Creo que el fenómeno de universalidad en los sistemas físicos
Es absolutamente increíble
Observamos duplicación de periodos en sistemas físicos
Y esa duplicación de periodos se representa con Delta ( Δ )
Y esa Delta ( Δ ) tiene un valor que es igual para estos sistemas
Unidimensionales que hemos comenzado a estudiar con la ecuación
Logística y demás.
Si aún no estás convencido de que esto es increíble
Permíteme tratar de convencerte repasando la línea de razonamiento
Que nos ha conducido a este punto
Comencé hace bastante tiempo este curso hablando sobre
La ecuación logística y cuando la presenté dije:
"No tomes esta ecuación muy en serio"
Ciertamente no es un modelo realista sobre cómo los conejos pueden
Crecer o sobre cómo cualquier cosa puede crecer
Pero es más como un caricatura o boceto o tira cómica que nos da una
Imagen aproximada sobre cómo una población puede crecer
De acuerdo a cierto límite de crecimiento
Y después encontramos una sorprendente riqueza en esta ecuación
Una maravillosa riqueza cuando formamos el diagrama de bifurcación
Y nos acercamos una y otra vez
Y vemos estos patrones fractales y comportamiento complejo
Pero quizás hemos pensado que hubiera sido muy razonable creer
Bueno, solamente estamos jugando con el juego matemático
Es una ecuación que alguien le dijo a los conejos para motivarlos
Pero es solamente una pequeña ecuación
Y es realmente fantástico que haga todas esas cosas
Pero qué puede decir sobre el mundo real
Ya hemos un hablado un poco sobre esto
Y apelo al argumento de que esto demuestra que la más simple
O casi la más simple ecuación, función integral
Puede mostrar el efecto mariposa y la dependencia sensible
Y esa es una importante realización, y ciertamente lo es
Sin embargo, la ecuación logística parece ser
Un pequeño "modelo juguete"
Algo divertido para jugar
Entonces, en este capítulo comenzamos a ver unidades de coordenadas
Diagramas de bifurcación para diferentes ecuaciones
La ecuación De-saint ,la ecuación cúbica
Pudimos haber hecho muchas otras y vimos que el diagrama
De bifurcación era muy similar
Luego, presenté la noción de esta cantidad conocida como Delta
Observando las proporciones de las longitudes de las regiones del
Período 2, período 4 y período 8
Y obervamos que el mismo número aparecía 4.669201
Así que todas estas funciones diferentes
Resultaron comportarse igual, no exactamente igual, pero
Experimentan esta transición hacia el caos desde
El comportamiento periodo a periodo de la misma forma
Aún estamos en el reino de las matemáticas
Es un increíble hecho matemático, el que aún
Estemos en el reino de las matemáticas
Podríamos preguntar, qué tiene esto que decir sobre el mundo real
Así que ahora, experimentalistas, científicos y físicos han salido
Y han medido la duplicidad de periodos en un montón de
Diferentes fenómenos físicos y han calculado esta cantidad Delta
Esta proporción entre período 1 yperíodo 2
Período 2 y período 4 y así sucesivamente, y encontraron
Números consistentes con lo pronosticado por esta teoría 4.669
Así que comenzamos con una ridículamente simple, deliberadamente
Poco realista, ecuación, sin embargo, esta ecuación contiene
Cierta información en la forma de un número que uno puede salir
Y medir en sistemas físicos reales
Así que esto ciertamente nos dice algo profundo e importante
Que la naturaleza y las matemáticas , están de alguna forma
Limitadas en las formas en que una transición desde
Comportamiento periódico a comportamiento no-periódico
De comportamiento periódico ordenado hacia
Comportamiento caótico puede ocurrir
Al que se somete la duplicación de periodos, casi siempre
Va a hacer, en un conjunto de límite extremo, es hacer esta transición
De la misma forma
Así que todos estos diferentes fenómenos
Duplicación de periodos y "Rabbit equation" en computadoras
Y en ecuaciones de Saint en la computadora
Y en circuitos electrónicos y en rollos de convección y más
Todos tienen algún alguna característica similar
Existe alguna manera en que esta transición está limitada
Y esas características solamente pueden ocurrir de un manera
Así que esto también sugiere que algunos de los detalles
De los modelos matemáticos
Aparentemente no importan, porque observamos
El mismo comportamiento a través de
Una amplia gama de sistemas, esto significa que esta cantidad
Delta es universal
Así que claro, esto lleva a muchas preguntas
¿Cómo puede ser esto posible?
Y existen al menos dos partes en esta pregunta, creo,
La primera es un parte matemática
Cómo puede ser que todas estas funciones unidimensionales
Tengan la misma Delta y que experimenten duplicidad de periodos
En , esencialmente, la misma forma este número 4.66
La otra pregunta es
¿Qué tiene que ver un grifo con una ecuación unidimensional?
O mecánica de fluidos, donde tenemos rollos de convección
Moviéndose dentro de una pequeña caja
Estos ciertamente son "High Dimensional Systems"
Uno los modelaría con más que una ecuación unidimensional
Además también son sistemas continuos, no son discretos
Como las ecuaciones iterativas
La segunda pregunta
¿Qué tiene que ver una ecuación iterativa unidimensional con
sistemas físico-reales dimensionales más altos?
Lo discutiré en las siguientes unidades
En la siguiente sub-unidad, el siguiente grupo de clases,
Trataré de explicar el cómo puede ser matemáticamente
Posible que existan similaridades entre estas diferentes
Ecuaciones unidimensionales