إذاً دعونا نلخص الوحدة 5.

كانت هذه الوحدة الثانية من وحدتي التشعبات والرسوم للتشعب البيانية.

تركّز هذه الوحدة على الخريطة اللوجيستية على وجه الحصر، التابع اللوجيستي التكراري.

بدأتُ من خلال تذكيرنا بفكرة رسوم الحالة النهائية البيانية.

إذاً بالنسبة للمعادلة اللوجيستية، لقيمة r المعطاة، ربما تصنع رسم الحالة النهائية البياني كالتالي.

كرر الدالة لمئة مرة،
ثمّ كررها لمئتي مرة أخرى

وارسم هذه التكرارات على فاصل الوحدة ، والنتيجة هي رسم حالة نهائية بياني وهذا

مشابه جداً للخط المرحلي للمعادلات التفاضلية.

يُظهر التوازن أو السلوك الطويل المدى لكن لا يُظهر أسهم للإتجاهات

التي تتحركها المدارات، وذلك لأنّه بالنسبة للمعادلة اللوجيستية والتوابع التكرارية بشكلٍ عام،

يستطيع المدار أن يرتد هنا وهناك ولا يتحرك بسلاسة خلال كل القيم المستمرة.

إذاً ها هنا أمثلة، ولقد قمنا بمجموعة سابقاً هذه الوحدة.

ها هي قيمة r والتي لديها سلوك دورة 2 طور، تصدم سلوك الدورة 2 ذلك بسرعة جداً.

رسم الحالة النهائية البياني لديه نقطتين، هاتين القيمتين الأخيرتين، إذاً أستطيع أن أكرر لمئة

وثمّ أكرر المئتين التاليتين وسوف يرتد ذهاباً وإياباً بين هاتين الإثنتين.

إنّه أكثر متعة قليلاً لحالات حيث يكون لدينا سلوك غير دوري.

ها هنا قيمة r مختلفة التي لديها مدار غير دوري، وهنا رسم الحالة النهائية البياني

سيتألف من الكثير من النقاط بين هاتين القيمتين النهائيتين.

إذاً يبدو أنّ المدارات لا تصل إلى تحت 0.18 أو فوق 0.96 أبدأ، لكن تستطيع أن تأخذ كل القيم

فيما بينهم ولذلك إذا رسمت مئتي مدار، مئتي تكرار بيانياً، سأرى

مئتي نقطة وسيملؤا هذا الخط أساسياًَ.

إذاً هؤلاء هم رسوم الحالة النهائية البيانية وثمّ لتصنع رسم التشعب البياني، نقوم فقط بإلصاق

كل رسوم الحالة النهائية البيانية هذه معاً.
إذاً كل شريحة عمودية من رسم التشعب البياني

هي رسم حالة نهائية بياني واحد.

أود أن أفكر بهذا بطريقة أخرى وهي أنّ رسم التشعب البياني كمعجم

الذي يدعك تبحث عن السلوك لقيم r المختلفة.

إذاً افترض أنّ أحدٌ ما يقول، " ماذا تفعل المعادلة اللوجيستية لـ r=3.6 ؟" فلنقل، حسناً، لا أعرف

لكن أستطيع أن أبحث عن ذلك في رسم التشعب البياني.

إنّه معجم أو خلاصة لكل السلوكيات المحتملة لكل قيم r المختلفة.

إذاً انظر لهنا عند 3.6، وسأذهب للأعلى، وأتخيل أن أخذ شريحة رقيقة حقاً

من هذا، وذلك سيكون رسم الحالة النهائية البياني خاصتي لتلك القيمة.

إذاً رسم التشعب البياني يلخص كمية ضخمة من المعلومات.

ولقد لاحظنا أنّه يوجد بعض الأنماط الممتعة وآمل ، مثيرة للإهتمام في رسم التشعب البياني هذا.

يوجد الكثير من الإنتقالات من سلوك دوري إلى سلوك مشوش، دوري لمشوش،

دوري لمشوش، وهكذا. إذاً هناك الكثير مما يحدث على رسم التشعب البياني.

