إذاً دعونا نلخص الوحدة 4، والتي كانت أول وحدتي التشعبات.
أبدأ من خلال النظر إلى المعادلة التفاضلية اللوجيستية.
إذاً تبدو مشابهة جداً في الجهة اليمنى للمعادلة اللوجيستية التي كررتها، لكن هذه معادلة تفاضلية.
كما في السابق إنّه نموذج مشابه جداً لتطور الكثافة السكانية حيث يوجد حدٌ ما للتطور.
المقدار r هو وسيط التطور، k معروف بالسعة الحاملة والسبب بذلك هو أنّنا رأينا أنّه كان يوجد نقطة توازن مستقرة عند P = K.
إذاً هذه هي قيمة التوازن التي ستنجذب لها الكثافة السكانية.
إذاً يوجد هناك نقطة توازن مستقرة أو نقطة جاذبة عند P = K ونقطة توازن غير مستقرة أو نقطة منفرة عند P =0.
إذاً من ثمّ قارنت وغايرت المعادلات التفاضلية، الموصوفة هنا ، والتوابع التكرارية.
إذاً بالنسبة للتوابع التكرارية، التي عملنا بها في أغلب الوحدة 3 .
الزمن يتحرك بالقفزات والكثافة السكانية تتحرك بالقفزات.
قد تقفز الكثافة السكانية من 0.6 إلى 0.8 بدون المرور بأي من القيم فيما بينها.
بالنسبة للمعادلات التفاضلية لهذا الفصل أو هذه الوحدة، الزمن مستمر كذلك P والكثافة السكانية.
إذاً إذا عرفت أنّ سنة واحدة من الكثافة السكانية كانت ثمانين وسنة أخرى كانت مئة، وبالتالي لا بدّ أنّها اختفت خلال كل القيم المتوسطة.
كل القيم بين ثمانون ومئة.
إذاً هذه الحقيقة بالاستمرار معاً مع الحتمية تعني أنّه المدارات وبالتالي الشواش ليست ممكنة للمعادلات التفاضلية أحادية البعد لهذا النوع.
ومجدداً هذا بسبب الحتمية، لأنّ بالنسبة لـ P المعطاة، وقيمة الكثافة السكانية المعطاة، الكثافة السكانية يمكن أن تملك مشتق واحد فقط، مقدار تغيير واحد.
إذاً يمكن أن تدور هنا وهناك، تذهب للأعلى وللأسفل، لنفس قيمة الـ P. يجب أن تذهب إما للأعلى أو للأسفل.
إذاً P يمكن أن تتزايد فقط لنقطة ثابتة، تتناقص لنقطة ثابتة أو تميل نحو زائد لانهاية أو ناقص لا نهاية.
إذاً نطاق السلوكيات الذي نستطيع رؤيته هنا ممل قليلاً، بمعنى أنّه لا نرى سلوك مشوش أو دورات حتى.
بالنسبة للتوابع التكرارية التي درسناها في الوحدة 1 و 3، كانت الدورات والشواش ممكنة .
ويجب أن أذكر أنّ كلا المعادلات التفاضلية والتوابع التكرارية هما ما يدعى بالمعادلة اللوجيستية.
لكن النسخة المكررة لهما تدعى غالباً الخريطة اللوجيستية والصورة هنا هي أنّ الدالة، ترسم خريطة الوحدة من مجال لآخر....لوحدة المجال....خرائط وحدة المجال لنفسه .
إذاً إنّه المعنى التقني نوعاً ما لكلمة رسم الخرائط.
لكن على أي حال، إذا سمعت مصطلح الخريطة اللوجيستية، إنّه من المؤكد غالباً أنّه تابع تكراري. إذا سمعت مصطلح المعادلة اللوجيستية، يمكن أن تكون هذا أو ذلك.
ستكون عادةً واضحة من خلال السياق، أي واحدة هي.
إذاً عندئذٍ انظر إلى تعدبل المعادلة اللوجيستية. لقد أضفت مصطلح الحصاد h، إذاً الكثافة السكانية تزداد بفعلها الذاتي ، لكن كل سنة إننا نطرح hمن الأسماك من الكثافة السكانية، إذاً h هي للحصاد.
وسألنا ماذا يحدث للقيم المختلفة لـ h. إذاً هنا أحد أمثلتنا الأولى حيث h =40 والقطع المكافئ هذا ينتقل للأسفل وكذلك النقطة الثابتة التي اعتادت أن تكون هنا انتقلت، وهنا الخط المرحلي لذلك.
لدينا نقطة ثابتة مستقرة عند 84 ونقطة ثابتة غير مستقرة عند حوال 16.
إذاً سألنا ماذا يحدث لقيم h المختلفة.
وأخذنا عدد من اللقطات. لقد قمنا بـ h =40، h =60، h =20، h = 80. لقد نسيت القيم الدقيقة، لكن لقد جربنا بنصف درزينة أو قيم h مختلفة كثيرة، ولكل تجربة فعلناها رسمنا خط مرحلي.
إذاً ها هنا رسم التشعب البياني لـ.... لدينا الشكل العام الذي سنتوقعه للمعادلة اللوجيستية.
إذاً نأخذ الخطوط المرحلية ولقيم وسيط مختلفة، ومن ثمّ نلصقهم معاً نوعاً ما.
وإذاً في رسم التشعب البياني الوسيط يتغير بهذا الإتجاه وفي المحور العمودي، حيث كل شريحة تعطينا خط مرحلي.
