكانية - تنخفض - وتلك أخبار سيئة
للثعالب، لأنّه لا يوجد لديهم شيء ليأكلوه. الثعالب جائعة: تتحطم تلك الكثافة السكانية، والدورة تحدث مجداً.
إذاً نستطيع أن نرى الدورات لديها نفس المدة، والذي يبدو منطقيّاً نوعاً ما، وأنّ كثافة الأرانب السكانية ترتفع ويتبع ذلك
بإرتفاع في كثافة الثعالب السكانية. مجدداً، الأرانب زرقاء، الثعالب حمراء.
إذاً ترتفع الثعالب الزرقاء لأنّه لا يوجد الكثير من الثعالب، لكن تعود الثعالب بعد ذلك - إنّهم يبلون حسناً لأنّهم يأكلون كل الأرانب.
لكن عندئذٍ لا تبلي الأرانب جيداً جداً لأنّ الثعالب تأكلهم وهكذا.
إذاً إنّنا نرى هذه الدورات.
حسناً، سأريكم في الفيديو التالي طريقة أخرى لعرض هذا الذي قد تكون مساعدة أكثر،
وإنّها مفيدة جداً في الأنظمة الديناميكية، لكن أولاً سيكون هناك اختبار قصير سريع الذي يمكنكم المحاولة به إذا أردتم أن تختبروا قليلاً
وتفكروا بكيف يمكنكم القيام بطريقة أويلر لهذه المعادلات.