إذاً لدينا الآن مجموعة من رسوم الحالة المحدودة.
ها هي الأمثلة التي قمت بها في الفيديو الأخير
3.2، 2.9، وثمّ ثامن قيمة دورية عند 3.8
وثم بالنسبة للإختبار القصير، الذي قد أخذته للتو
لقد قمت بـ 3.4، تلك قيمة دورة 2
3.79، هذه دورة 5
1، 2، 3، 4، 5
وثمّ 8 دورية أخرى، 3.9
هنا، النقاط نمدد حوالي 0.1
تقريباً 1 تماماً، ربما 0.98
إذاً ربما تبدو شيئاً ما كهذا
إذاً، لقد حصلنا على مجموعتنا من رسوم الحالة المحدودة البيانية
وكما فعلنا بالمعادلات التفاضلية،
سوف نتبع رسم تشعب بياني من خلال إلصاقهم معاً، مجموعة من رسوم الحالة النهائية البيانية
إذاً، سوف آخذ كلٌّ من هؤلاء، وأقطعها
لكي أستطيع تحريكها هنا وهناك
إذاً سوف أفعل هذا وسنرى ماذا يبدو
إذاً الآن لقد حصلت على مجموعة من رسوم الحالة النهائية البيانية
ودعونا نضعهم بالترتيب
وكما سابقاً، سأضعهم على جنب، عندما يفعلون ذلك
إذاً ها هنا 2.9. تلك كانت دورة 1
ها هنا 3.2. ذك مدار مستقر من دورة 2
ها هنا 3.4، 3.739، 3.8، و 3.9
إذاً هذه هي بدايات رسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية.
تذكر أنّ الهدف من رسم التشعب البياني هو رؤية كيف يتغير سلوك الأنظمة الديناميكية بتغير الوسيط
في هذه الحالة لقد تغيرت r.
لذلك تعطينا نظرة شاملة لنطاق السلوكيات التي يمكن أن يُظهرها النظام الديناميكي،
في هذه الحالة، مع رسوم الحالة النهائية الستة هذه فقط
إنّه ليس واضحاً حقاً بعد، ماذا يمكن أن يكون النمط العام.
إذاً، لكي نستطيع رؤية النمط، لوصل النقاط، لنصف
سنحتاج فقط إلى أن نجرب هذه للعديد من قيم r الإضافية
وصنع العديد من الخطوط المرحلية الإضافية، ونكدسهم كلهم هنا على نحوٍ شديد.
إذاً نستطيع أن نرى ماذا يحدث من قيمة r لأخرى
إذاً، كما خمنت على الأرجح، سأستخدم الحاسوب ليقوم لنا بهذا العمل
وسأريكم البرنامج، وكيف يعمل بعد قليل،
لكن أولاً، دعونا نركز على ماهية النتائج.
إذاً دعونا نرى، ضع هؤلاء على جنب للحظة فقط.
ها هو رسم التشعب البياني، أو المعادلة اللوجيستية.
الحد الأدنى هنا هو r = 0، وهنا هو r = 4
ومن ثمّ يذهب هذا من 0 إلى 1.
إذاً عندما تكون r بين الصفر وواحد، بين أصابعي هنا،
(لا يمكنك رؤيته تماماً هنا)، لكن النقطة الثابتة الوحيدة هي النقطة الثابتة الثابتة عند الصفر.
إن كان مقدار التطور أقل من واحد، تموت الأرانب.
بوجد نقطة ثابتة جاذبة بين واحد وثلاثة.
وفي الواقع لقد رأينا ذلك، دعونا نرى، لقد قمنا بواحدة لـ 2.9
ها هو. دعونا نرى إن كان سيعمل ذلك.
قريب، حسناً إذاً، 2.9 ذلك حوالي هناك
وهذه النقطة التي رسمتها، في المثال الأول، إنّها جزء من الخط هنا.
ثمّ عندما تزداد r، عندما يصبح مقدار التطور أكبر وأكبر،
سلوك دورة 1 ينقسم إلى دورة 2
ولقد رأينا ذلك ها هنا r = 3.2
r = 3.2
إذاً النقطتان من رسم الحالة النهائية البياني تظهر كجزء من هذا الخط هنا.
إذاً في هذه المنطقة، حيث إذا ذهبت من نقطة واحدة، أرى خطّين، منطقتين داكنتين،
ذلك سوف يشير إلى أنّها دورة 2.
ها هنا قيمة r أخرى، أكبر قليلاً، 3.4
و لازالت دورة 2، يوجد نقطتين فقط لكن الدورات أبعد قليلاً.
دعونا نرى إن كنت أستطيع أن أحصل على كلتا هؤلاء بنفس الوقت.
إذاً، لهاتين القيمتين المختلفتين، إنّه نفس السلوك النوعي يجذب مدار أو دورة 2
لكن المواقع الدقيقة مختلفة قليلاً.
