Hola, bienvenidos a la unidad 5.
Esta es la segunda de dos unidades sobre bifurcaciones.
En esta unidad, veremos las bifurcaciones para la función logística iterada.
Como hemos visto, la función logística iterada es capaz de un comportamiento aperiódico y de caos.
Este comportamiento se verá reflejado en el diagrama de bifurcación.
Entonces, el diagrama de bifurcación para estas funciones iteradas será más interesante, y ciertamente mucho más complejo,
que los diagramas de bifurcación para diferentes ecuaciones diferenciales, que fue el tema de la unidad previa.
Comenzaré por revisar la forma de la función iterada para la ecuación logística y ello nos llevará a los diagramas de bifurcación.
Entonces, iniciemos.
Entonces, aquí está la ecuación logística, ahora la llamaré mapa logístico para distinguirla de la ecuación diferencial.
Así, esta es una función iterada. Aquí tenemos la función: rx(1-x). r es el parámetro, yendo de cero a cuatro en su variación, y haremos iterar la función para producir series de tiempo.
También podemos escribir el proceso en esta forma: esto dice que el siguiente valor de x es una función del valor actual de x, r que multiplica al valor actual , multiplicado por uno menos el valor actual.
Y otra cosa que debo recordarles, es que esta ecuación, la ecuación logística, es una fórmula muy simple.
Se trata sólo de una parábola, un polinomio de segundo orden.
De tal manera que si ustedes la expanden, lucirá como esto: una función que no es del todo complicada.
También podemos hacer una simple gráfica.
Es tan solo una parábola abierta hacia abajo.
Se trata de una función tan simple como uno puede imaginar.
Y, como veremos, cuando se la itera, se puede obtener un comportamiento aperiódico, caos, comportamiento periódico, y así por el estilo.
Ahora, iniciemos como lo hicimos para la ecuación diferencial logística.
Consideraré el comportamiento de este sistema dinámico para un par de diferentes valores de r.
Graficaremos, no una línea de fase, pero sí algo similar a ella para cada valor de r
y, entonces, nos las imaginaremos, pegadas juntas, para producir el diagrama de bifurcación.
Para la ecuación logística, o el mapa logístico,
usamos un programa de la web para que grafique, para nosotros, las series de tiempo
y, de nuevo, echemos un vistazo al programa de graficación de series de tiempo. Intentaremos con un par de valores para r,
sólo para recordarles cómo es que trabaja.
Hay una liga a la página web con el programa de series de tiempo en la sub-unidad intitulada “Programas de la ecuación logística”. También, hay una liga a este programa justo debajo de este video.
Aquí está el programa que hace las gráficas para las series de tiempo de la ecuación logística.
Usémoslo para hacer gráficas de series de tiempo para diferentes valores del parámetro: tres diferentes valores.
Entonces, voy aquí abajo, y el primer valor que voy a probar es 2.9.
Introduzco 2.9 y pido al programa que realice la gráfica de la serie de tiempo
y allí está.
Vemos que la órbita se está aproximando a un punto fijo, tal y como lo hemos visto antes,
este es un punto fijo atrayente.
Toma algo de tiempo que llegue allí, oscila de arriba a abajo, pero podemos ver que se acerca más y más a este valor.
Si revisamos los números, este se encuentra alrededor de 0.65, 0.66 o algo similar.
Entonces, para 2.9 tenemos un punto fijo atrayente.
A continuación, probemos 3.2.
Entonces, regreso aquí, introduzco un valor diferente para el parámetro, 3.2, y obtenemos la gráfica de serie de tiempo:
allí está.
Aquí vemos un ciclo que es periódico, con un periodo 2, y parece que se mueve entre 0.8 y, quizá, algo más que 0.5.
Podemos revisar los números y mirar. Allí, se está moviendo entre 0.799, alrededor de 0.8, y 0.51.
Entonces, para este valor de r, cuando r es 3.2, observamos un comportamiento periódico con periodo 2.
Permítanme intentar uno más, lo haré con 3.8.
Voy acá arriba, introduzco 3.8, obtengo la gráfica de la serie de tiempo.
Es un poco difícil ver qué esta pasando aquí.
No es precisamente periódica, quizá quiere ser periódica pero no encuentra el periodo.
Así, a fin de estar seguros, para ver qué está pasando, voy a graficar más iteraciones.
En vez de 40, grafiquemos 200 y veamos si esta se vuelve periódica o no.
En esta vista, podemos ver que la órbita es aperiódica.
No se estabiliza en ningún ciclo y parece que el intervalo es un poco menor a 0.2,
quizá 0.18 es el mínimo y cerca de 0.95, o un poco más.
Entonces, esta no llena el intervalo completo.
No baja aquí, no llega al tope... Déjenme graficar, sólo para ver esto un poco más claramente.
Lo hago un millar de veces. Esto puede tomar un segundo.
Allí está.
De nuevo, podemos ver los rebotes de la órbita, todo alrededor.
No se vuelve regular y el mínimo se encuentra alrededor de 0.18, o algo así,
y el máximo es probablemente 0.96, 0.97.
Entonces, para este valor de r, la órbita es aperiódica.
