En esta lección vamos a examinar la ruta al caos mediante duplicación de periodo en la ecuación logística a detalle
Esta es la bifurcación de la ecuación logística
"r" cubre un rango de 0 a 4, el periodo uno se transforma en periodo dos y luego cuatro y así...
y luego este comportamiento interesante aquí
aquí hay una vista más detallada de eso
la haz visto anteriormente
esta abarca de 3 a 4
periodo dos, cuatro, ocho y luego regiones de caos... ventanas periódicas... más caos, etcétera.
Lo que haré a continuación será enfocarme únicamente en esta parte del diagrama de bifurcación,
donde los periodos se duplican y eventualmente se convierten en caos.
Voy a ampliarla aún más y así vemos este diagrama de bifurcación.
Este abarca tan sólo de 3 a 3.6
Tenemos periodo uno aquí, en 3.0 se transforma a periodo 2, luego periodo 4, periodo 8 y así sucesivamente
en el momento en que nos encontramos aquí, en estas regiones oscuras la función es caótica
y depende sensiblemente de las condiciones iniciales
si buscamos el efecto mariposa aquí uno verá que en aproximadamente 3.59 hay caos y efecto mariposa
pero aquí no hay efecto mariposa.
La manera más fácil de descubrirlo es mediante el exponente.
Aquí es positivo, y aquí es negativo, lo que significa que no es dependiente.
De cualquier modo hay una transición de comportamiento periódico no caótico
a comportamiento caótico en algún punto por aquí.
Así que vamos a ver que sucede mientras nos aproximamos el punto de transisión
Voy a comenzar viendo la longitud de esta parte
que tan largo, en el sentido del rango de valores que tienen un comportamiento de periodo dos
y que rango de valores produce un periodo cuatro y ocho.
Vamos a buscar los valores donde ocurren las transisiones
el valor para esta transición lo nombraré "r1" que es 3.0
despues hay una transicion que ocurre aqui de periodo dos a periodo 4
que ocurre a 3.44948
Este valor se obtiene del diagrama de bifurcación ampliando este punto
y tratando de obtener el valor con la mayor precisión posible
donde esta línea se divide en dos.
Este era uno de los problemas de dificultad intermedia en la tarea anterior
También hay una transición aquí
y aquí es donde el periodo cambia de cuatro a ocho y lo llamaré "r3" porque es la tercera bifurcación
aquí es donde esta transición ocurre.
A la izquierda de este número tenemos periodo cuatro y a la derecha periodo ocho.
Y por último tenemos una transición de periodo 8 a 16, que es muy difícil de ver
tenemos que ampliarlo mucho. Pero si lo hacemos encontramos que ocurre donde "r "es igual a 3.564407
Tenemos 4 bifurcaciones, de uno a dos, dos a cuatro, cuatro a ocho y ocho a dieciséis.
Y ocurren aproximadamente en estos valores "r". "r1" y después "r2", "r3" y "r4".
Estamos interesados en esta longitud, que rango de valores nos dan un comportamiento de periodo dos
y llamaré a esta longitud Delta mayúscula uno, voy a dibujarla aquí. Lo hago justo a la mitad.
Este triángulo es la letra griega Delta mayúscula y es "r2" menos "r1", donde tenemos comportamiento de periodo dos.
Después haré algo similar para el periodo cuatro y para el periodo ocho.
Este segmento de línea donde está mi dedo es delta dos y el periodo más pequeño es delta tres.
delta dos es "r3" menos "r2", delta tres es "r4" menos "r2". Lo voy a escribir.
Tenemos estas Deltas, esta longitud... esta... y esta... Y observamos que se van haciendo más pequeñas.
Lo que haremos ahora es calcular la relación entre Delta dos y Delta uno, y la llamaremos delta minúscula.
Delta uno es igual a Delta 1 sobre Delta 2.
delta pequeña es sólo esta longitud dividida por esta
y en términos de "r" vamos a ver que obtenemos.
Tenemos números para estas "r" y tenemos fórmulas para delta, así que calculamos su valor.
Sólo sustituí los números de "r1", "r2" y "r3" y hago una resta (siempre me gustó hacer restas en la calculadora)
3.4 blah, blah, blah menos 3.0 es sólo 0.4 blah, blah, blah
y en el denominador necesito la calculadora
3 . 5 4 4 0 8 9 menos 3 . 4 4 9 4 8
y hago la división con lo que obtengo 4.751
Esto es mucho trabajo con la calculadora, probablemente no muy emocionante
pero lo que dice aquí es que esta longitud es 4.751 veces más grande que esta longitud.
Es todo lo que esto significa.
Hacemos ahora lo mismo la segunda relación, podemos substituir la fórmula en términos de "r"
no hay razón para escribir todas las restas aquí, pero al calcularlas obtengo el número 4.6564
Me salté pasos intermedios que puedes hacer en la calculadora con los números que están aquí
pero esto significa que esta lognitud es 4.655 veces más larga que esta longitud.
Y podemos seguir haciendo esto... delta 4 es igual a Delta 4 sobre Delta 5...
y vemos que pasa con esta relación conforme avanzamos en estas transiciones
Aquí hay una vista simplificada de lo que hicimos
tenemos un diagrama esquemático de las bifurcaciones...
... periodo dos a cuatro... cuatro a ocho...
...Delta 3 es esta longitud y Delta 4 esta longitud y así sucesivamente
Y vemos las relaciones, que tantas veces es mayor esto que aquello.
Esta es una aproximación porque es posible que haya errores numéricos
es muy difícil calcular el valor exacto de las transiciones.
Pero es muy aceptable y delta 2 esta aquí. Podemos continuar definiendo delta n.
Que es el sólo la relación entre la región de un periodo dividida entre la relación...
voy a decirlo nuevamente...
es la relación de estas dos deltas, esta es la longitud de una región periódica y esta es la longitud de la región con el doble del periodo.
y lo que encontramos es que conforme n crece, se aproxima al valor de 4.669201
Así que conforme avanzamos más y más en en el proceso de duplicar el periodo...
la longitud de estos trinchetes o ramas se aproxima a un radio constante.
Esta rama es 4.669 veces mayor que esta rama y esta es 4.669 veces mayor que esta...
Esto no es exacto hasta que n es muy grande, pero es una muy buena aproximación aún para
n pequeñas, incluso para el primer par de valores.
Esto nos dice que conforme nos acercamos al periodo de transición entre comportamiento periódico y caótico
hay una regularidad en ello. Vemos nuevos periodos surgiendo con una relación constante.
Así que ahora hemos caracterizado la ruta al caos mediante duplicación de periodo en la ecuación logística
y podemos comprobar si el mismo comportamiento ocurre en otros diagramas de bifurcación.
Hay dos cuestionarios al término de esta lección donde realizarás algunos de estos análisis
pero para la ecuación cúbica en lugar de la ecuación logística.
Para lograrlo necesitarás un programa que haga diagramas de bifurcación para la ecuación cúbica
hay un vínculo a ese programa en la sección titulada programas de bifurcación en la barra de navegación en el explorador.
Encuentra el programa y haz el intento de encontrar estos deltas en una ecuación distinta.