إذاً لقد كنا ننظر إلى تضاعف الدورة
وهنا مجدداً في هذه الصورة
لدينا تضاعف دورة
من 2 إلى 4، 4 إلى 8، وهكذا.
دلتا الكبيرة هي نطاق قيم الوسيط
التي من أجلها لدينا دورة 2.
دلتا 2 هي النطاق التالي،
دلتا 3 هي النطاق التالي،
ونحدد هذه النسب
هذا مقسم على هذا،
هذا مقسم على ذلك،
لتكون رموز الدلتا هذه.
وبالنسبة للمعادلة اللوجيستية،
لقد وجدنا أنّ دلتا 1 هي حوالي 4.75،
ودلتا 2 هي حوالي 4.65/4.66.
في الإختبار القصير الذي قمت به للتو،
لقد فعلت الشيء نفسه للمعادلة التكعيبية.
ولقد وجدت 4.419 و 4.618.
إذاً الأعداد لدلتا 1 ودلتا 2
لهذه المعادلات ليست متشابهة--
عفواً، متشابهة، لكن ليست متطابقة.
ومع ذلك إذا استمرينا وحسبنا دلتا 3
ودلتا 4 ودلتا 5 وهكذا
ستقترب هذه الأرقام من بعضها البعض أكثر وأكثر.
إذاً دعوني أكتب ذلك،
نحن مهتمين بدلتا n--
والتي هي دلتا كبيرة n تقسيم دلتا كبيرة n زائد واحد.
وسوف يذهب هذا إلى العدد 4.669201.
إذاً بالنسبة لهاتين المعادلتين،
بينما نسمح لـ n تصبح أكبر وأكبر،
نقترب أكثر وأكثر لنقطة الانتقال هذه،
تقترب هذه النسب من 4.669201.
إذاً من أجل قيم كبيرة لـ n، هذا العدد المعروف بدلتا.
وسنقول أنّ دلتا شاملة.
إذاً دلتا شاملة،
وما يعنيه ذلك أنّ
لديها نفس القيمة
لصف أو عائلة كبيرة جداً من الدوال.
دعوني أوضّح هذا بدقة أكثر،
بما أنّها نتيجة حاسمة.
إذاً مجدداً، ظاهرة الشمولية:
لدينا دلتا n تقترب من عدد دلتا،
ونقول أنّ دلتا شاملة.
والنتيجة هي
أنّ هذا العدد هو نفسه،
4.669201 لكل التوابع التكرارية
التي ترسم فاصل بالتفصيل لنفسها
ولديها حد واحد من الدرجة الثانية.
إذاً دعوني أقول القليل عن هذه الحالات.
ًإذاً إن كانت الدالة تنظم فاصل لنفسها ،
ذلك يستبعد احتمالية أنّ المدارات تذهب إلى اللانهاية،
سواءٌ لانهاية موجبة أو سالبة.
إذاً المعادلة اللوجيستية هي مثال.
تنظم فاصل الوحدة لنفسه،
بما معناه الأعداد بين 0 و 1
تبقى بين 0 و1.
دعوني أرسم بعض الصور لأوضّح هذا:
ماذا يعنيه ذلك
أن يكون للدالة حد واحد من الدرجة الثانية.
إذاً حد واحد من الدرجة الثانية.
إذاً مثالنا المفضل، المعادلة اللوجيستية،
التي هي قطع مكافئ مقلوب.
لديها حد أقصى واحد هنا تماماً
وإنّه تربيعي لأنّه حسناً،
إنّه قطع مكافئ، إنّه دالة تربيعية.
ومع ذلك ها هنا مثال آخر.
هذا، دعونا نرى....
الدالة التكعيبية تبدو شيئاً ما كهذا.
إنّه ليس متناسق
والدالة ليست قطع مكافئ تماماً.
ومع ذلك، إذا نظرنا عن كثب بقرب الحد الأقصى،
سيصبح يشبه القطع المكافئ أكثر وأكثر.
إذاً إنّه قطع مكافئ محلي.
وفي مصطلحات التفاضل والتكامل، هذا يعني
أنّ المشتق الثاني لا يختفي.
