En esta subunidad opcional, presentaré el diagrama de bifurcación para diferentes ecuaciones diferenciales.
Esto nos llevará a la fenomenología de la histéresis o trayectoria de dependencia.
Lo veremos en un segundo. Comenzaremos con esta ecuación diferencial.
Entonces, dx/dt, ahora con x en vez de p, ya que esto en realidad representa una población, es igual a rx, más x al cubo, menos x a la quinta.
Entonces, ahora r es nuestro parámetro, antes fue la edad, ahora usaremos r.
Entonces construiremos el diagrama de bifurcación, pieza por pieza,
dando a r diferentes valores de graficación, a mano derecha de este y observando cómo luce la función,
haciendo una línea de fase.
Aquí tenemos para r=1, baja, sube y baja, entonces hay tres puntos fijos, ya que la línea cruza el eje x tres veces:
aquí, aquí y aquí.
Entonces: punto fijo uno, dos y tres, nótese que esto es para r=1.
Cuando esta función es negativa, esta es una derivada, cuando la derivada es negativa, x es decreciente, cuando es positiva creciente.
Negativa: decreciente. Positiva: creciente.
Entonces, esta función tiene tres puntos fijos.
Hay un punto fijo inestable, en cero, y hay dos puntos fijos estables, aquí, un poco más lejos del origen.
Esta es la situación cuando r es igual a uno.
Si decremento r y la hago ligeramente negativa, esta curva se vuelve un poco más oscilante,
empieza a verse como esto, así la curva se vuelve más pronunciada, pero entonces adquiere una pequeña oscilación aquí.
Entonces calculemos, imaginemos la línea de fase.
Para esto, tenemos cinco puntos fijos, esto es un nuevo registro para nosotros,
uno, dos, tres cuatro, cinco, clasificados como de equilibrio,
están muy juntos y puede ser un poco difícil para mí dibujarlos.
Bien, entonces hay puntos fijos: uno, dos, tres, cuatro, cinco.
La función es positiva, que significa que se está moviendo a la derecha.
Negativa aquí, luego positiva en esta región. Negativa, positiva, negativa.
Esto es con r=0.2.
Bien, veo tres puntos fijos estables: aquí, aquí y aquí, en la mitad.
Probablemente, notaste un punto fijo estable cuando la línea cruza los ejes de arriba hacia abajo.
Lo que pasa aquí, aquí y aquí.
Entonces tenemos estos puntos fijos muy inestables en medio: aquí y aquí, sobre la línea que va de abajo hacia arriba.
Entonces, 5 puntos fijos:
Tres son estables y dos son inestables.
Esta es la historia para r=… debe ser menos… 0.2.
La última r que veremos es r=-0.4,
entonces es un poco más negativa aquí, y lo que pasa es que estas jorobas son aplanadas.
Entonces esta joroba y esta joroba son jaladas hacia arriba o hacia bajo y terminamos con esto así.
Aquí, la línea de fase es de un tipo simple, de nuevo casi aburrido.
Tenemos sólo un punto fijo, así tenemos cinco que desaparecieron y sólo resta este en el origen.
Este mantiene estabilidad.
Entonces tenemos,
difícil de ver,
tuvimos cuatro y, entonces, aquí ahora tenemos uno,
pero este es el que se mantiene en el origen.
Bien, tenemos tres líneas de fase y podemos conectarlas, pegándolas juntas,
y observar cómo se podría ver el diagrama de bifurcación.
Primero, voy a cortar estas líneas de fase y, luego, echemos un vistazo.
Aquí nuestra r=1, aquí r=-0.2…
¡Uy! debería haber escrito aquí, esto era r=-0.4.
Entonces, aquí está lo que tenemos.
Para estas tres líneas de fase, puede no quedar inmediatamente claro cómo queda el diagrama de bifurcación completo.
Podríamos desear algunas líneas de fase adicionales, para valores de r intermedios:
intentar r=0, r=0.1, y r+0.1 y así.
Más que tomar el tiempo para hacer eso, que me pondría tenso,
observemos como se ve esto y así les mostraré esta aproximación al diagrama de bifurcación,
ya que el objetivo principal es que...
tengo este diagrama de bifurcación y entonces lo miro y aprendo sobre la histéresis.
Permítanme colocar algunas cosas sobre esto.
Entonces, usaré azul para los puntos fijos inestables y tenemos aquí una línea para puntos fijos inestables,
perdón son estables.
Intento repintar esto, debe ser rojo. Rojo sobre azul puede parecer púrpura.
Entonces, estos son actores estables, se dice que en la estabilidad las flechas entran,
y así también tenemos otro estable, como punto fijo estable, aquí y aquí.
Aquí y aquí.
Y estos ahora se ven como esto.
Y esto baja, como esto.
Así, tenemos puntos fijos inestables.
Aquí.
Y una línea que conecta hacia arriba. Entonces, esto es nuestro diagrama de bifurcación.
No es el mejor dibujo en el mundo,
a mi me parece un pez como un salmón tragando, ustedes saben.
Es un intento.
Bien, pero esto es el diagrama de bifurcación, entonces tenemos puntos estables en rojo y puntos inestables es azul.
Y espero que podamos ver cómo estas líneas, la azul y la roja, aparecen con estos puntos fijos, con esta forma de pez.
Bien, permítanme dibujar una versión más agradable de este diagrama y,
entonces, lo analizaremos y aprenderemos sobre la histéresis.
Aquí está una mejor versión del diagrama de bifurcación,
a partir del de la escena anterior,
y sólo me enfocaré en los valores positivos de x.
He dibujado flechas aquí, entonces tenemos una línea de puntos fijos estables, atractores.
