所以我还想提一些关于分叉的事情。
首先，我应该简单地提一下，分叉是一个被广泛涵盖的主题......
比我在这里更广泛......
...在动力系统的大多数数学课程中，尤其是那些专注于微分方程的数学课程。
从这一系列工作中得出的结论或实现是，只有一小部分......
......一组 - 只有少数 - 不同类型的分叉。
所以你可能会认为，有很多不同类型的微分方程......
可能有不同类型的分叉，事实证明并非如此。
只有一小部分 - 你可以用非常精确和分析的方式对它们分类 - 这些不同的类型是什么。
令人惊讶的是，至少对我而言，这种分类大体而言 - 有点复杂 - 但它也有更高的维度。
我一直在介绍有关分叉的许多经验性资料。所以有一个非常好的理论
这超出了本课程的范围，但是您想进一步深入研究，我可以为您提供一些参考。
第二点我提出的是强调
分叉的基本现象， 平衡行为发生很大的变化与系统参数微小的变化相关联。
分叉并不会一直发生-在多数情况下，微分方程中更改参数后，系统会发生微小的变化。
一件事的微小变化会引起另一件事的微小变化。
但如果您处于这些分叉中的参数进行很小的更改，将会对系统的行为产生巨大的改变。
对收获情况的逻辑斯谛方程, 一旦超过关键的收获点，对渔业来说是灾难。
存在的平衡点消失了。
因此需要以某种相反的方式来思考此问题，不是从方程式而是从观察开始。
因此，假设我们监测某些渔业，并注意到，更改捕捞率，或者只是发现有时渔民的捕捞量增加，
...然后突然间，一天或一年， 鱼没有了。 我们可能会想：“发生了什么？那是什么？”
很自然寻找某外部来源（污染或某些可怕的鱼类疾病)。我对鱼了解不足，无法知道外部来源。
但如果我们看到系统突然崩溃，系统突然变化，我们可能会认为一定是由外部因素引起的。
可能是这样，但分叉现象表明，也可能会发生突然的变化，而这些变化并非来自外部来源...
系统的内在动力。因此这些突然的变化，您无需诉诸于外界。 原因可能是内部的。
最后一个单元, 蝴蝶效应和混沌实非常相似。
如果您看到某人行为异常, 这不能证明它没有遵守规则。
没有证据表明存在某种外部原因使该行为看起来是随机的或随机的。
您可以在一个简单的模型中拥有内部或内部随机性源，跳跃或突然转变是简单模型所固有的。
我想说明的另一点是，分叉不一定是坏事。
我一直把它们当作不好的事来介绍，因为在大量的的物流模型中，分叉是一件坏事。
我们的鱼类种群还不错，然后消失了。 这对鱼来说是坏消息，对喜欢鱼的人来说也是坏消息。
但是我也想象分叉的情况不是灾难或坏消息。
分叉在两种不同类型的行为或两种不同的机制之间转移，在某些情况下对有机体可能有用。
总的来说，分叉并不会意味着可怕的灾难或糟糕的事情。
好的。
最后一点我想提出的是考虑分叉现象可能要告诉我们关于复杂系统的研究。
因此在这种情况下，对于复杂的系统，我们不仅关注一种鱼，而且关注鱼群。
这些鱼可能会相互作用！ 有的互相帮助，有的对立。
藻类，或者有时是其他鱼类，或者是鱼类……我不知道吃什么鱼，但是我们需要考虑吃什么鱼。
然后，我们需要考虑渔民，喜欢收获什么，也许还有市场，人们想要吃什么类型的鱼等等。
关键是，发生了的很多事情，很多变量，我们想跟踪的，它们都在相互影响着。
一件事会影响另一件事，反之亦然。
是的。
对于该单元具有简单逻辑斯蒂方程式，我们已经看到可以得到这些突然的变化...
...这些跳跃，这些差距，在行为上。
我们是否希望看到复杂系统是由大量的类似逻辑斯蒂方程的事物构成。
我认为这个问题的答案不是很清楚，它可能引起了复杂系统的不同和有趣之处。
因此，人们可能会认为，如果简单的方程，一维方程在其中发生了跳跃……
将这些方程式放在一起，并通过交互，将它们联系在一起，那么很可能整个系统都会跃入其中。
可能会发生。
或者，也许，当我们将所有这些方程式放在一起并将它们联系在一起时，使它们相互关联...
因此，人们可能会认为，好吧，如果简单的方程，一维方程在其中发生了跳跃……
我不知道这两种情况中的哪一种通常是正确的。
我认为在某些设置中，我们可能仍会看到跳跃，而在其他设置中，可能没有。
因此我认为复杂系统研究是一个开放领域。
对于简单的系统，具有的属性。 当我们研究更复杂的系统时，它们会在多大程度上延续？