إذاً معظم الدوال التي لديها زاوية بارزة كهذه،
سوف تتصرف بهذه الطريقة.
دعوني أعطيكم بعض الأمثلة المعاكسة.
هذه الدالة ليس لديها حد واحد من الدرجة الثانية
لأنّ ليس لديها حد أقصى واحد--
لديها حدان: حد أقصى هنا ثمّ هناك.
إذاً لا تحقق هذه الدالة المعايير
التي تحدثت عنها في الصفحة السابقة
القليل بعد من الأمثلة المعاكسة:
دالة كهذه،
لديها حد أقصى واحد، قمة دقيقة،
لكنه ليس حد أقصى من الدرجة الثانية.
إذا كبّرت هذه النقطة.
لا تبدو أنها تشبه قطع مكافئ،
تبقى تبدو كنقطة.
الفكرة هي أنّ هذا دقيق بلا حدود.
هنا إذا كبّرت على هذا،
يمكنك أن تجعله يبدو قريباً للقطع المكافئ كما تشاء.
إذاً هذه ليست لديها حد أقصى واحد من الدرجة الثانية
لأنّ، حسناً، لديها حد أقصى،
لكنه ليس من الدرجة الثانية -- إنّه مدبب!
ها هنا مثالٌ آخر.
لديه حد أقصى لكنّه مستوٍ.
لذلك لا يملك حقاً قيمة حد أقصى وحيد.
وإذا كبّرت على هذا الخط،
مجدداً لن يبدو كقطع مكافئ،
سيبدو كخط.
إذاً هذه أيضاً ليست دالة
مع حد أقصى وحيد من الدرجة الثانية.
إذاً أي دالة مع حد أقصى وحيد من الدرجة الثانية
يمكن أن تكون قطع مكافئ، دالة تكعيبية،
دوال الجيب، التوابع الأسيّة المتنوعة،
يوجد الكثير والكثير من الأمثلة لدوال كهذه.
وهذه معايير عامة جداً
حيث إن رسمت فقط دالة باليد
أو تلاعبت بشيءٍ ما لديه حد أقصى واحد،
الاحتمالات ستكون ملساء
وستستمر هذه المعايير.
إذاً هذه ليس معايير مقيدة جداً.
ويوجد عدد كبير من الدوال التي تجمع هذه المعايير.
إذاً دعوني أوضّح هذا مرة أخرى
خاصية الدلتا هذه،
والتي تميز كيف
لأحد الأطراف أن يستخدم هؤلاء الأشكال على رسم التشعب البياني،
وكيف هم مرتبطين ببعضهم البعض،
كم يصغر كل واحد منهم
بينما نقترب أكثر لهذا الانتقال،
حيث الكمية الهندسية دلتا هذه شاملة.
لديها نفس القيمة، 4.669201,
وتستمر لكل التوابع التكرارية (f(x
التي تصور المجال بنفسه
ولديها حد أقصى واحد من الدرجة الثانية.
إذاً مجدداً، هذه ليست معايير مقيدة جداً.
إذاً أي دالة تأتي بها
التي تحقق هذه المعايير المعتدلة،
يمكنك أن تصنع رسم تشعب بياني
تجد نقاط الشعب كما فعلنا،
تحسب رموز الدلتا،
تتعمق أكثر وأكثر
وتدع n تصبح أكبر وأكبر،
وسوف يظهر هذا العدد.
إذاً هذا العدد هو خاصية كل هؤلاء الدوال.
إذاً أريد أن أؤكد فقط
على كم هي مذهلةٌ هذه النتيجة.
لقد بدأنا بالمعادلة اللوجيستية،
مجرد معادلة غير خطية بسيطة
يمكن لأحدٌ ما تخيلها،
ولقد رأينا أنّه كان لدينا رسم التشعب البياني هذا
مع كمية رائعة من التعقيد.
لكن أيضاً مع بعض الانتظام--
لقد رأينا هؤلاء المذار،
هؤلاء sideways Us,
تتكرر مرة بعد مرة بعد مرة،
ولاحظنا أنّه يوجد
تشابه هندسي نوعاً ما لهم،
حيث المذراة التالية في التسلسل
هي أصغر من التي تسبقها،
لكن ربما أصغر بواسطة نفس العامل.
