في الفيديو الأخير، لقد حللنا المعادلة اللوجيستية مع المحصول لقيم مختلفة لـ h.
ثمرة عملنا كان مجموعة من الخطوط المرحلية.
لذلك قد نظرنا إلى عدة h مختلفة. ها هنا h=0، 40، 65 ولكل واحدة، إستخدمنا الرسم البياني هذا
لنصنع خط مرحلي.
في هذا الفيديو، سأريكم كيف يمكننا أن ندمج كل هذه المعلومات لننتج شيئاً ما يدعى
رسم التشعبات البياني، والذي هو مقدار هام جداً في دراسة الأنظمة الميكانيكية،
ودعونا نرى كيف يتغير سلوك نظام بتغير الوسيط.
حسناً، إذاً بالعودة إلى كومة العمل هذه، لقد حصلنا على 0، 40، 65 و 85، ومن ثم
للإختبار القصير، والذي لابد أنك أنجزته، ها هنا h=30، إذاً لدينا واحدة أخرى، قيمة لم أنفذها
بالفيديو الأخير، والذي أريد أن أفعله هو التركيز على الخطوط المرحلية هذه.
إذاً إننا لن ننظر إلى هذا، لكن أريد فقط أن أنظر إلى كل الخطوط المرحلية هذه
لأرى كيف يتغيروا.
إذاً لكي أفعل هذا، سوف أفصل الخط المرحلي عن كل رسم بياني من هذه الرسوم.
إذاً، لقد قعلت ذلك لـ h=30، ومن ثمّ سأفعل ذلك لبقيتهم.
إذاً لقد فصلت الخط المرحلي عن الرسوم البيانية هذه، والآن لدي كومة من الخطوط المرحلية.
والذي سأقوم به تالياً هو أن أضع هذه بالترتيب، ربما، من أصغر h إلى أكبر h،
دعونا نرى، إذاً لدينا 30، 40، 75 و 85.
إذاً ها هم بالترتيب، ونستطيع أن نرى هنا، هذه كانت المعادلة اللوجيستية الأصلية
بدون أي حصاد على الإطلاق، ومن ثم عندما نبدأ نحصد أكثر، النقاط الثابتة تتقدم
ومن ثم النقطتين الثابتتين تقتربان من بعضهما.
إنّهم ليسوا مثاليين، لأنّ لا يوجد خطوط مرحلية مثالية، أنّهم فقط رسومات،
لكن ها هي هنا، تسطيع أن تراهم يتحركون مع بعضهم نوعاً ما، هنا يوجد واحد فقط
وبالوقت الذي تصل به إلى هنا، لن يوجد أي خط مرحلي على الإطلاق.
إذاً هذه طريقة واحدة لرؤية ماذا يحدث لقيم الوسيط المحتلفة، قيم h المختلفة.
وإنّها تقليدية، ومع ذلك، لتوجيه ذلك على نحوٍ مختلف.
إذاً عادةً، بدلاً من وجودها هكذا، نقوم بتدويرها نوعاً ما، هكذا، وإذاً دعوني
أفعل هذا، سأحرك هذه هكذا.
حسناً، إذاً لقد نظّمت كل الخطوط المرحلية من اليسار لليمين، إذاً h تجري الآن أفقياً
من اليسار لليمين.
هذه هي h، إنّها تذهب بهذا الإتجاه.
إذاً إنّي أزيد h، تبدأ عند 0، 30، 40، 65، النقطتين الثابتتين تقتربان من بعضهما،
يندمجان في نقطة واحدة عند 75 وتختفي بالوقات الذي أصل به إلى هنا.
ومن ثمّ على هذا المحور، أستطيع أن أفكر بهذا. أنني أرسم X بيانياً، هذا خطي المرحلي،
والخط المرحلي هو X، أو أنا أدعوه بـ X الآن، ربما كان يجب أن أدعوه
P ، سأدعوه P للكثافة السكانية. وهذا كان هنا بالأعلى، فقط كتذكير ذلك كان 100.
