أهلاً وسهلاً بكم في الوحدة 6 من هذه الدورة.
هذه الوحدة هي على ظاهرة الشمولية.
في الوحدة السابقة،
لقد نظرنا إلى رسم التشعب البياني للتابع اللوجيستي.
ولقد رأينا انتقالات مكررة
من السلوك الدوري إلى السلوك غير الدوري.
وعلى طول الطريق،
بينما كان يظهر هذا الانتقال،
لقد رأينا تضاعف دورة--
لنقل، أنّ الدورة ذهبت من 1 إلى 2، 2 إلى 4،
4 إلى 8، 8 إلى 16، وهكذا.
تضاعفات الدورة هذه على رسم التشعب البياني
يبدو كهؤلاء المٍذار أو sideways "U's"
التي رأيناها مرة بعد مرة بعد مرة
عندما كبّرنا وصغّرنا الرسم البياني.
في هذه الوحدة، سنرى بعض ميزات
تضاعفات الدورة هؤلاء--
انتقال تضاعف الدورة إلى الشواش
هو شامل. ومايعنيه ذلك،
أنّه يوجد خصائص معينة هي
نفسها للعديد ، العديد من الدوال المختلفة،
وليس فقط المعادلة اللوجيستية.
علاوةً على ذلك، سنرى أنّ بعض ميزات
تضاعف الدورة في الواقع، الظواهر الفيزيائية
هي نفسها أيضاً في المعادلة اللوجيستية البسيطة.
إنّها نتيجة مذهلة-- تبدو سحرية تقريباً--
وأعتقد أنّها أحد أكثر الحقائق التي لا تصدق
التي تأتي من الأنظمة الديناميكية.
إذاً، سنبدأ من خلال النظر إلى
رسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية مجدداً،
وثمّ سننظر لرسم التشعب البياني
لمعادلة أخرى ونلاحظ بعض التشابهات.
إذاً، دعونا نبدأ.
إذاً ها هنا صديقتنا القديمة، المعادلة اللوجيستية.
"f لـ x" هي (r x(1-x
ها هنا رسم بياني للجهة اليمنى لهذه الدالة، وكما رأينا،
إنّه فقط قطع مكاقئ مقلوب.
حدّه الأقصى عند 5، وr متغيرة،
(r هي الوسيط)
لديها تأثير تمديد هذه الدالة.
إذاً هؤلاء سيبقوا محصورين، لكن هذا سيتمدد بهذا الإتجاه بينما أزيد r.
في الوحدة الماضية، لقد أمضينا وقتاً جيداً بالنظر إلى رسوم التشعب البيانية لهذه.
وفقط لتذكيركم ماذا يبدو ذلك، ها هنا رسم تشعب بياني--
الرسم الكامل من 0 إلى 4. معظم التأثير يظهر هنا.
ها هنا نسخة مُكبّرة. هذه هي 3 إلى 4. ونرى دورة 2 تتحول إلى دورة 4،
4 إلى 8، وهكذا، مناطق السلوك غير الدوري، هذه المناطق الداكنة الممتلئة.
وثمّ نوافذ دورية. إذاً لقد أصبحنا مألوفين مع هذه الشكل،
لقد كبّرت وصغّرت هذا قليلاً.
إذاً، تلك هي المعادلة اللوجيستية.
لكن نستطيع أن نسأل، ماذا عن معادلاتٍ أخرى؟
هل يمكننا صنع رسوم تشعب بيانية منهم؟
وماذا يبدون؟
إذاً دعونا نفعل ذلك.
المثال الأول الذي سأقوم به هو المعادلة التكعيبية،
وتلك نفس المعادلة اللوجيستية تقريباً، لكن فقط أربّع الـ x هنا.
إذاً ها هي المعادلة التكعيبية. الإختلاف الوحيد هو التربيع هنا لا يوجد تربيع هناك.
تدعى تكعيبية لأنّك إذا ضاعفت هذه، ستحص على مصطلح x مكعب، وبالتالي "تكعيبي".
ها هو رسم الدالة البياني.
لاحظ أنّها ليست متماثلة بعد الآن: إنّها تزداد،
لديها زاوية بارزة تنزل، لكن الزاوية البارزة هنا عند حوالي 0.65، أو شيئاً ما.