إذاً هؤلاء نظريين قليلاً ويمكن أن تأخذ القليل من التمرن للتعود على تفسيرهم، لكن الشيء الرئيسي هو أن تتذكر أنّ رسم التشعب البياني هو فقط خطوط مرحلية كثيرة مكدسة وملتصقة ببعضها.
إذاً إذا أردت أن تعرف، فلنقل، ماذا يحدث لفوق المئة قليلاً، هذه الحالة، سأحاول أن أركّز على تلك الشريحة العمودية مباشرةً وسأرى أنّه يوجد نقطة ثابتة مستقرة هنا، ونقطة ثابتة غير مستقرة هنا.
إذاً رسوم التشعب البيانية تُظهر كيف أنّ النقاط الثابتة للنظام الديناميكي تتغير عندما يتغير الوسيط ويمكن أن يكون لدينا تغيرات حيثما تغير نقطة ثابتة استقراريتها أويمكن أن يكون لدينا شيئاً ما حيثما تختفي نقطة ثابتة وها هي الحالة هنا.
إذاً رسوم التشعب البيانية هي أدوات تخطيطية شائعة مستخدمة في تحليل الأنظمة الديناميكية. عندما يقدّم أحدٌ ما تحليل لنموذج، غالباً إنّه يلخص ذلك برسم تشعب بياني. إذاً إنّهم أداة هندسية مفيدة جداً.
وسوف نعيد النظر بهذه الرسوم في الوحدة التالية عندما ننظر إلى رسوم تشعب بيانية لأنظمة التابع التكراري. المعادلة اللوجيستية المكررة.
إذاً عندئذٍ عندما نتحول من رسوم التشعب البيانية للتشعبات ذاتها. إذاً التشعب هو تغير نوعي دقيق في سلوك النظام الديناميكي عندما يتغير الوسيط.
وما أعنيه بتغير نوعي هو تغير في عدد النقاط الثابتة و/أو تغير باستقراريتهم.
إذاً لدينا هنا تشعب في هذا الر سم البياني عند حوالي المئتين ولذلك إذا كنا فوق الـ 200 لن يكون لدينا نقاط ثابتة، وإن كنا تحت الـ 200 سيكون لدينا نقطتان ثابتتان، إحداهما مستقرة والأخرى غير مستقرة.
إذاً المغزى من الحكاية أنّه أحياناً خصائص النماذج المستمرة تكون متقطعة.
إذاً دعوني أشرح ما أعنيه بهذا، للمراجعة فقط.
إذا رسمت خريطة هنا وزدتُ h، تغير صغير في h يؤدي إلى تغير صغير في قيمة هذا التوازن، هذا الجاذب. إن كنت هنا وأقوم بتغير صفير في h، تغير صغير في h يعطي ارتفاع إلى تغير صغير في قيمة التوازن.بينما إن كنت هنا وأقوم بتغير صغير في h، أزيد h قليلاً، لذلك أسقط، هذا الجاذب يختفي وستتحطم الكثافة السكانية فجأة.
لا يوجد أي كثافة سكانية ثابتة بين هاتين القيمتين، لذلك هنالك فجوة وإذا تحركت بهذا الاتجاه سيكون هناك قفزة.
إذاً في معظم الوقت، تغير صغير في نموذجك يؤدي إلى تغير صغير في السلوك، لكن أحياناً يمكن أن يؤدي إلى قفزة مفاجئة.
إذاً ذلك إدراك مهم، الإدراك الأكثر أهمية في هذا الفصل، حيث يمكن أن تملك النماذج المستمرة للمعادلات التفاضلية حسنة التصرف قفزات نوعاً ما فيها.
إذاً أخيراً سأذكر بشكلٍ مختصر وسأفعل ذلك مجدداً، يوجد تصنيف دقيق للتشعبات إلى أنواع مختلفة عديدة. هذا خارج النطاق قليلاً عمّا أردت أن أفعله في هذه الدورة، لكن إذا أردت أن تتعمق أكثر، فإنّ أكثر مرجع أوصي به سيكون الفصل 3 من "Strogatz's book"، الكتاب كله عظيم وهذا الفصل رائع حقاً. إنّه فقط رياضي أكثر قليلاً عمّا تفعله بهذه الدورة.
Scholarpedia، الرابط هنا، لديه مجموعة جيدة من الصفحات عن التشعب.
مجموعة صفحات Wikipedia جيدة جداً أيضاً، أعتقد أنّ Scholarpedia ربما يكون ممتع للقراءة أكثر.
وهذا موضوع قياسي، لذلك معظم النصوص على الأنظمة الديناميكية أو المعادلات التفاضلية، كتب المعادلات التفاضلية الحديثة، سيكون فيها بعض المناقشات عن التشعبات.
إذاًيوجد الكثير من الأماكن الأخرى التي تستطيع أن تذهب إليها إن أردت أن تتعمق أكثر في ظواهر التشعب هذه وفي رسوم التشعب البيانية.
إذاً هذا يجلبنا إلى نهاية الوحدة 4. في الوحدة التالية سوف نستمر بالتعلم عن رسوم التشعب البيانية، وسيكون لدينا مفاجئات ممتعة عندما ننظر إلى رسوم التشعب البيانية للمعادلة اللوجيستية التكرارية.
أراكم الأسبوع القادم.