إذاً هذه طريقة، تمكننا أن نبدأ نرى ماذا يجري حقاً هنا ، نوعاً ما، إتبع هذه النقاط .
إنّه من الصعب رؤيته قليلاً، ربما يوجد شكلٌ منبثق ما.
ونستطيع أن نقوم بتجارب أكثر، نقوم بأشياء مشابهة إضافية، أستطيع أن أعطيكم المزيد من هذه،
تصنعوا المزيد من الخطوط المرحلية، تفصلوهم، تضعوهم هنا، وتبنوا بشكل أساسي
رسم بياني كامل لهذه.
وإذا أحدٌ ما قد قام بفعل ذلك، سوف ينتهي بشيءٍ ما يبدو كهذا.
إذاً لدينا نقطتين ثابتتين. هذه النقطة مستقرة، وهذه النقطة غير مستقرة. عندما تتزايد h، هذه h،
هنا بالأسفل، اكتب هذه كـ P للكثافة السكانية بدلاً من X، اسم المتغير لا يهم حقاً،
إذاً عندما تتزايد h، هاتين النقطتين الثابتتين تقتربان من بعضهما.
عند 75، يوجد فقط نقطة ثابتة واحدة، إنّه مضحك نوعاً ما، نقطة نصف مستقرة، ومن ثمّ
معدل الحصاد فوق 75، لا يوجد أي كثافة أسماك مستقرة على الإطلاق، سوف تتناقص فحسب إلى الـ 0،
وعندئذٍ، رياضياً، سوف تعطيك أعداد سالبة حتى، أسماك سالبة، أياّ كان
ما تعنيه،
إذاً هذه الخطوط الزرقاء هي فقط خطوط مرحلية، والتي نرسمها عادةً أفقياً،
سأدورهم فقط بهذا الإتجاه. إذاً هذا فقط خط مرحلي، ها هنا خط مرحلي آخر،
ها هنا خط مرحلي لـ h=30، وهكذا.
إذاً هذا النوع من الرسوم البيانية معروف برسم التشعبات البياني.
يُظهر لنا كيف يتغير السلوك طويل المدى لنظام عندما نغير الوسيط.
إذاً الوسيط الذي كنا نغيره هو h، نستطيع أن نتخيل أنّ زيادة h، ستزيد ببطئ
كمية الصيد، والسلوك طويل المدى لذلك هو هذا المنحني الأزرق هنا.
إذاً السلوك طويل المدى هنا هو أننا لدينا نقطتين ثابتتين، هذه غير مستقرة، وتلك مستقرة.
نزيد كمية الصيد من 0، ونذهب لهنا.
وإنّها حقاً نفس القصة. لا يزال يوجد نقطتين ثابتتين، إحداهما مستقرة،
والأخرى غير مستقرة. قيمة النقطة الثابتة تغيرت قليلاً، لكن ذلك
تغيير نوعي صغير فحسب، وليس تغيير نوعي شامل في هيئة النظام.
نستمر بزيادة معدل الصيد عندما كنا هنا، مجدداً لدينا نقطة ثابتة مستقرة
هنا، الأسهم تُدفع باتجاهها، ونقطة ثابت غير مستقرة هنا، عند إبهامي
إذاً، نعم، قيم النقاط الثابتة قد تغيرت. لكن ذلك لا يغير
ميزة المعادلة الشاملة. لا يزال يوجد نقطة ثابتة مستقرة ونقطة ثابتة غير مستقرة،
ونواصل زيادة قيم الـ h، نزيد كمية الصيد، وهنا
لدينا تغيير نوعي. يمكنك أن تقول عند هذه المرحلة ها هنا تشعبات.
تماماً عند هذه النقطة، لقد تغيرنا من نقطتيين ثابتتين، واحدة مستقرة والأخرى غير مستقرة إلى
ولا نقطة.
إذاً هذه النقطة هنا ستكون حيثما تظهر التشعبات.