حسناً، إنّه من الصعب قيليلاً رؤية ماذا يحدث هنا،
لذلك سوف نكبّر هنا خلال لحظة
لكن أولاً القليل فقط من المصطلحات
والتي يجب أن تكون مألوفة
من ما فعلناه بالمعادلات التفاضلية
سأقول أنّ النظام يمر بتشعب هنا
عند r =3
تذكر أنّ التشعب مفاجئ
تغير نوعي في سلوك
النظام الديناميكي
عندما يتغير الوسيط يتغير باستمرار
إذاً التغير النوعي هنا
هو أنّ النقطة الثابتة هنا تنقسم لإثنتان
لذلك نذهب من جاذب لدورة 1
إلى جاذب لدورة 2
إذاً ذلك تشعب
ويدعى تشعب مضاعفة دورة
لأنّ الدورة تتضاعف
نرى هنا أنّه لدينا تشعب
من دورة 2 إلى دورة 4
إذاً ذلك تشعب مضاعفة دورة آخر
حسناً، دعونا نكبّر رسم التشعب البياني
دعونا ننظر لهذا الجزء
دعونا ننظر على ماذا يحدث من 3 إلى 4
بما أنّ هنا هو مكان الكثير من التأثير المثير للإهتمام
إذاً هنا، لقد كبّرت،
وهذا رسم تشعب بياني من 3 إلى 4
إذاً نرى في هذه المنطقة، من 3 إلى أكثر من 3.4 بقليل،
السلوك هو دورة 2
ها هي رسوم الحالة النهائية البيانية التي رسمناها سابقاً.
ها هي 3.2، وها هي 3.4،
وإنّهم يصطفون بشكلٍ جيد جداً.
دعونا نرى إن كنت أستطيع أن أحصل على المزيد قليلاً هنا.
ها هنا 3.739، وهذا يتطابق مع
هذه المنطقة المضحكة هنا
(هذه المنطقة الفاتحة)
وسوف نظر لذلك عن كثب أكثر بعد قليل،
لكن الدورة 5 (1، 2، 3، 4، 5)
ومن ثمّ كان لدينا قيمتي 8 دورية،
عند 3.8 ... عند مكان قريب هناك،
ذلك يبدو جيد جداً
وثمّ 3.9 والتي هي في مكان قريب هناك.
إذاً، رسم التشعب البياني للخريطة اللوجيستية
يبدو مختلفاً تماماً عن الرسم البياني الذي رأيناه
للمعادلات التفاضلية،
والذي ليس مفاجئاً،
الخريطة اللوجيستية، وأشياء مثلها،
تُظهر شواش، سلوك غير دوري،
لذلك سنتوقع أن يكون رسم تشعب بياني أوسع،
ولدينا ميزات إضافية لننظر لها.
لكن تذكر، الفكرة بخصوص رسوم التشعب البيانية،
لنفسرهم،
تذكر أنّهم يبدأون حياتهم (في هذه الحالة)
كسلسلة من رسوم الحالة النهائية البيانية
إذاً كمثال، إذا أردت أن أعرف
ماذا يحدث عند 3.7 مباشرةً،
سأجرب فقط أن أرسم بيانياً كل شيء ما عدا 3.7
ومن ثمّ أعرضها كرسم حالة نهائية بياني وحيد.
لقد تخيلت نوعاً ما فعل ذلك مع هذا الشيء الذي صنعته.
إذاً... لقد حركتُ هذه لكي يظهر الشق حوال 3.7 تماماً،
وإذاً سنقول أنّ هذا يبدو كمنطقة غير دورية،
الكثير والكثير من النقاط،
إذاً لابدّ أنّه غير دوري،
الذهاب بين هذه القيمة وهذه القيمة.
إذا أردت أن أعرف ماذا يحدث عند 3.2،
أستطيع أن أحرك هذه حتى أرى 3.2،
ومن ثمّ سأرى هاتين النقطتين هنا،
(أو شرائح خط صغيرة)
وهذا سيعني أنّ هذا غير دوري مع دورة 2.
وتخيّل طريقة أخرى لرؤية ذلك،
عنما تزداد r، نرى سلوك دورة 2،
والقيمتين يبتعدان أكثر قليلاً.
إنّهم يتحركون بهذا الإتجاه، عندما أدع r تكبر.
ومن ثمّ أبعد من 3.4 قليلاً،
(أين هي؟ ها هي - يوجد تشعب)
إذاً الآن إنّها دورة 4 (1، 2، 3، 4)
تغير صغير في r (الذي يحرك هذه)
يؤدي إلى تغير نوعي
في سلوك النظام الديناميكي.
في هذه الحالة نذهب من مدار لدورة 2 إلى مدار من دورة 4
ومن ثمّ عنما أزيد r أكثر،
يوجد منطقة من دورة 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
تنقسم كل دورة إلى قسمين، إذاً 4 تذهب إلى 8،
8 تذهب إلى 16، وهكذا،
عندئذٍ يكون لدينا مناطق من الشواش.
هنا، هذه غير دورية، مع فجوة في المنتصف.
هذه ضيقة جداً لكن هذه قيمة دورة 5
التي رأيناها سابقاً.
المزيد من المناطق غير الدورية..... ها هنا فجوة دورة 3.
1، 2، 3.... أعتقد أنّنا تحققنا من ذلك،
ربما سابقاً بالوحدة 2،
وثم أخير بالأعلى عند r = 4، لدينا
مدارات تذهب من الصفر لواحد،
ولذلك ستملأ الفاصل بأكمله.
حسناً إذاً هذا هو رسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية.
سنقضي وقتاً أكثر بإستكشاف هذا،
لكن أولاً سأوصي بالقيام بالإختبار القصير.
يجب أن يكون سريعاً، وسوف
أتحقق فقط من فهمك لهذه المحاضرة،
وثمّ سوف ننظر للبرنامج على الإنترنت
الذي سيدعك تقوم بإستكشاف أكثر بكثير
برسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية.