أهلاً ومرحباً بكم في الوحدة 5.
هذه الوحدة الثانية من وحدات التشعبات.
في هذه الوحدة سوف ننظر لتشعبات التابع اللوجيستي التكراري.
كما رأينا، التابع اللوجيستي التكراري قادر على السلوك غير الدوري والشواش.
هذا السلوك سوف ينعكس في رسم التشعب البياني.
وإذاً رسم التشعب البياني للتوابع التكرارية هذا
سيكون مثير للإهتمام أكثر وبالتأكيد معقد أكثر
من رسوم التشعب البيانية للمعادلات التفاضلية
اللواتي كن الموضوع للوحدة السابقة.
سأبدأ من خلال مراجعة التابع التكراري من المعادلة اللوجيستية
وسوف يقودنا هذا إلى رسم التشعب البياني.
إذاً دعونا نبدأ.
إذاً ها هنا المعادلة اللوجيستية، أو سوف أدعوها الخريطة اللوجيستية،
لنميزها من المعادلة التفاضلية اللوجيستية.
إذاً هذا تابع تكراري.
ها هي الدالة: (rx(1-x
r هي وسيط يذهب من الصفر إلى 4 الذي سيتغير.
وسوف نكرر الدالة لننتج سلسلة زمنية.
ويمكننا أيضاً كتابة العملية بهذه الطريقة: هذا يقول أنّ القيمة التالية لـ x
هي دالة للقيمة الحالية لـ x: والتي هي r في القيمة الحالية في واحد ناقص القيمة الحالية.
وشيءٌ واحد آخر، فقط لتذكيركم، أنّه هذه المعادلة،
المعادلة اللوجيستية،
إنّها معادلة بسيطة جداً
إذاً إذا وسعت ذلك، سوف تبدو هكذا :
ليست دالة معقدة على الإطلاق.
ويمكننا أن نصنع رسم بياني بسيط أيضاً.
إنّه فقط بداية نزول قطع مكافئ: إذاً إنّه ببساطة الدالة الذي يمكن أن يتخيلها أحدٌ ما.
ومع أننا كما رأينا، عندما تكررها،
يمكنك أن تحصل على سلوك غير دوري، شواش، سلوك دوري، وهكذا.
إذاً دعونا نبدأ كما بدأنا بالمعادلة التفاضلية اللوجيستية.
سوف أعتبر سلوك النظام الديناميكي لعدّة قيم مختلفة لـ r.
سوف نرسم بيانياً، ليس خطاً مرحلياً تماماً، لكن شيئاً مشابه للخط المرحلي لكل قيمة r.
ومن ثمّ سنتخيل إلصاق هؤلاء مع بعضهم لإنتاج رسم تشعب بياني.
بالنسبة للمعادلة اللوجيستية، أو الخريطة اللوجيستية،
لقد استخدمنا برنامج على شبكة الإنترنت لرسم سلسلة زمنية بيانية لنا.
ودعونا نلقي نظرة على برنامج رسم السلسلة الزمنية بيانياً مجدداً.
وسوف نجرب عدة قيم لـ r فقط لتذكيركم كيف يسير هذا.
ها هو البرنامج الذي يصنع رسوم سلسلة زمنية بيانية للمعادلة اللوجيستية.
دعونا نستخدم هذا لنصنع
رسم سلسلة زمنية بياني لثلاث قيم وسيط مختلفة، ثلاث قيم r مختلفة.
إذاً سأنزل هنا والقيمة الأولى التي سأجربها هي 2.9.
إذاً أدخل 2.9،
اطلب من البرنامج أن يصنع رسم سلسلة زمنية بياني،
وها هو هنا. ونرى أنّ
المدار يقترب من نقطة ثابتة.
ولقد رأينا سابقاً، هذه نقطة ثابتة جاذبة. تأخذ القليل من الوقت لتصل إلى هناك،
إنّها تتذبذب ذهاباً وإياباً، لكن يمكننا رؤيتها تقترب أكثر وأكثر من هذه القيمة.
وإذا نظرت للأعداد، إنّها تذهب حوالي 0.65،
0.66: شيئاً كهذا. إذاً لـ 2.9، لدينا نقطة ثابتة جاذبة.
بعد ذلك، دعونا نجرب 3.2. إذاً سأعود إلى هنا،
أدخل قيمة وسيط مختلفة، 3.2،
ودعونا نصنع رسم سلسلة زمنية بياني:
ها هو. ونرى هنا مدارالدورة.
إنّه دوري بدورة 2، ويبدو أنّه يذهب بين
0.8 وربما أكثر من 0.5 بقليل: يمكننا أن ننظر و نتحقق من الأعداد.
وبالفعل، إنها تذهب بين 0.799، تقريباً 8: و 0.51.
إذاً لقيمة r هذه، عندما r تساوي 3.2،
نرى سلوك دوري بالدورة 2.
دعوني أجرب واحدة أخرى، وسأقوم بـ 3.8.
إذاً سأصعد إلى هنا
وسأدخل 3.8،
اصنع رسم السلسلة الزمنية البياني، و
إنّه من الصعب قليلاً رؤية ماذا يحدث هنا.
إنّه ليس دوري تماماً:
ربما يريد أن يكون دوري لكن لم يجد الدورة بعد.
إذاً لكي نتأكد لنرى ماذا يحدث، سوف أرسم المزيد من التكرارات بيانياً.
بدلاً من 40، دعونا نرسم 200 بيانياً ودعونا نرى إن كانت تصبح دورية أو لا.
إذاً نستطيع أن نرى بهذا المنظر أنّ المدار غير دوري.
إنّه لا يستقر بأي دورة
ويبدو أنّه يمتد من تحت 0.2 قليلاً،
ربما 0.18 هو الحد الأدنى، وحوالي 0.95 أو أكثر قليلاً.
إذاً إنّه لا يملأ المجال كاملا :
إنّه لا يصل إلى هنا بالأسفل، وإنّه لا يصل للأعلى.
دعوني أرسم بيانياً -
فقط لأرى هذا بشكل أكثر وضوحاً -
سأقوم بألف : هذا قد يأخذ ثانية. ها هو.
إذاً مجدداً، نستطيع أن نرى أنّ المدار يرتد في كل مكان.
إنّه لا يصبح منتظم.
والحد الأدنى حوالي 0.18 أو هكذا، والحد الأقصى هو 0.96، 0.97 على الأرجح.
إذاً ...
لقيمة r هذه، المدار غير دوري.
لقيمة r المعطاة، نستطيع أن نلخص سلوك الخريطة اللوجيستية
بأداة بيانية تدعى رسم الحالة النهائية البياني.
ولقد قدمت هؤلاء في الوحدة 3،
لكن فكرت أنّه سيكون من الجيد أن نراجعهم بشكل سريع الآن.
إذاً هذه كانت قيمة r الأولى التي جربناها
على الموقع: r هي 2.9.
ولقد قلنا أنّه يوجد نقطة ثابتة هنا عند حوالي
0.65 أو 0.66.
إذاً أستطيع أن أرسم ذلك، كالتالي. إذاً دعوني أرسم الخط
للخط المرحلي وسوف أستخدم هذا لأحصل عليه مستقيم.
إذاً سأرسم هذا فقط كخط.
والفكرة هي أنّ هذا صفر وذلك 1. وأنّه هناك نقطة ثابتة عند 0.66
إذاً ذلك سوف يذهب، وسوف أذهب حتى منتصف الطريق،
وربما أكثر قليلاً، وسأضع نقطة واحدة هناك.
وهذا سيكون - اكتب ملاحظة-
هذه r هي 2.9.
إذاً أنا مهتم فقط بالسلوك طويل المدى:
ولهذا ندعو هؤلاء برسوم الحالة النهائية. وأستطيع أن أتخيل
أستطيع أن أشغل البرنامج لـ 40 مرة، وربما لـ 400 مرة،
ومن ثم أستطيع أن أرسم الـ 100 نقطة التالية بيانياً التي سوف تظهر في المدار.
وفي هذه الحالة، أولئك الـ 100 نقطة ستكون كلها نفس الشيء.
إذاً سوف يكونوا نقطة واحدة فقط في رسم الحالة النهائية البياني.
دعونا نفعل نفس الشي لـ r=3.2.
هنا يوجد مدار بين 0.8 و 0.55 أو هكذا.
إذاً دعوني أرسم الخط لرسم الحالة النهائية البياني.
ها هو.
وهذه المرة لدي قيمتي حالة نهائية: 0.8 و 0.55.
إذاً سأرسم هؤلاء: أذهب لمنتصف الطريق وأكثر قليلاً،
وثمّ ربما هناك. إذاً ربما هاتان يكونان قيمتين لدي : هذه هي r=3.2.
