En esta sub-unidad
veremos que la universalidad
no sólo es un fenómeno matemático
sino también un fenómeno físico.
El caos ocurre en sistemas físicos reales
y también la ruta al caos
por duplicación de período
Podemos calcular delta
para estos sistemas físicos
del mismo modo en que calculamos
el diagrama de bifurcación en la computadora.
Y veremos que los sistemas
tienen deltas muy similares
consistentes con el número 4.669201
Los experimentos son algo difíciles,
así que voy a describir una versión más simple
para darles una idea de cómo se da
la duplicación de periodo
y la bifurcación en sistemas físicos.
Para hacerlo
vamos a hacer una pequeña excursión.
Voy a desmontar esta cámara
y moverme por aquí...
y voy a caminar por el pasillo... por aquí...
Mi oficina está en un edificio extraño y viejo...
Iremos al baño, hay algo que ver aquí...
aquí vamos... este es el enfriador de agua...
el baño...
y aquí estamos
Lo que quiero mostrarles es esto,
es una llave que está goteando
puse un vaso de plástico debajo
balanceándolo con una esponja
para que quizá podamos escuchar el goteo.
Voy a acercar el micrófono
(sonido de agua goteando)
Resulta que las llaves que gotean
pueden ser periódicas
y pueden ser caóticas.
Un goteo periódico,
probablemente lo han escuchado antes,
gotea regulamente.
Así que goteará de manera regular...
gota... gota... gota... gota...
eso sería un goteo periódico.
Algunas veces tendrán un goteo
como éste, que no lo hacía así antes,
que gotea de forma irregular.
No hay un patrón obvio,
hay un intervalo diferente de tiempo
entre cada gota.
Esos son los goteos
que la mayoría de la gente
encuentra muy molestos,
porque es más difícil bloquearlos de la mente.
Si fuera un patrón periódico podríamos olvidarnos
restando de alguna manera el sonido
como un ruido o regularidad
que podemos aprender a ignorar.
Pero una gotera que es irregular,
y ésta parece serlo,
tiene la propiedad de ser más difícil de ignorar.
Siempre estamos esperando,
¿Cuando caerá la siguiente gota?
Y es un tiempo diferente
el que tenemos que esperar cada vez.
Bueno, vamos a regresar
y hablar más acerca de goteras.
De regreso en la seguridad de mi oficina,
hablemos un poco más de la llave goteante
la ecuación logística tiene un parámetro "r"
que interpretamos como la tasa de crecimiento.
Y vemos las bifurcaciones
conforme incrementamos
la tasa de crecimiento "r".
Lo mismo ocurre con la ecuación cúbica
y la ecuación sinusal,
hay un parámetro "r" que cambia
y vemos bifurcaciones.
¿Cuál es el valor del parámetro
para una llave que gotea?
Parece ser que el parámetro usado
en los experimentos es la tasa de flujo.
No controlamos el crecimiento
de conejos en una isla imaginaria,
sino la tasa de flujo de agua
fluyendo por la llave.
A esto le llamamos "r",
todavía es un tipo de tasa
y podemos imaginar variaciones de "r"
así que tenemos una perilla
que nos permite modificar "r"
en cantidades muy muy pequeñas.
De esta manera, al menos inicialmente
para un flujo muy pequeño
la llave gotea de manera periódica
con un periodo igual a uno.
Y este es el goteo estándar.
Probablemente será algo como
gota... gota... gota... gota... gota...
Con el mismo intervalo de tiempo entre cada gota.
Ahora imagina incrementear el flujo
un poco, un poco más, un poco más
y eventualmente podríamos observar
una bifurcación.
En lugar de ser un periodo 1,
las gotas son regulares pero con periodo 2.
Esto sonará algo como
gota, gota... gota, gota... gota, gota...
Tenemos que escuchar dos gotas
antes de que el periodo se repita.
No hay el mismo intervalo de tiempo
entre todas las gotas.