لتحصل على نظرة أقرب، لقد ذكرت أو قدّمت لك برنامج على الإنترنت الذي يسمح لك أن تكبّر

رسم التشعب البياني العديد والعديد من المرات، انظر ماذا ترى، انظر

ماذا يبدو. إذاً لقد كبّرنا واستكشفنا، وعلى طول الطريق لقد كنا نفعل ذلك، لقد احتجنا

أن نضبط بعض الأحيان عدد المدارات التي تخطيناها ونحتاج أن نفعل ذلك

إن كان يوجد سلوك عابر، يأخذ وقتاً طويلاً للوصول إلى الحالات النهائية هذه.

وأحياناً نحتاج أن نزيد عدد المدارات المرسومة بيانياً. إذا كبّرنا كثيراً

في الإتجاه العمودي، وبالتالي سنرى فقط منطقة صغيرة، نفقد الدقة، إذاً من خلال

رسم المزيد من النقاط بيانياً نستطيع أن نزيد الدقة.

رسم النقاط بيانياً على الشاشة يأخذ وقتاً، لذلك لا تدع هذا أن يكون كبيراً جداً.

إلّا إذا كبّرت بكمية مقبولة.

إذاً دعوني أنهي هذه الملخص فقط من خلال تذكيركم أنّ رسم التشعب البياني، هذا الشكل المعقد بشكلٍ رائع

يأتي كله من هذه المعادلة البسيطة: (f(x) = rx(1-x وهذا فقط قطع مكافئ.

قطع مكافئ بسيط ببساطة الدالة تقريباً، ،بما أنّكم تستطيعون التعامل معه ، فهو ليس موضوع

معقد من الجبر، لكن عندما يكرر، يوجد تقريباً كمية لانهائية من، إذا ليس من التعقيد

عندئذٍ بالتأكيد كمية لانهائية من البنية أو الانتظام في الأنماط الكسورية هذه التي بالإمكان رؤيتها .

إذاً الدالة بسيطة وعملية التكرار بسيطة جداً أيضاً.

الشيفرة التي استخدمتها لأصنع رسم التشعب البياني عبارة عن قطعة صغيرة من الشيفرة من لغة البرمجة Python،

الشيفرة التي استخدمتها لأحول الشكل لعدة شرائح من قبل، تلك الشيفرة هي فقط بطول47

خط وذلك يتضمن تعليقات على كل أوامر الرسم البياني أيضاً.

الخوارزمية الأساسية، الوصفة الأساسية للتكرار هي بسيطة جداً جداً.

إذاً التكرار، هذه عملية تكرارية بلا حدود وبسيطة جداً، ودالة بسيطة جداً

كالقطع المكافئ، يمكن أن تنتج هذه البنية المعقدة التي نراها في رسم التشعب البياني

على نحوٍ رائع .

إنّه من المذهل جداً بالنسبة لي أنّ بنية معقدة كرسم التشعب البياني

تنشأ من معادلة بسيطة كالمعادلة اللوجيستية.

إن كنت ذو تجربة بالبرمجة، أقترح بالتأكيد أن تحاول ترميز برنامج رسم التشعب البياني.

إنّه من الممتع القيام بذلك، إنّها ليست مهمة برمجة صعبة، وإنّها مرضية جداً، وأعتقد أنّه من المذهل نوعاً ما، أن ترى

رسم التشعب البياني ينشأ كنتيجة لبرنامج كتبته أنت.

عندما أكيتب برنامج كهذا ،مثل الذي كتبته لهذه الوحدة، عندما أرى رسم التشعب البياني ينشأ

أتساءل أحياناً نوعاً ما، من أين أتى ذلك، من قام بذلك؟

حسناً أعرف بالطبع، أنا قمت به، أنا كتبت البرنامج، وربما الحاسوب قام به،

لقد صنع الصورة. لكن من أين تأتي بنية رسم التشعب البياني اللانهائية؟

أين تنشأ؟ وبالنسبة لذلك، من أين تنشأ العشوائية، و عدم القدرة على التنبؤ

وتأثير الفراشة لمعادلة القطع المكافئ البسيطة هذه.

