في هذه الوحدة الفرعية الإختيارية
سوف أقدّم رسم التشعب البياني
للمعادلات التفاضلية
وسيقودنا هذا إلى
ظاهرة التخلفية المغناطيسية أو مسار التبعية
سوف نرى ذلك خلال لحظة.
سوف نبدأ بالمعادلة التفاضلية هذه
dx/dt. سوف أستخدم x هذه المرة
بدلاً من P.
لأنّ هذا لا يمثّل الكثافة السكانية حقاً
إنّه rx زائد x تكعيب ناقص x للقوة الخامسة
إذاً الآن r هو وسيطنا.
قبل أن يكون h.
سوف نستخدم r هذه المرة.
إذاً، سوف ننشأ رسم التشعب البياني
قطعة بقطعة
من خلال أن ندع r تأخذ قيم مختلفة
نرسم الجهة اليمنى لهذا
ونرى ما تبدو الدالة عليه
ونصنع خط مرحلي
إذاً هنا لدينا فيما إذا كانت r تساوي واحد
أسفل، أعلى، أسفل
إذاً يوجد ثلاث نقاط ثابتة.
لأنّ الخط يقطع محور x ثلاث مرات
هنا، هنا، وهنا.
إذاً، ثلاث نقاط ثابتة.
واحد، اثنان، ثلاثة.
لاحظ أنّ هذه لمن أجل r تساوي واحد
عندما تكون هذه الدالة سالبة.
هذا مشتق.
المشتق سالب.
X تتناقص
عندما يكون موجب تتزايد.
سالب يتناقص، موجب يتزايد
إذاً، هذه الدالة لديها ثلاث نقاط ثابتة.
يوجد نقطة ثابتة غير مستقرة عند الصفر.
ويوجد نقطتان ثابتتان مستقرتان
هنا، أكثر بقليل
من واحد بعيداً عن نقطة الأصل.
إذاً ذلك هو الوضع عندما R تساوي 1.
إذا أنقصت R وجعلته
سالب قليلاً.
هذه المنحني لديه التواء صغير فيه.
ويبدأ أن يصبح كهذا
إذاً المنحني يزداد حدة
لكن aquires لديه التواء صغير هنا.
إذاً دعونا نحسب
دعونا نكتشف الخط المرحلي لهذا
هنا لدينا خمس نقاط ثابتة.
1،2،3،4،5
صف توازنات من خمسة.
لكنهم يتقاطبان معاً نوعاً ما
هذا سيكون تحدي
لي قليلاً لأرسمه.
حسناً، إذاً يوجد النقاط الثابتة.
1،2،3،4،5.
الدالة موجبة
إذاً إنّنا نتحرك لليمين
سالب هنا، ثم موجب
سالب، موجب، سالب.
R تساوي 0.2.
إذاً أرى ثلاث نقاط ثابتة مستقرة.
هنا، هنا، وهنا في المنتصف
إذاً من المحتمل أنّكم لاحظتم
أنّ نقطة ثابتة مستقرة تظهر
عندما الخط يقطع المحور من الأعلى للأسفل.
إذاً ذلك يحدث هنا، هنا، وهنا.
إذاً لدينا هاتين النقطتين الثابتتين غير المستقرتين
هنا وهنا.
عندما يذهب الخط من الأسفل للأعلى.
إذاً، خمس نقاط ثابتة، ثلاثة مستقرة.
واثنتين غير مستقرتين.
هذه هي الحكاية لسالب 0.2
r الأخيرة التي سأنظر إليها
هي r تساوي سالب 0.4
R سالبة أكثر قليلاً هنا.
وما يحدث هو
أنّ هذه النتوءات تستقيم .
إذاً هذا النتوء وهذا النتوء
تُسحب للأعلى والأسفل.
وننتهي بهذا.
إذاً هنا، الخط المرحلي بسيط نوعاً ما
ممل تقريباً مجدداً
إذاً لدينا نقطة ثابتة واحدة.
إذاً كان لدينا خمس نقاط لكن أربعة منهن اختفوا.
وبقينا مع هذه الواحدة فقط.
عند الأصل.
وتواصل-- إنّه الإستقرار
إذاً من الصعب قليلاً رؤيته.
كان لدينا أربعة وهنا لدينا واحدة.
لكن هذه الواحدة هي الواحدة التي تبقى عند الأصل.
حسناً، إذاً لدينا ثلاث خطوط مرحلية.
إذاً نستطيع أن نصلهم معاً
نوعا ما نلصقهم سوية
ونرى ما قد يبدو عيه رسم التشعب البياني.
إذاً كما قبل سوف أقطعهم.
هذه الخطوط المرحلية.
ودعونا نلقي نظرة.
هنا R تساوي 1
هنا R تساوي ناقص 0.2
وكان يجب أن اكتب هنا
هذا من أجل r تساوي سالب 0.4
هنا ما لدينا.
