Entonces ahora tenemos una colección de diagramas de estado final
Estos son los ejemplo que hice en el último video
3.2,2.9, y el valor ocho-periódico en 3.8.
Para el 'quiz' que quizás realizaste
hiciste 3.4, que es otro valor 2-periódico
3.79 es de periodo 5
1,2,3,4,5
y entonces otro valor 8-periódico, 3.9
aquí los puntos se extienden sobre 0.1
casi 1 exactamente, quizás 0.98
y quizás parece algo como esto
entonces, tenemos nuestra colección de diagramas de estado finito
y de la misma forma que con las ecuaciones diferenciales
seguimos un diagrama de bifurcación a base de pegar juntos diagramas de estado final
así... voy a coger cada uno de estos, y cortarlos
así puedo moverlos alrededor
y así veremos que sucede
Ahora, tengo una colección de diagramas de estado final
vamos a ordenarlos
como antes, los pondré uno al lado del otro
Aquí está el 2,9, que es de periodo 1
Aquí el 3.2. Esté es un ciclo estable de periodo 2.
Aquí el 3.4,3.739, 3.8 y 3.9.
Y esto el el principio del diagrama de bifurcación para la ecuación logística.
Recuerda que la finalidad del diagrama es ver como un sistema dinámico se comporta cuando el parámetro,
en este caso la 'r', es modificado.
Entonces esto nos da una visión global del rango de comportamientos que un sistema dinámico puede mostrar.
En este caso, con solo seis diagramas de estado final,
no queda muy claro, todavía, cuál es el patrón general.
Para encontrar el patrón, conectamos los puntos, por decirlo así,
y tendríamos que probar esto para muchos valores de r.
Y hacer muchas más lineas de fase, apilarlas todas densamente,
de forma que podamos ver que pasa cuando variamos r.
Cómo ya habrás probablemente imaginado, usaré un ordenador para que haga esto por nosotros,
y te mostraré el programa y como funciona en un momento.
Pero primero, enfoquémonos en cuales son los resultados.
Veamos...pongamos estos a una lado por un momento.
Aquí está el diagrama de bifurcación de la ecuación logística.
El límite inferior es r=0 y aquí r=4.
Y esto va de 0 a 1.
Así que cuando r está entre cero y uno, justo entre mis dedos,
(cuesta de verlo aquí) pero el único punto fijo es punto fijo atractor en cero.
Si el ratio de crecimiento es menor que uno, los conejos la palman.
Entre uno y tres, hay un punto fijo atractor.
Y de hecho vimos que, veamos, hicimos este para 2.9.
Aquí está. Veamos si eso funciona.
Más cerca, vala entonces 2.9 está justo aquí.
Y este punto que dibujé, en el primer ejemplo, es parte de esta linea aquí.
Entonces, cuando r incrementa cuando el ratio de crecimiento se hace más y más grande,
el comportamiento de periodo 1 bifurca en periodo 2
y vemos que esto es para r=3.2
r=3.2
entonces los dos puntos del diagrama de estado final muestran como parte de esta línea aquí.
Y en esta región, donde is voy desde este único punto, ceo dos lineas, dos regiones oscuras,
esto indicaría que es 2-periódico.
Aquí para otro valor de r un poco más grande, 3.4
y, todavía en periodo 2, hay dos únicos puntos pero los periodos estás un poco más separados.
Veamos si cambiamos ambos a la vez.
Así, para estos dos valores distintos, Es lo el mismo comportamiento cualitativo, un ciclo atractor de periodo 2.
Pero la localización precisa es algo diferente.
De acuerdo, es un poco dificil ver lo que esŧa pasando aquí,
así que voy a ampliar en un momento.
Pero primero introduzcamos un poco de terminología,
que ya debería ser familiar
por lo que hicimos con ecuaciones diferenciales.
Yo diría que el sistema cruza una bifurcación aquí
en r=3.
Recuerda que una bifurcación es un cambio repentino
en el comportamiento cualitativo de un
sistema dinámico
cuando el parámetro varía de forma continua.
Asi que aquí es donde el cambio cualitativo acontece
separándose el punto fijo en dos
y vemos que de un atractor de periodo 1
pasamos a un atractor de periodo 2,
y hay una bifurcación.