Para un valor dado de r, podemos resumir el comportamiento del mapa logístico con un instrumento gráfico denominado diagrama de estado final.
Lo presenté en la Unidad 3, pero pensé que ahora sería bueno repasarlo rápidamente.
Entonces, este fue el primer valor de r con el que experimentamos en el sitio de la web:
r es 2.9. Dijimos que hay un punto fijo aquí, alrededor de 0.65 o 0.66.
Entonces puedo dibujar eso... como sigue.
Déjenme dibujar la línea para la línea de fase,
usaré esto para conseguir una recta.
Así, dibujaré eso como una línea.
La idea es que este es cero y ese es uno.
Y hay un punto fijo en 0.66, así que eso va a ir…iré sobre la mitad,
y tal vez un poco más, y pondré un simple punto allí.
Este sería, nótese, r=2.9.
Únicamente estoy interesado en el comportamiento a largo plazo.
Esa es la razón por la que llamamos a esto el diagrama de estado final.
Podría imaginar que puedo ejecutar el programa para 40 pasos,
quizá para 400 pasos,
y entonces podría graficar los siguientes 100 puntos que parecieran en la órbita.
En este caso, esos 100 puntos serían todos lo mismo, todos ellos serían el punto fijo.
Entonces, ellos sólo estarían en un simple punto en el diagrama de estado final.
Hagamos lo mismo para r=3.2.
Aquí hay un ciclo entre 0.8 y 0.55 o algo así.
Déjenme dibujar la línea para el diagrama de estado final.
Allí esta y, esta vez, he llegado a dos estados finales:
0.8 y 0.55.
Entonces, los dibujaré:
voy a la mitad, y un poco más,
entonces tal vez allí.
Entonces, esos podrían ser mis dos valores.
Esto es para r=3.2.
De nuevo, una forma de pensar acerca del procedimiento para esto
es que podríamos ejecutar esto para 40 o 400, o incluso 4000 pasos si queremos,
y entonces graficar los siguientes 100 puntos.
Y esta vez los siguientes 100 puntos solo estarían oscilando,
de abajo a arriba, entre estos dos valores.
Eso parecería, tan sólo, como dos puntos aquí sobre esta línea.
Entonces, eso seria el diagrama de estado final para r=3.2.
Finalmente, pensemos acerca de un diagrama de estado final para r=3.8.
Este es un valor aperiódico.
Permítanme… dibujar la línea para el diagrama de estado final.
Estoy usando esta tarjeta para que todas las líneas sean del mismo tamaño.
Bien, ahora veamos,
escribiré r=3.8.
Ahora vemos que todos los puntos están llenando, más o menos,
todos los números entre 0.18 y 0.96.
Así, podríamos graficar esto para 2000 o 20000 pasos y, entonces, graficar los siguientes 100 en la órbita.
En esta órbita se mantendría rebotando aproximadamente entre estos dos valores.
Así, en medio de estos dos valores, la línea se llena con puntos.
Entonces, permítanme dibujar eso.
Los mayores valores irían cerca de aquí. Los más pequeños valores, 0.18, quizá alrededor de aquí.
Y, entonces, yo sólo llenaré este segmento con puntos.
Llenándolo con puntos.
Bien, entonces el diagrama de estado final podría verse algo así y lo podría interpretar.
Si yo viera esto como un diagrama de estado final, diría “Oh, bien, esto no se está estabilizando”.
La órbita no se está volviendo periódica.
Si fuera periódica, habría dos o cuatro, o cualesquiera que sea el periodo, de puntos aquí.
Pero el hecho es que esto se llena y parece sólido, es una indicación de que la órbita es aperiódica.
Debería mencionar que, si ejecutamos esto por un tiempo realmente largo,
no llenaría todos los números entre 0.18 y 0.96, o los que fueran,
porque hay un número infinito de valores entre mis dedos, ahora mismo, sobre la línea de números.
De hecho, hay una infinidad incuantificable y el número de puntos en una órbita,
incluso en una órbita infinita serían cuantificables.
Entonces, no es que el intervalo esté completamente lleno en un sentido literal,
pero los puntos, si los dibujáramos con un grosor finito, cualquier grosor diferente de cero, parecería como si fuera una zona continua pero irregular de puntos.
Entonces, estos son los diagrama de estado final para tres diferentes valores de r.
Son similares a las líneas de fase, aunque con diferencias, porque no tienen flechas sobre ellos.
Y la razón para que no tengan flechas es que, a diferencia de las ecuaciones diferenciales,
para estas funciones iteradas, puede haber oscilaciones.
Entonces este, para 2.9, oscila de abajo para arriba.
Así, sube, baja, sube, baja.
Como sea, sólo estamos dibujando los estados finales,
no estamos colocando flechas sobre ellos.
Entonces, antes de irme, recomendaría resolver el siguiente cuestionario,
que es para que tengan práctica en dibujar algunos diagramas de estado final,
para algunos pocos valores diferentes de r.
Esto debería ser muy rápido,
sólo me aseguraré que su cerebro está detrás trabajando con claridad,
detrás en el modo de pensar acerca de la ecuación logística discreta.
Así, hagan el intento y, entonces, pondremos estas líneas juntas
y haremos un diagrama de bifurcación.