إنّه تغيير مفاجئ بالملامح النوعية الشاملة والإجمالية نوعاً ما لنظام عندما
يتغير الوسيط.
إذاً عندما نغير h، من جهة للـ 75 للجهة الأخرى، النظام يقفز من كونه لديه نقطتيين ثابتتين
بإستقراريات مختلفة إلى صفر نقطة ثابتة.
إذاً هذا مثال عن التشعبات، وهذا النوع من الرسوم البيانية معروف برسم التشعبات البياني.
إذاً دعوني ألخص هذا المثال.
نوع الرسم البياني الذي إنتهينا به مع رسم التشعبات البياني.
كنا نرسم الخطوط المرحلية بيانياً للكثافة السكانية كدالة لـ h، الوسيط.
إذاً هذه فقط رؤية مختلفة لهذا الشيء بالأزرق الذي كان لدي منذ لحظة.
لدينا خط من النقاط المتوازنة التي تتناقص، هؤلاء متوازانات مستقرة،
ومن ثمّ لدينا نقطة متوازنة غير مستقرة، هذه جاذبة، هذه منفرة، وإنّهم
يختفون بشكل مفاجئ هنا. إذاً هنا حيث تبدأ التشعبات بالظهور.
إذاً، مجدداً، التشعبات هي تغيير نوعي مفاجئ في النظام الديناميكي عندما
يتغير الوسيط باستمرار.
ماذا أعني بتغيير نوعي مفاجئ، التغيير النوعي ليس موقع
نقطة ثابتة، لكنه تغيير في عدد النقاط الثابتة، أو في إستقرارهم.
إذاً ذلك تغيير نوعي مفاجئ في الشكل الإجمالي ، سلوك النظام
الشامل.
وهذا التغيير يحدث فجأةً. ننطلق من إثنان على جهة واحدة من الإنتقال
إلى صفر على الجهة الأخرى.
وإذاً ما أعنيه بـ يتغير باستمرار، هو أننا نحصل على قفزة في السلوك النوعي،
عدد النقاط الثابتة وإستقراريتهم بدون أن نضطر إلى أن نغفل الوسيط.
إذاً تغيير صغير جداً من جهة واحدة للإنتقال لجهة أخرى تعطي إرتفاع لهذا
التغيير النوعي المفاجئ.
في الفيديوهات العديدة التالية، سأقول المزيد عن رسوم التشعبات البيانية ولماذا هم مهمين
وأي دروس، أعتقد أنّ هذه ظواهر عامة لسيطرة التشعبات للأنظمة المعقدة.
لكن أولاً سوف أقترح أن تتمرن على تفسير رسوم التشعبات البيانية في الإختبار القصير التالي.
إذاً، عندما ترتاب حول رسوم التشعبات البيانية، تذكر أنّه بدأ حياته كسلسلة
من الخطوط المرحلية، والخطوط المرحلية المألوفة معك حتى الآن، من بداية هذه الوحدة
ومن الوحدة 2.
إذاً، كمثال، أستطيع أن أستخدم رسم التشعبات البياني هذا، فلنقل، لأبحث عن أي سلوك
للنظام الديناميك لقيمة h معينة.
وأقوم بها فقط من خلال التجاهل، والتركيز فقط على هذا أستطيع أن أرى، إنّه ربما
ليس واضحاً تماماً على هذا الفيديو، حيث لدي فقط خط مرحلي وحيد ومن ثمّ أعرف كيف
أفسّر هذا الخط المرحلي الوحيد.
إعتدنا أن نوجّه الأشياء بهذا الإتجاه.
وإذاً هذا سوف يرينا أنّه يوجد نقطة ثابتة مستقرة هنا و نقطة ثابتة غير مستقرة هنا.
إذاً جرّب الإختبارالقصير وتمرّن على تفسير رسوم التشعبات البيانية، ومن ثمّ سنتحدث قليلاً
عن ظواهر التشعبات هذه وماذا تعني.