كما سابقاً، r هي الوسيط الذي لديه تأثير على تمديد هذه الدالة.
كلما كبرت r كلما أصبحت هذه أعلى وأطول.
يمكننا أن نصنع رسم تشعب بياني لهذه،
تماماً كما فعلنا للمعادلة اللوجيستية.
وها هي نتيجة فعل ذلك.
إذاً ها هنا رسم تشعب بياني للمعالدة التكعيبية،
وإنّه مألوف نوعاً ما. إنّه ليس نطابق لرسم التشعب البياني ذلك للمعادلة اللوجيستية،
لكن نفس الميزات العامة واضحة:
تضاعف دورة (1 إلى 2، 2 إلى 4)، مناطق السلوك غير الدوري متقطعة بواسطة نوافذ.
دعوني أرى إن كنت أستطيع أن أجلب كلا هذين في الشاشة، هنا.
إذاً متشابهين جداً. ليسوا متطابقين تماماً: إنهم مشكّلين بشكل مختلف قليلاً، لكن رسوم تشعب بيانية مشابهة جداً.
وربما ذلك غريب قليلاً لأنّ الدالتين كلاهما لديهما زاوية بارزة،
وكلاهما أملس، لكن هذا غير متناسق وهذا متناسق،
إذاً دوال مختلفة الشكل تظهر رسوم بيانية مشابهة بالشكل.
إذاً دعونا ننظر لدالة أخرى، وسأنظر إلى دالة الجيب.
ها هي ( f لـ x) هي r في جيب (pi x تقسيم 2)
ها هي دالة الجيب. أعتقد أنّ هذا لـ r =1 هنا.
لاحظ أنّ قيمة x الآن تذهب من 0 إلى 2، بدلاً من 0 إلى 1،
بالنسبة لكل هؤلاء الدوال، زيادة r تمدد هذه الدالة،
لذلك سوف تجعل هذا أكثر حدّة، هذا أعلى، لكن ستبقي الصفر هنا،
ويمكننا أن نصنع رسم تشعب بياني لهذا
ودعونا نرى، إذا فعلت ذلك، أحصل على هذا.
مجدداً، هذا يبدو مألوفاً جداً. يشبه هذا المعادلة اللوجيستية كثيراً.
دورة 1 إلى 2، 2 إلى 4، مناطق غير الدورية متقطعة بنوافذ دورية.
انظر، بقصد المقارنات فقط، ها هو رسم التشعب البياني.
على أدنى اليسار، ها هي المعادلة اللوجيستية.
على أعلى اليمين، ها هي معادلة الجيب.
إذاً مجدداً إنّنا نرى رسوم تشعب بيانية مشابهة جداً --في المظهر الخارجي-- لدوال مختلفة.
هذا متعدد حدود من الترتيب الثاني: إنّه قطع مكافئ فقط.
هذه دالة متعلقة بعلم المثلثات. إنّهم يظهرون رسوم تشعب بيانية مشابهة جداً.
إذاً ذلك هو اللغز الذي سنبدأ به هذه الوحدة:
كيف لهؤلاء المعادلات الثلاثة، وبالتأكيد معادلات أخرى كثيرة تُظهر رسوم تشعب بيانية مشابهة؟
وهل رسوم التشعب البيانية هذه فقط متشابهة نوعاً ما، أو هل يوجد أي شيء الذي هو مشابه تماماً فيهم؟
لفعل ذلك، في المحاضرة التالية سأعود للمعادلة اللوجيستية وسننظر
بتفصيل أكثر لتضاعف الدورة هذا المغطى بالشواش.
أخيراً، دعوني أذكر فقط (على الأرجح أنّكم حزرتم) أنّ هذه معادلة تكعيبية
صنعت رسم التشعب البياني الذي يظهر في الواجب لوحدة 5، وهذه معادلة جيب
صنعت رسم تشعب بياني الذي يظهر في الإختبار للوحدة 5.
إذاً إنّكم لم تروا هذه المعادلات من قبل، لكن قد رأيتم رسوم التشعب البيانية من قبل.