إذاً من الخطوط المرحلية هذه
ربما لن يكون واضحاً مباشرةً
ما يبدو عليه رسم التشعبات البياني
ربما نريد أن نقوم بخطوط مرحلية إضافية قليلة
لقيم R الحالية.
جرب R لـ o.a ثم R لـ 1-
A r لـ +1، وهكذا
لكن بدلاً من أخذ الوقت بفعل ذلك .
دعوني أرسم مايبدو هذا عليه
ومن ثمّ سأريكم رسماً أكثر ترتيباً
لرسم التشعب
البياني
بما أنّ الهدف الرئيسي هو أن نحصل على رسم التشعب البياني هذا
ومن ثم النظر إليه والتعلم عن التخلفية المغناطيسية
إذاً دعوني فقط أرسم أشياء قليلة هنا.
إذاً سوف أستخدم اللون الأزرق
للنقطة الثابتة غير المستقرة
وإذاً تبيّن أنّي لدي خط
من النقاط الثابتة غير المستقرة هنا.
انتظر، آسف هؤلاء مستقرين.
أوه عزيزي كيف يمكنني أن أتعافى من هذا
هذا كان سيكون أزرق
ربما إنّه أزرق وأحمر، بنفسجي، أو إنّه يبدو عالأغلب أحمر
إذاً هؤلاء مستقرين.
إنّه فقط اللون الخطأ
إنّها مستقرة، تدخل الأسهم
ومن ثم لدينا أيضاً نقاط ثابتة مستقرة
هنا وهنا. هنا وهنا.
وهؤلاء سوف يبدون كهذا.
وهذه سوف تنخفض هكذا.
ومن ثم سوف يكون لدينا نقطة ثابتة غير مستقرة هنا.
وهذا الخط يتصل هنا.
إذاً ذلك هو رسم التشعب البياني خاصتنا
إنّه ليس أفضل صورة بالعالم.
بالنسبة لي، إنّه يبدو نوعاً ما
كسمكة سلمون تتقياً.
والتي كما تعرفون
إنّه ليس ما قصدته.
لكن هذا هو رسم التشعب البياني.
إذاّ لدينا نقاط ثابتة مستقرة بالأحمر
ونقاط ثابتة غير مستقرة بالأزرق.
وأمل أنكم تستطيعون رؤية كيف أنّ الخطوط الزرقاء والحمراء
تصطف مع النقاط الثابتة هذه.
وهذه السمكة المتقيأة تبدو هكذا.
إذاً دعوني أرسم نسخة أخرى أدق لهذا الرسم البياني
وسوف نحلل ذلك.
ونتعلم عن التخلفية المغناطيسية
إذاً هنا نسخة أرتب بقليل
لرسم التشعب البياني.
من الشاشة السابقة.
وسوف أركّز على قيم x الموجبة
لقد رسمت أسهم فقط هنا.
إذاً لدينا خط من النقاط الثابتة المستقرة.
الجاذبة.
ولدينا هنا بالأزرق خط من النقاط
الثابتة غير المستقرة المنفرة.
غير مستقرة هنا، ومستقرة هنا.
إذاً، دعونا نتخيل، دعونا نتحدث نوعاً ما عن
سيناريو مع هذا.
حيث أنّ الوسيط يبدأ في مكانٍ ما هنا.
ولدينا قيمة x موجبة.
سوف نُسحَب لهذه الجاذبة
والآن تخيلوا الوسيط
سوف يتناقص
من يعلم في هذه الحالة.
لا أعرف إن كان هناك نظير فيزيائي واضح أو مماثل
أو شيئاً ما، لكن أيّاً كانت R. إنّها تتناقص
إذاً عندما تتناقص R عندئذٍ قيم
التوازن تتناقص.
ومن ثم تنقص R أكثر
وقيم التوازن تتناقص أكثر
ومن ثم ننزل على طول هنا.
وهذا يشابه كثيراً
ماذا حدث عندما كنا نزيد
مقدار الصيد في المعادلة التفاضلية اللوجيستية.
إذاً ننزل إلى هنا،
R تستمر بالتناقص
حتى نصل إلى هنا.
ومن ثم النقطة الثابتة هذه
تختفي هذه الجاذبة هنا بالأعلى
إنها مختفية.
تتناقص أكثر قليلاً.
كمية x أياً كانت
سوف تُسحَب هنا للأسفل إلى الصفر.
وبالتالي عندئذٍ،
ربما يعجبنا أنّ هذا الشيء الموجب
جيد
الصفر سيء
ربما هذا مقدار التطور للإقتصاد
أو بعض الصيد، بعض أعداد الأسماك
أو شيئاً ما
ونندفع للأسفل هنا.
ثم ربما نقول "آه- أوه، لقد تحطمنا "
"من الأفضل أن نزيد R."
وإذاً سوف نزيد R.
