Hemos visto la duplicación del periodo y aquí está nuevamente este diagrama
Tenemos duplicación del periodo de dos a tres, tres a cuatro y así sucesivamente.
Delta mayúscula uno es el rango de valores que producen un periodo dos,
Delta dos es el siguiente rango, Delta tres el siguiente...
Y definimos estas relaciones dividiendo este entre este, y este dividido entre aquél
para obtener las deltas pequeñas.
Y en esta ecuación encontramos que delta 1 es igual a 4.751 y delta 2 es igual a 4.6564
En el cuestionario que contestaste, hiciste lo mismo con la ecuación cúbica
y encontraste 4.419 y 4.618.
Los números para delta uno y delta dos son similares pero no idénticos,
pero si continuamos calculando delta tres, delta cuatro, delta cinco y así sucesivamente,
veremos que estos números serán más y más similares.
Voy a escribirlo, delta n, que es Delta n sobre Delta n mas uno con un valor de 4.669201
Para ambas ecuaciones, conforme n es cada vez más grande nos acercamos a este punto de transición.
Estos radios se aproximan a 4.669201.
En el límite donde n es muy grande, este número es conocido como delta y es universal.
delta es universal. Esto significa que tiene el mismo valor para una gran clase o familia de funciones.
Voy a decirlo con más cuidado porque es un resultado crucial
El fenómeno de Universalidad, delta n aproximándose al número delta
y decimos que el número delta es universal y el resultado es que este número delta es el mismo
4.669201 para todas las funciones iteradas que mapean un intervalo a sí mismas
y que tienen un máximo cuadrado único.
Voy a explicar un poco estas condiciones...
Si la funcion mapea un intervalo a ella misma, esto excluye la posibilidad de que los valores sean infinitos
la ecuación logística es un ejemplo porque mapea un intervalo a ella misma con lo que obtiene valores entre cero y uno que se mantienen entre cero y uno.
Voy a dibujar un diagrama aquí. ¿Qué significa que la función tenga un máximo cuadrático único?
Máximo cuadrado único...
Nuestro ejemplo favorito, la ecuación logística, es una parábola de cabeza
tiene un solo un máximo, que está aquí, y es cuadrático porque es una parábola
Aquí hay otro ejemplo
es una función cúbica, que luce como esta
no es simétrica y no es exactamente una parábola
pero si vemos cerca, en el punto máximo se asemeja a una parábola
así que en el punto máximo es localmente parabólica
En cálculo, esto significa que la segunda derivada no desaparece.
La mayoría de las funciones que tienen un pico como esta se comportan de esta manera
Voy a presentarles unos contraejemplos
Esta función no tiene un máximo cuadrático único porque tiene dos máximos
un máximo local aquí y otro allá
Así que esta función no cumple con los criterios de la definición que escribí en papel
Otro contra ejemplo... una función como esta tiene un sólo un máximo en la punta
pero no es un máximo cuadrático
Si nos acercamos más a este punto no lucirá como parábola, se seguirá viendo como una punta
es decir, es infinitamente afilado.
Aquí si te acercas mucho puedes ver lo que se acerca a una parábola tanto como desees
esta no tiene un único máximo cuadrático porque, aunque sólo tiene un máximo
pero no es cruadrático, es puntiagudo.
Aquí hay otro ejemplo. Tiene un máximo, pero está plano. Si te acercas no lucirá como una parábola.
Se verá como una línea. Así que esta no es una función con un único máximo cuadrático.
Cualquier función con un único máximo cuadrático, puede ser una parábola, una cúbica,
una función senoidal, algunas exponenciales y muchos otros ejemplos cumplen los criterios.
Y este es un criterio muy genérico. Si dibujamos esta función a mano que tenga un único
punto máximo, que sea de curvatura suave cumplirá con el criterio.
Así que no es un criterio muy restrictivo. y hay una gran cantidad de funciones que lo cumplen.
Voy a decirlo una vez más...
Esta propiedad delta que es una característica que define la forma lateral del diagrama de bifurcación...
cómo están relacionados entre sí...
que tan más pequeña se vuelve conforme nos acercamos a la transición...
esta propiedad geométrica es universal. Y tiene siempre el mismo valo 4.669201
y lo es para todas las funciones iteradas f(x) que mapean un intervalo a sí mismas
y tienen un único máximo cuadrático.
Una vez más, este no es un criterio muy restrictivo.
Para cualquier funcion que puedas imaginar, que cumpla con este criterio
puedes calcular el diagrama de bifurcación, encontrar los puntos de bifurcación, calcular
los deltas y conforme n se vuelve más grande éste número aparecerá
Este número es una propiedad para todas estas funciones.
Quiero enfatizar lo extraordinario de este resultado
iniciamos con la ecuación logística, una de las más simples ecuaciones no lineales
y vimos que tiene un diagrama de bifurcación con una complejidad impresionante,
pero también con varias regularidades.
Vimos esos trinchetes laterales repitiéndose una y otra y otra vez
y notamos que hay una similaridad geométrica en ellas
el siguiente trinchete en la secuencia es más pequeño que el anterior, pero más pequeño en
la misma proporción.
Eso nos motivó a investigar la idea de manera cuantitativa y calculamos los delta minúscula
como la relación entre la longitud de un trinchete al siguiente y encontramos que esa relación
se aproxima a un número constante que es 4.669
Y ese es un resultado interesante, para la ecuación logística...
es una rareza matemática que nos habla de la geometría en este diagrama en particular.
Despues vimos diagramas para otras ecuaciones, ecuaciones muy diferentes,
como senoidales, cúbicas o paráboabólicas
y vimos la misma propiedad general en el diagrama de bifurcación
y si calculamos las deltas para n cada vez mayores, encontraremos la misma relación 4.669
Ahí es donde las cosas comienzan acomportarse de manera extraña
que vemos el mismo número aparecer en ecuaciones muy distintas
eso nos dice que, de alguna manera, las ecuaciones, o los detalles de las ecuaciones no importan
hay otras caractéristicas más amplias en el sistema que son independientes de la
ecuación particular que utilicemos.
Eso es algo profundo y muy sorprendente.
Voy a mencionar un poco acerca de la historia de esta idea y como fue descubierta.
Los resultados que presenté datan de 1978,
usualmente han sido atribuidos a Mitchell Feigenbaum, un físico norteamericano
que descubrio esta propiedad y realizó trabajo analítico para entenderla.
Pero también fue descubierta de manera independiente por Charles Tresser y Pierre Coullet
quienes publicaron sus resultados de manera simultánea en 1978.
Así que este es un resultado relativamente nuevo.
Otra cosa que quiero mencionar es que yo presenté estos resultados de manera experimental
los resultados de realizar análisis numéricos en una computadora
pero hay muchos análisis analíticos que son muy elegantes y poderosos y calculan estos números
y explican porqué estos números surgen una y otra vez.
El entorno matemático para realizar este análisis es conocido como grupo de renormalización
o sencillamente renormalización y voy a hablar sobre esto en la siguiente unidad.
No puedo explicarlo en detalle, son muchas matemáticas para el nivel de este curso
pero quizá pueda exponer un argumento sobre eso.
Antes de eso, quiero mencionar que estos resultados no son sólo matemáticas.
Es un increíble resultado matemático. Estas funciones bidimensionales tienen unos
hermosos diagramas de bifurcación con ramas con la misma proporción
pero esto es también física.
La duplicación del periodo ocurre en sistemas físicos reales
y uno puede ir a medir la tasa a la que estos periodos se duplican y encontrar el mismo número 4.669
Voy a describir ese resultado en la siguiente lección.