إذاً يقودنا هذا إلى بحث الفكرة على نحوٍ كمّي.
ولقد حددنا رموز دلتا الصغيرة هذه
مثل نسبة طول لمذراة واحدة تلك
لطول المذراة التي تليها.
ولقد وجدنا أنّ نسبة الاقتراب تلك هي عدد ثابت،
هذا العدد 4.669.
وتلك نتيجة مثيرة للاهتمام بالنسية للمعادلة اللوجيستية.
إنّه شذوذ رياضي عملي يخبرنا عن
علم الهندسة عن رسم التشعب البياني الخاص هذا.
ثمّ لقد نظرنا إلى رسوم التشعب البيانية
لمعادلات أخرى-- معادلات مختلفة تماماً:
الجيب والتكعيبية والقطع المكافئ أيضاً--
ولقد رأينا نفس الميزات العامة لرسم التشعب البياني،
لكن بعد ذلك إذا حسبنا رموز الدلتا هذه،
واستمرينا بحسابهم
لدورات أكبر وأكبر،
سنجد مجدداً ظهور نفس العدد 4.669.
إذاً هناك بدأت الأشياء تصبح غريبة جداً--
حيث كنا نرى ظهور نفس العدد
في معادلات مختلفة جداً.
إذاً يخبرنا ذلك،
عند حد معين المعادلات،
أو تفاصيل المعادلات لا تهم.
هناك بعض الملامح أوسع
وأشمل لهذه الأنظمة والتي هي
مستقلة عن المعادلة المعينة
التي نستخدمها.
إذاً أعتقد أنّ هذا شيءٌ ما عميق
ومفاجئ جداً.
دعوني أذكر القليل فقط
عن تايخ هذه الفكرة وهذا الإدراك.
سجّل تاريخ النتائج التي قدّمتها من 1978.
تُنسب هذه النتائج عادةً إلى Mitchell Feigenbaum،
والفيزيائي الأمريكي الذي اكتشف
هذه الخاصية ثمّ قام ببعض
العمل التحليلي ليجرب أن يفهمها بشكلً إضافي.
لكن قد تمّ اكتشافها أيضاً بشكلٍ مستقل من قِبَل
Charles Tresser و Pierre Coule،
في نفس الوقت تقريباً
نُشرت أيضاً في 1978.
إذاً هذه نتيجة جديدة نسبياً.
شيءٌ آخر أريد ذكره وهو
أنّني قدّمت هذه النتائج على نحوٍ تجريبي--
نتيجة القيام ببعض العمل العددي على الحاسوب،
لكن يوجد الكثير من العمل التحليلي
الممتاز والقوي جداً
حيث بحساب هذه الأعداد --4.669201--
وتفسير لماذا يظهر هذا العدد مرة بعد مرة.
الإطار الرياضي
لتنفيذ ذلك التحليل لمعروف
بزمرة إعادة التسوية renormalization،
أو فقط إعادة التسوية،
وسأقول القليل عن ذلك
في وحدة لاحقة.
لا أستطيع أن أشرح بالتفصيل.
إنّه فقط الكثير من الرياضيات لهذا المستوى من الدورة.
لكن قد أستطيع أن أعطيكم برهانٌ لهذا نوعاً ما.
لكن قبل أن أفعل ذلك، أريد أن أذكر الشيء التالي
والذي هو،
أنّ تلك النتيجة ليست رياضيات فقط،
إذاً إنّها نتيجة رياضية مذهلة،
الدوال أحادية البعد هؤلاء
لديهم رسوم التشعبات البيانية الجميلة هذه
بنفس التفرع،
أو نسبة التشعب فيهم نفسها نوعاً ما
لكن هذه فيزياء أيضاً.
يظهر تضاعف الدورة في الأنظمة الفيزيائية الحقيقية،
ويستطيع أحدٌ ما أن يخرج ويقيس المعدلات
التي تضاعفات فيها الدورة التي تحدث.
ويجد أحدٌ ما هذا العدد 4.669 مجدداً .
إذاً سأصف تلك النتيجة
في المحاضرة التالية.