ومجدداً ، طريقة لنفكر بإجراء هذا هي، ربما
نشغل هذا لـ 40 أو 400 أو حتى 40000 مرة إذا أردت،
وثمّ نرسم الـ 100 نقطة التالية. وهذه المرة الـ 100 نقطة التالية ستكون
تتذبذب ذهاباً وإياباً بين هاتين القيمتين.
إذاً ذلك سيظهر كنقطتين فقط هنا على هذا الخط.
إذاً ذلك سيكون رسم الحالة النهائية البياني
لـ r=3.2. وأخيرأ، دعونا....
نفكر برسم الحالة النهائية البياني لـ r=3.8.
هذه قيمة غير دورية.
ودعوني
أرسم الخط لرسم الحالة النهائية البياني.
(إنّي أستحدم بطاقة الفهرس
لكي تكون كل الخطوط بنفس الحجم.)
حسناً ، إذاً الآن،
دعونا نرى، سأكتب r=3.8.
والآن نرى كل
النقاط تملأ كل الأرقام
بين حوال 0.18 و 0.96 بشكل أكثر أو أقل.
إذاً يمكننا أن نرسم هذا بيانياً لـ
2000 أو 20000 مرة، ومن ثمّ نرسم عدة مثات من النقاط التالية على المدار.
وهذا المدار سيستمر بالذبذبة هنا وهناك بين هاتين القيمتين.
وإذاً، سوف يمتلأ الخط بالنقاط بين هاتين القيمتين.
إذاً دعوني أرسم ذلك.
ستكون أكبر قيمة حوالي هنا. أصغر قيمة، 0.18،
ربما ذلك حوالي هنا. ومن ثمّ سأملأ
هذه القطعة بالنقاط.
( أملئها بالنقاط.)
حسناً، إذاً ربما يبدو رسم الحالة النهائية البياني شيئاً ما كهذا.
وسأفسر هذا، إذا رأيت هذا كرسم الحالة النهائية البياني،
سأقول، " آه، حسناً. إنّه لا يستقر.
لا يصبح المدار دورياً. لو كان دورياً، سكون هناك فقط اثنان أو أربعة،
أو أياً كانت الدورة،
النقاط هنا، لكن حقيقة أنّ هذا
يُملأ، ويبدو ثابتاً، إشارة على أنّ المدار غير دوري.
يجب أن أذكر ذلك، لو كنت قد شغلت هذا لوقت طويل جداً،
لم أكن ملأت كل الأعداد بين 0.18 و 0.96 أو أياً كانوا هؤلاء،
لأنّه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد بين أصابعي الآن على خط الأعداد.
في الواقع، هناك لا نهاية غير معدودة.
وعدد النقاط في مدار، حتى في مدار لا نهائي، سيكون معدود.
إذاً لا يعني أنّه
المجالل يُملأ بالكامل بالمعنى الحرفي.
لكن النقاط، إن كنا نرسمهم بأي سماكة محدودة نوعاً ما،
أي سماكة غير صفرية، يبدو أنّها ستنتهي كونها لطخة متماسكة
من النقاط. إذاً هؤلاء هم
رسوم الحالة النهائية البياني
لقيم r الثلاثة المختلفة. إنّهم كخط مرحلي لكنهم مختلفين
لأنّه لا يوجد فيهم أسهم.
وسبب عدم وجود أسهم فيهم هو،
أنّه بخلاف المعادلات التفاضلية، للتوابع التكرارية هذه
يمكن أن يكون هناك تذبذبات.
إذاً هذه لـ 2.9، تتذبذب ذهاباً وإياباً.
إذاً إنّه يتخطى، الدفع للأعلى ، يتخطى، الدفع للأعلى . إذاً على أي حال،
إنا فقط نرسم الحالات النهائية: إننا لا نضع أسهم فيهم.
إذاً قبل أن أكمل، سأوصي بالقيام بالإختبار القصير التالي،
والذي سأجعلكم تتمرنون على رسم بعض
رسوم الحالة النهائية البيانية لبعض قيم r المختلفة . يجب أن يكون سريعاً جداً
و سأتأكد فقط من أنّ عقلك (تفكيرك) قد عاد إلى ترس الحركة.
العودة إلى الوضع المريح، في التفكير بامعادلة اللوجيستية المتقطعة.
إذاً جرب هؤلاء، وثمّ سنضع هذه الخطوط معاً
ونصنع رسم تشعب بياني.