También, tenemos aquí, en la línea azul, puntos fijos inestables.
Entonces, inestables aquí, y estables aquí.
Ahora, imaginemos un escenario como este,
donde, por cualquier motivo, el parámetro r empieza de algún lugar aquí
y que tenemos un valor positivo en x,
entonces vamos a ser jalados hacia el atractor.
Y ahora imaginemos que el parámetro r comienza a disminuir,
sabemos cuál es el parámetro en este caso.
Desconozco qué variable física es pero, cualquiera que sea, comienza a decrecer y,
entonces, mientras decrece y comienza disminuir el valor de equilibrio.
Disminuimos más r y el valor de equilibrio disminuye aún más y, abajando por aquí,
y esto se parece mucho a lo que pasa cuando estuvimos incrementando la tasa de pesca en la ecuación diferencial "logística".
Entonces bajamos aquí, el parámetro r continúa disminuyendo,
continúa disminuyendo hasta que llegar aquí.
Entonces, este punto fijo, este atractor que sube aquí,
desaparece, se esfuma.
Así, si nosotros disminuyéramos un poco más la cantidad x, cualesquiera que sea,
seremos jalados hacia abajo, aquí hacia cero.
Entonces, quizá deseamos...
que este posicionamiento sea bueno, cero malo,
posiblemente una tasa de crecimiento en Economía o un número de pesca, de algún pescador.
Bajamos aquí y entonces podríamos decir ¡hay! quebramos,
mejor incrementamos el parámetro r,
y entonces incrementamos r,
pero este punto rojo aquí en cero es estable, está atrayendo,
y, entonces, no saltamos automáticamente de regreso, subiendo aquí.
Porque este es un movimiento estable, por poquito que seamos empujados hacia atrás.
Entonces, incrementamos r, incrementamos r, incrementamos r, en forma constante,
y aún más hasta que llegamos un poco arriba de aquí.
Y tan pronto como este punto fijo cero pierde su estabilidad,
pasamos de rojo a azul, y se brinca de regreso hasta aquí.
De nuevo, se observa que r brinca, pero en esta ocasión, hay una nueva característica, que es la siguiente:
Supongamos que queremos saber si r estuvo por aquí, sea lo que sea, cuando es -0.2,
¿Qué comportamiento estable sería observado en este modelo?
Y la respuesta es que esto dependería no sólo del valor de r, sino también de donde de proviene,
y esta es la idea de histéresis.
Permítanme usar una figura para ilustrar una línea de r,
literalmente la misma historia que ya platiqué.
Pensemos en esto, en una porción del diagrama de bifurcación.
Creo que bosquejaré burdamente esto.
Entonces, puedo bajar, en esta forma, y luego llegar hasta este punto de colapso,
donde se cae aquí, entonces incremento hasta aquí y luego podría brincar de regreso
hacia arriba y podría ir en cualquier dirección aquí.
Esto es para hacer notar que ha sido un punto de r=0.
Entonces, este sistema ahora tiene lo que llamamos "dependencia de trayectoria".
Ahora podrían observar que, para este valor de r,
se depende no solo del valor de r sino también de la ruta que se tomó para llegar allí.
Si ustedes alcanzan este valor de r,
el que está sobre mi dedo, partiendo de arriba a la derecha,
entonces ustedes estarían aquí arriba, aquí en este diagrama.
Si ustedes se acercaron a este valor de r, partiendo desde abajo,
habiendo ido más allá de esto, caen en un acantilado,
entonces estarán abajo, aquí en cero.
Esto es lo que se denomina histéresis o dependencia de trayectoria.
Entonces, el término para este tipo de comportamiento es conocido como histéresis o dependencia de trayectoria.
Así, la propiedad de equilibrio del comportamiento observado, de esta ecuación diferencial,
en este modelo, depende no sólo del valor de r.
Parece que depende sólo de r, pero si ustedes me dicen qué valor tiene r,
puedo resolver la ecuación diferencial y les puedo decir en qué terminará x.
Sin embargo, en una situación donde se tienen múltiples atractores y sus flechas como estas,
sabiendo que r no es suficiente, también necesitamos saber de dónde viene r.
Esto depende no sólo de r, sino también de la trayectoria que fue tomada.
Yo creo que esto es sorprendente e interesante porque la dependencia de trayectoria es una clase de memoria.
El valor de la población, o cualesquiera que sea esto, en esencia recuerda dónde ha estado.
Pero no es del todo obvio que esta ecuación tenga una memoria dentro de sí.
Esto simplemente dice que la tasa de crecimiento, la tasa de cambio en x, depende de x y del valor de r.
Entonces es una clase de memoria o historia
que fue introducida dentro de una ecuación diferencial como resultado de esta bifurcación,
esta particular estructura en un diagrama de bifurcación como este.
No sé si esto sea común y genérico para otras relaciones, pero no es poco frecuente tampoco,
y ustedes no necesitan una ecuación diferencial tremendamente complicada para obtener este comportamiento.
Entonces, este es otro tipo,
creo que una bifurcación lleva de regreso a otras bifurcaciones.
Hay una bifurcación aquí y una bifurcación allá y,
tomadas juntas, estas dos bifurcaciones llevan a esta dependencia de trayectoria.
Entonces, mmm...,
nuevamente, sólo para repasar una vez más,
tenemos una simple ecuación diferencial, algo que es continuo, suave, diferenciable,
que no tiene ningún dispositivo de memoria dentro,
pero podemos tener un sistema que se comporta dando brincos y que desarrolla cierta clase de memoria o dependencia de trayectoria.
Esa es la idea detrás de la histéresis y la dependencia de trayectoria.
Fin