Pero sigue siendo regular.
Una vez que escuchamos las dos gotas,
cuando escuchamos la tercera
hemos vuelto donde habíamos comenzado.
Así que es un periodo 2.
Luego podemos incrementar el parámetro
ése es la tasa de flujo
girando la perilla sólo un poco más
y eventualmente veremos un comportamiento
de periodo 4
y puede sonar parecido a
gota, gota... gota... gota...
es un ciclo,
pero tenemos que escuchar cuatro gotas
antes de que el ciclo se repita
es perfectamente regular,
y predecible, pero ahora con periodo 4.
Y es posible girar un poco más la perilla
para incrementar la tasa de flujo
sólo un poco más
y observar un periodo de 8 ciclos
un comportamiento de 8 periodos
en el patrón de las gotas.
Se vuelve más y más difícil
ver estos comportamientos periódicos diferentes,
porque como vimos
en el diagrama de bifurcación,
ocurren en rangos cada vez más pequeños
de valores del parámetro,
rangos de valores del parámetro
Eventualmente cuando colocamos
la tasa de flujo lo suficientemente alto,
podemos ver comportamiento caótico,
habrá un intervalo diferente entre cada gota
no habrá un ciclo que se repita regularmente,
será irregular
Así que podemos analizar
los valores del parámetro
en los que ocurren las bifurcaciones
y calcular los deltas
como lo hicimos con el diagrama de bifurcación.
Si r1 es la tasa de flujo
en el cual el goteo cambia
de periodo 1 a periodo 2,
que es cuando vemos la bifurcación de 1 a 2.
r2 es la tasa de flujo
en el que las gotas cambian
de periodo 2 a periodo 4,
y r3 es el valor del flujo
en el que cambia de periodo 4 a periodo 8
Podemos calcular deltas para esto
de la misma forma que lo hicimos
para la ecuación logística.
Ésta es una ecuación en un segundo...
Delta uno es la región del parámetro,
en este caso la tasa de flujo,
es el rango de la tasa de flujo
en el que tenemos comportamiento de periodo 2
El comportamiento de periodo 2
inicia aquí y termina aquí,
así que la diferencia entre los dos
es lo que llamamos delta 1.
Y es la región de todas las tasas de flujo
donde tenemos comportamiento tipo 2
La misma historia aquí.
Aquí cambia el periodo de 2 a 4
y aquí de 4 a 8
así que entre estos dos valores
tenemos comportamiento de periodo 2
Y a eso lo llamamos delta 2.
Entonces podemos formar los deltas
igual como lo hicimos
cuando jugamos con números en la computadora
Entonces delta 1, definido así
es el rango de valores de parámetro
para el que las gotas son periodo 2
dividido por el rango de valores
en que las gotas son periodo 4.
Eso está dado por esto
Y si queremos hacer el experimento
veremos algo que está muy cerca de 4.669
No esperamos ver el valor exacto por dos razones.
La primera es el error experimental.
Es muy dificil precisar el valor de r
en donde ocurre la bifurcación
en la llave que gotea
Esa es una razón
por la cual no esperamos obtener
exactamente este número.
La otra razón es que
este resultado sólo es verdadero
cuando tenemos un número n muy grande.
Cuando hemos avanzado mucho
en la secuencia de duplicación del periodo.
No podemos llegar allá de manera experimental,
es muy difícil de hacer,
pero de cualquier forma,
como vimos en el diagrama de bifurcación
para la ecuación logística y sinusal
aún delta 1
es muy cercano a 4.669
No esperaríamos ver 4.669 exacto,
pero sí números muy cercanos.
Este es una manera de ver
la característica de duplicación del periodo
esta característica universal
este valor delta igual a 4.669201
podemos hacer un experimento real
en el mundo físico
no una simulación por computadora.
Un experimento real
con goteras reales y agua real
y encontrar un valor como éste.