لكن هذه النقطة الحمراء هنا بالأسفل مستقرة.
إنّها جاذبة
ولذلك لا نقفز آلياً إلى هنا بالأعلى.
لأنّ هذه مستقرة.
نتحرك قليلاً
نُدفَع.
إذاً عندئذٍ نستطيع أن نزيد R،
سوف نزيد R،
لا زلنا سنزيد R.
أكثر، حتى نصل إلى ها هنا قليلاً.
ثمّ هذه النقطة الثابتة تخسر استقراريتها.
نذهب من الأحمر للأزرق.
ومن ثم سوف نقفز للأعلى هنا.
إذاً مجدداً، إننا نرى قفزات
لكن هذه المرة بهيئة جديدة.
والتي هي كالتالي:
افترضوا أننا أردنا أن نعرف إن كانت R في مكانٍ قريبٍ هنا.
أياً كان ذلك يساوي 0.2-
أي سلوك مستقر سوف نلاحظه في هذا النموذج
والإجابة هي،
إنّه سوف يعتمد على ، ليس فقط
قيمة R، لكن من أين أتى الواحد.
وهذه هي فكرة التخلفية.
دعوني أرسم رسمة لأوضح نوعاً ما
أو أحدد الحكاية التي أخبرتكم بها للتو.
إذاً إنّي أفكر بهذا الجزء من رسم التشعبات البياني
أظن أني سأصنع رسمة حادة لهذا.
إذاً، أستطيع أن أنزل للأسفل بهذا الطريق
ثم آتي لنقطة الإنهيار هذه
واذهب هنا للأسفل.
ثمّ، سأزيد حتى هنا.
ومن ثمّ سأعاود القفز للأعلى
وأستطيع أن أذهب بأحد الاتجاهين هنا.
إذاً، هذا لوصلها r = 0
إذاً هذا النظام لديه مسار تبعية.
ماذا ستلاحظ عند قيمة r هذه
حسناً، ذلك لا يعتمد على قيمة R فقط.
لكن على المسار لتصل هناك.
إذا وصلت لقيمة R هذه،
حيث يتواجد إصبعي
من فوق، من اليمين
عندئذٍ ستكون هنا بالأعلى.
هنا على هذا الرسم البياني.
إذا اقتربت من قيمة R هذه من الأسفل
خلف هذه وتنحدر للأسفل نوعاً ما
ثمّ ستكون هنا بالأسفل عند الصفر
هذا يدعى التخلفية أو مسار التبعية.
إذاً مصطلح هذا السلوك
هو التخلفية أو مسار التبعية.
إذاً تلك خاصية التوازن
السلوك المُلاحظ لهذه المعادلة التفاضلية
هذا النموذج
لا يعتمد فقط على R.
يبدو أنّه يعتمد فقط على R.
إذا أخبرتني ما هي R.
أستطيع أن أحل المعادلة التفاضلية
أستطيع أن أخبرك ماذا ستكون x بالنهاية.
لكن في الوضع الذي يكون لديك فيه عدة نقاط جاذبة
ومرتبة هكذا
معرفة R ليست كافية
تحتاج أن تعرف من أين أتت R.
لا يعتمد على R فقط.
لكن على المسار الذي أخذته R.
هذا مفاجئ ومثير للإهتمام
أعتقد لأنّ مسار التبعية
نوع من الذاكرة
قيمة الكثافة السكانية
أياً كانت
بمعنى تذكر أين كانت.
إنّه ليس من الواضح إطلاقاً أنّ هذه المعادلة لديها ذاكرة
راسخة داخلها
يقول هذا أنّ مقدار التطور،
تغير X وهذا الرقم R.
إذاً إنّه نوع ذاكرة أو تاريخ
الذي تم تقديمه في المعادلة التفاضلية
كنتيجة لهذه التشعبات
هذه البنية المعينة في رسم التشعبات البياني
كهذا.
لا أعرف أنّ هذا
شائع أو موجود في كل مكان في المعادلات التفاضلية
لكنّه ليس غير شائع أيضاً
لكنك لا تحتاج معادلة معقدة هائلة
لتحصل على هذا السلوك
إذاً هذا نوعٌ آخر على ما أظن--
للتشعبات
تشعبان.
يوجد تشعب هنا
وتشعب هنا.
وأخذهم مع بعضهم
هؤلاء التشعبان الإثنان يقودان لمسار التبعية هذا.
إذاً، مجدداً لتأكيد ذلك مرة أخرى إضافية
لدينا معادة تفاضلية بسيطة
شيءٌ ما مستمر، سلسل، تفاضلي،
ليس لديه أي ذاكرة مقامة به
ويمكن أن يكون لدينا نظام يتصرف بالقفزات
ويطوّر ذاكرة أو مسار التبعية
إذاً تلك هي الفكرة خلف
التخلفية أو مسار التبعية.