Esto se llama una bifurcación de desdoblamiento del periodo
porque el periodo dobla.
Aquí vemos que tenemos una bifurcación
de periodo 2 a periodo 4.
Así que hay otra bifurcación desdoblamiento de periodo.
Bien, ampliemos el diagrama de bifurcación
y observemos esta región.
Miremos a que pasa entre 3 y 4.
Como aquí es donde el comportamiento más interesante acontece
aquí es donde he ampliado,
y este es el diagrama de bifurcación entre 3 y 4.
Vemos en esta región, desde 3 hasta un poquito más que 3.4
que tenemos periodo 2.
Aquí están los diagramas de estado final que dibujamos antes.
Aquí está 3,2 y allá 3.4,
y se alinean bastante bien.
Veamos si podemos obtener unos más aquí.
Aqui está 3.739, y esto corresponde a,
esta región divertida aquí
(la más clara)
y vemos desde más cerca aun.
Pero en periodo 5 (1,2,3,4,5)
y entonces tenemos dos valores 8-periódicos,
en 3.8 y alrededor de aquí,
ahh esto pinta bien.
Y entonces 3.9 que esta justo alrededor de aquí
Así que el diagrama de bifurcación para la función logística
parece bastante diferente al que ya vimos
para ecuaciones diferenciales,
lo cual no es sorprendente,
la función logística, y otras cosas parecidas,
muestra caos, comportamiento aperiódico.
Y ya esperábamos tener un diagrama de bifurcación más rico
y más características a las que mirar.
Pero recuerda, la cosa sobre diagramas de bifurcación,
para interpretarlos,
recuerda que comenzaron su vida en este caso,
como una serie de diagramas de estado final
asi que por ejemplo, si yo quiero saber
que está sucediendo alrededor de 3.7
intentaría borrar todo excepto 3.7.
Y entonces mirarlo como un único diagrama de estado final.
Ya había imaginado esto que ha sucedido.
Entonces...He movido esto de forma que esta rendija muestra exacto que hay en 3.7
y así podríamos decir que esto pinta como una región aperiódica,
muchos y muchos puntos,
entonces debe ser aperiódico,
yendo entre este y este otro valor.
Si yo quisiera saber que pasa en 3.2,
podría mover esto hasta ver 3.2
y entonces vería justo estos dos puntos aquí,
(o pequeños segmentos de recta)
y eso significaría que esto es periódico de periodo 2.
E imaginar otra forma de ver esto,
cuando r incrementa, vemos que hay comportamiento 2-periódico,
y los dos valores se alejan.
Se mueven en esta dirección, asl aumentar r.
Y entonces, un poco después de 3.4,
(donde? aquí está! una bifurcación!)
y ahora hay periodo 4 (1,2,3,4).
Un pequeño cambio en r (moviendo esto aquí)
nos lleva a un cambio cualitativo
en el comportamiento del sistema dinámico.
En este caso, vamos de un ciclo de periodo 2 a uno de periodo 4.
Y entonces al incrementar r más,
hay una región de periodo 8 (1,2,3,4,5,6,7,8),
cada periodo se separa en dos, así cuatro pasa a ocho,
8 pasa a 16, y así sigue,
y tenemos regiones caóticas.
Aquí, eso es aperiódico, con un hueco en medio.
Esto es mucho más estrecho, pero es un valor 5-periódico.
Vimos antes.
Mas regiones aperiódicas...aqui hay un hueco 3-periódico.
1,2,3...creo que ya lo investigamos,
quizás en la unidad 2,
y entonces finalmente, en r=4, tenemos
orbitas que van de cero a uno,
y llenaría este intervalo completamente.
De acuerdo, esto es el diagrama de bifurcación para la ecuación logística.
Pasaremos mas tiempo explorando esto,
pero primero os recomiendo que hagáis el 'quiz'.
Debería ser rápido, y ello os ayudará
a entender lo que hemos hecho en esta lección,
y entonces miraremos a un programa online
que os permitirá explorar mucho mucho más!
Con el diagrama de bifurcación de la ecuación logística.