إذاً لقد رأينا أنّ رسوم التشعبات البيانية
أداة هندسية مفيدة، إنّه نوع من الرسوم البيانية
الذي يدعنا نرى، السلوكيات المختلفة
التي قد تملكها الأنظمة الديناميكية بنفس الوقت، عندما يتغير الوسيط.
سأركز في هذه المحاضرة
على ظاهرة التشعبات ذاتها.
أعتقد أنّ هذا موضوع مهم من الأنظمة الديناميكية
وبشكل خاص لدراسة الأنظمة المعقدة.
التشعبات ليست معروفة جيداً،
أو غير ممتعة أو ربما مثيرة للإهتمام كتأثير الفراشة
أو الجاذبات الغريبة، لكن أعتقد أنّهم مهمين
وأنّه قطعاً من الجيد التعرف إليهم.
إذاً سأبدأ بالقيام
بهذا النقاش من خلال العودة إلى المعادلة اللوجيستية
مع المحصول.
إذاً ها هنا المعادلة اللوجيستية مع مصطلح الحصاد.
rP في 1 ناقص P تقسيم K.
و K هو السعة الحاملة ومن ثم h هي الحصاد،
عدد الأسماك، أو أياً كان، المُصطادين كل عام.
وقبل أن نتحدث عن رسم التشعبات البياني
نذكر فقط أنّ الجهة اليمنى للمعادلة
ذات سلوك جيد جداً. قطع مكافئ مقلوب
هذا الحد هنا، وh تحرك كل الرسم البياني للأسفل
إذاً هنا ما يبدو أنّه، فلنقل، لـ h تساوي 40
وكلما كبرت h ينزلق هذا الرسم البياني هكذا.
لكن هذه دالة ملساء لـ P،
دالة ملساء لـ h، تفاضلها
دقيق جداً و ذو سلوك جيد .
حسناً، إذاً، كما رأينا، رسم التشعبات البياني
يبدو كهذا.
وهنا لقد رسمت للتو
النوعين المختلفين للتوازنان
أو النقطتان الثابتتان بألوان مختلفة ، إذاً أحمر،
هذه جاذبة مستقرة
والأزرق هو الجاذبة غير المستقرة.
إذاً دعونا نفكر بمصطلحات الصيد
في نموذج الكثافة هذا، و h هي معدل الصيد،
أي عدد الأسماك التي نسمح أن تُصطاد
أو أرطال الأسماك أو مهما يكن ،
كل عام أو كل جيل.
إذاً عندما نكون هنا بالأسفل
لا نقوم بأي حصاد على الإطلاق.
والقيمة الحمراء هذه هنا بالأعلى، إنّها في الواقع السعة الحاملة
قيمة التوازن في غياب هذا الحصاد
و عندئذٍ نبدأ،
إذاً: تخيل أننا اكتشفنا بحيرة أو شيئاً ما
وبعض الناس جاؤوا لهناك،
في موعد بدء الصيد و قد سمحنا بكمية محددة
للصيد، كمية صغيرة جداً
تؤدي ألى تناقص صغير في الحالة الثابتة
للكثافة السكانية، كثافة التوازن للبحيرة.
وهذا يبدو منطقياً، سيكون من المفاجئ
لو حدث أي شيءٍ آخر.
عندما تبدأ بالصيد، سيكون هناك أسماك أقل.
ربما ليست مشكلة كبيرة، يوجد مقدار كبير، تقتل بعض الأسماك
والأسماك تعود للتزايد باتجاه سعتها الحاملة
لا تصطدم
بالسعة الحاملة فعلاً، لكن تصل لها بشكل قريب جداً.
هنا بالأسفل، لقد كبر هذا التوازن غير المستقر قليلاً
وهذا ليس مفاجئاً على الإطلاق.
فلنقل، أننا نصطاد ... 40 سمكة بالسنة،
لكن هناك 20 سمكة فقط في البحيرة
عندئذٍ لن نكون قادرين على التحسن .
هذا سوف يقتل كل الأسماك، إذاً كثافتهم السكانية ستهبط.
إذاً، إذا بدأت بالحصاد، إذا بدأت هذا الصيد
أحدٌ ما يستطيع أن يتخيل أنّه..
إذا بدأت بعدد قليل جداً سوف تقتلهم كلهم تماماً.
إذاً ذلك.... يبدو معقولاً.
إذاً دعونا نستمر بالتفكير ماذا يحدث هنا بالأعلى، على هذا المنحني.
إذاً ربما لقد سُمٍح لنا أن نصطاد لهذا المقدار
والأمور تسير بشكلٍ جيد، إذاً مجموعة تطلب أن تصطاد المزيد
بما أنّ الصيد ممتع، أو مربح أو تريد الناس أن تأكل السمك
سوف تسمح لمجموعة بصيد أكثر والكثافة السكانية،
الكثافة السكانية ذات الحالة الثابتة
تتناقص أكثر قليلاً.
لكن ليس بذلك القدر.
وعلى طول هذا المنحني ، تزايد صغير في معدل الصيد يعطي
تناقص صغير في كثافة التوازن.