أعتقد أنّ الإجابة في كلتا هاتين الحالتين هي أنّه ينشأ من التكرار، حيث عمل

التكرار بذاته هو عملية بسيطة جداً وحافلة بالتكرار على نحوٍ غير محدود، عمل تكرار

معادلة بسيطة يعطي ارتفاع لخصائص أو ميزات التي لم نقدمها في المعادلة

في المقام الأول.

لقد رأينا نشوء عشوائية وعدم القدرة على التنبؤ، ولقد رأينا نشوء تعقيد واسع

من معادلة بسيطة جداً التي تكرر.

هذا بدوره يدعو للانتباه لأحد الأشياء التي أعتقد أنّها مختلفة وربما

ليست جديرة بالملاحظة حول دراسة الأنظمة الديناميكية.

في الفيزياء، ومن المحتمل في مكانٍ آخر في العلوم الفيزيائية، أحياناً عندما أحدٌ ما يكون لديه

معادلة في متناول يديه، تنتهي القصة نوعاً ما، على الأقل طالما كان متعلق بالعلم.

حيث أنّنا نحاول أن نفهم العملية، وبمجرد أن أصبح لدينا معادلة لها، العملية

مفهومة، تنتهي القصة.

عندئذٍ أي أحد يستطيع أن يستخدم تلك المعادلة ليصنع تنبؤات تبني جسور، لتبني حواسيب.

لكن الإدراك مشفر في المعادلة نفسها.

لا أعتقد أنّ الشيء نفسه صحيح بالنسبة للمعادلة اللوجيستية التكرارية.

إن كانت لديك المعادلة، إنّها البداية فقط.

المعادلة بذاتها، بالنظر للمعادلة فقط، لا يجعل من الوضوح أنّه لا يوجد تأثير فراشة

مختبئ، أو أنّه يوجد هذا التعقيد غير المحدود والبنية في رسم التشعب البياني.

تلك هي ميزات النظام التي تنشأ فقط بواسطة عمل التكرار.

وغالباً الطريقة الوحيدة لرؤية ما سيفعله النظام هي رؤية ما سيفعله النظام.

وما أعنيه بذلك أنّ الشخص يجب عليه فقط أن يبدأ بالتكرار ويرى ماذا يحدث.

لا يوجد دائماً طريقة تحليلية، قلم رصاص وورقة، طريقة استنتاجية لإكتشاف

إن كان تابع تكراري ، سيكون مشوش أو لا.

لكن إن كررته على حاسوب، يمكنك أن ترى بسرعة جداً ماذا يحدث.

إذاً هذه ميزة للأنظمة الديناميكية التي أعتقد أنّها مختلفة إلى حدٍّ ما عن

كيفية اسخدام المعادلة في مكانٍ آخر. ربما المعادلة ليست نهاية القصة، لكنّها

البداية. أحدٌ ما عليه أن يكررها وأن يأخذ مقاربة تجريبية أكثر قليلاً، لرؤية

ما الخصائص التي تنشأ من عمل التكرار.

وغالباً الخصائص التي تنشأ هي خصائص لم تكن حاضرة بالمعادلة الأصلية.

إذاً على أي حال، يقودنا هذا إلى نهاية الوحدة 5. 
لقد نظرنا إلى رسوم التشعب البيانية

للمعادلة اللوجيستية.

في الوحدة التالية، سوف نركّز على هذه الميزة من تضاعفات الدورة المكررة، هذه المذراة

من الجنب U's التي تأتي مرة بعد مرة بعد مرة في رسم التشعب البياني.

وبشكلٍ مذهل، سنرى أنّه ليس فقط فضول هندسي أو رياضي ما،

لكنّه في الواقع لديها نوع من البيانات الهامة حقاً تساوي تقريباً الخصائص الفيزيائية

الفعلية للأنظمة في العالم المادي.

أراكم لاحقاً.