يبدو أنّه منطقي للغاية.
وثم نواصل الذهاب، ربما إننا هنا بالخارج
ونقرر، حسناً دعونا نقوم بالمزيد من الصيد.
الأمور كانت تسير على ما يرام...
ونسمح بالصيد أكثر قليلاً
وننتهي هنا
فجأةً.
إذاً h، مقدار الصيد بهذا الإرتفاع.
ومن ثمّ لا يوجد حالة ثابتة للكثافة السكانية
وكثافة الأسماك ستتحطّم تماماً.
ستذهب للأسفل مباشرةً للصفر.
لكن الشيء الذي يجب ملاحظته هو... حسناً، عدة أشياء....
الحالة الثابتة، هذه القيمة الحمراء...
ربما تعتقد أنّ قيمة التوازن
ستقترب من h بسلاسة،
لكن بدلاً من ذلك سوف تسقط في الهاوية نوعاً ما.
تسطيع أن تملك وسيط ذو حالة ثابتة هنا،
لا لا يمكنك أن تملك
أي توازن مستقر للكثافة السكانية أقل من هذا،
إذاً ربما نفكر أنّ هذا المنحني الأحمر
يجب أن يهبط للأسفل هنا ويلمس هذا نوعاً ما،
لكن المنحني الأحمر يختفي من الوجود هنا مباشرةً.
إنّه من الهام معرفة أنّه في سيناريو الصيد هذا،
لدينا سيطرة على h،
لأنه شيء يمكن تحديده بخطة
ويمكن قياسه.
نحن فقط نعد كم اصطاد الناس من الأسماك،
لكن ماهي كثافة التوازن هذه
عادةً... لن تكون جديرة بالملاحظة...
ربما يوجد بعض الأدلة بأنّه أصبح
من الصعب اصطياد الأسماك.
لكن ربما، هنا تحديداً ، الكثافة السكانية لا تزال كبيرة جداً
يمكنك تخيل كونك هنا،
قريباً للنقطة حيث تسقط
وتموت الأسماك فجأةً، مع زيادة صغيرة لـ h.
لا يزال وجود العديد من الأسماك وبالتالي لا يزال من السهل جداً اصطيادهم...
ربما لن يكونوا.... ربما لن يكونوا لافتين للنظر مباشرةً.
إذاً : الدرس هنا، الشيء الذي أعتقد أنّه مهم هو
يمكن أن يكون لدينا انتقال مفاجئ جداً،
انتقال لحظي بشكل رياضي
وبمعنى أنّه انتقال متقطع
حيث الكثافة السكانية تذهب
من قيمة التوازن هنا إلى الأسفل للصفر.
لا يوجد قيمة توازن
ما بين هاتين النقطتين
وبالتالي لدينا هذا السلوك المتقطع،
ومع أنّ هذه الدالة مستمرة
وملساء قدر الإمكان.
بالتالي : حتى الدالة
التفاضلية والمستمرة التي تختلف عن دالة لـ h
يمكنها أن تمتلك هذا النوع من،
السلوك المتقطع والكارثي المرتقب
سيناريو إضافي آخر لتلاحظه.
إذاً: تخيل أننا نتحرك على طول المنحني
أو مكانٍ ما على الطول هنا و حقيقة نحن لسنا كذلك ،
لكننا لاندرك لأنّنا لا نستطيع أن نرى هذا المنحني بشكل حقيقي
إذاً نزيد مقدار الصيد
أكثر قليلاً ونبدأ بالانهيار هنا بالأسفل.
حسناً، إذاً الكثافة السكانية هنا، لقد سمحنا بصيد كثير جداً
تبدأ الكثافة السكانية بالموت،
ربما فجأة لا يصطاد الناس السمك
نلاحظ أنّ محزون الأسماك يتناقص
إذاً عندئذٍ الشيء المنطقي لنقوم به
ربما يكون تقليص الصيد
وربما نقليص الصيد بشكل كبير
وبالتالي ذلك سيعود بنا إلى هنا...
لكن حتى مع فعل ذلك، حالما أنت هنا بلأسفل
والكثافة السكانية تبدأ بالإنهيار
إذا قلصت الصيد حتى بعامل 50%،
لا يزال يمكنك أن تكون في هذه المنطقة
حيث الأسماك لاتزال، سوف تموت.
إذاً حالما تنتقل لهذه الحافة
ربما تحتاج أن تقلل الصيد بشكلٍ كامل
أوبشكل كامل تقريباً لكي تعود لهنا.
وتزحف عودةً للأعلى، لقيمة التوازن هذه.
إذاً مجدداً، لا أعتقد أنّ الناس تستخدم هذه النماذج حقاً
بطريقة عددية، لفهم كيف يتصرف مقدار السمك، لكن
هذا يقترح أنّه يمكنك أن تعاني من انهيار مفاجئ
حيث نقطة ثابتة مستقرة يمكن أن تختفي فجأةً بدون تحذير
ولقد تبيّن أنّ تلك ميزة
شاملة بشكل تام للمعادلات التفاضلية،
حتى للملساء والمستمرة كهذه.