في هذا الفيديو، سأقارن وأعاير
المعادلات التفاضلية والتوابع التكرارية.
هذين النوعين الرئيسيين للأنظمة الديناميكية
التي سندرسها خلال هذه الدورة،
على الرغم من أنّهم متشابهين جداً،
إلا أن لديهم بعض الخصائص الرياضية المختلفة.
و بمقارنة المعادلة اللوجيستية،
كتابع تكراري و معادلة تفاضلية
نستطيع أن نجعل هذا واضحاً ،
و بتأكيد بعض الفوارق الهامة.
إذاً هنا على اليسار، يوجد المعادلة التفاضلية اللوجيستية.
معادلة تفاضلية (الشكل الذي سندرسه)
يصف دالة P
بدلالة نسبة التغيير.
إذاً، هذا يقول، إنّنا نعرف نسبة التغيير لـ P
إذا عرفنا ماهي P.
تطور الكثافة السكانية يعتمد على قيمة الكثافة السكانية
في هذين الوسيطين.
بالنسبة للتابع التكراري،
إنّه يصف تطور الكثافة السكانية،
لكن هنا، ( f(P هو الكثافة السكانية للعام القادم،
بالنظر إلى أنّ الكثافة السكانية P هذا العام.
إذاً نحصل على سلسلة من قيم الكثافة السكاانية
من خلال تكرار هذه الدالة.
إذاً عندما أبدأ أشتق المعادلة اللوجيستية،
( استخدمتُ هذا الشكل )،
لكنّه بالعادة مُبسّط لهذا،
الـ نوع A تُمتَّص نوعاً ما داخل x.
إذاً هذا ما عملنا به،
لكن النقطة الغريبة لهاتين المعادلتين
هي نفسها على الجهة اليمنى.
أيّ إختلافٍ هذا، إنّنا نفسّر الأشياء
بشكلٍ مختلف على الجهة اليسرى.
إذاً الجهة اليمنى هنا
مفسّرة كمعدل التطور.
الجهة اليمنى هنا
مفسّرة كالكثافة السكانية للعام القادم.
إذاً حلول التوابع التكرارية هذه والمعادلات التفاضلية
لديها ميزة مختلفة.
بالنسبة للمعادلات التفاضلية،
الحلول هي الكثافة السكانية كدالة للزمن،
وهذا سيبدو، كما رأينا،
ربما شيئاً كهذا.
بالنسبة للتابع التكراري،
إنّنا ننتهي برسم سلسلة زمنية بيانيا ً ،
وهذا ربما يبدو
شيئاً ما كهذا.
إذاً لاحظ الإختلاف
بين هذين الحلّين.
في الحالتين، المنحني الإزرق
هو الحل للنظام الديناميكي.
النظام الديناميكي هو قاعدة فقط
التي تخبر الشيء الأزرق ماذا عليه أن يفعل.
لكن بالنسبة للمعادلة التفاضلية،
المنحني الأزرق يتغير باستمرار.
إنّه يعرّف كل الأزمنة،
ويزداد بسلاسة،
قل ، من هنا إلى هنا،
وعليه أن يعبر كل القيم المتوسطة.
بالنسبة للتابع التكراري،
الزمن يتحرك بقفزات.
لديه قيمة إبتدائية عند الزمن 0،
ثم زمن 1،
ثمّ زمن 2،
وقيمة الكثافة السكانية تتحرك بقفزات أيضاً.
تذهب من هذه القيمة
لهذه القيمة.
وحتى لو وصلنا هذه النقاط،
لا تنزلق عبر كل القيم فيما بينها.
تقفز من هنا عند الزمن 0
إلى هنا عند الزمن 1
بدون المرور بالقيم المتوسطة.
في هذه، المعادلة التفاضلية،
الزمن والكثافة السكانية مستمرين.
لكن بالنسبة للمعادلة اللوجيستية
وكل التوابع التكرارية،
الزمن والكثافة السكانية أو أيّاً كان ما نقيسه
يتحرك بالقفزات.
إذاً مجدداً، بالنسبة للمعادلة اللوجيستية والتابع التكراري،
الزمن والكثافة السكانية يتحركان بالقفزات.
وهذا الإختلاف هنا،
مع حقيقة أنّ هذه المعادلات حتمية،
تعطي إرتفاع لنطاقات مختلفة جداً للسلوكيات المحتملة.
إذاً لقد رأينا بالتوابع التكرارية
في الوحدة 3
أنّها قادرة على إنتاج دورات و شواش.
إذاً الدورات والشواش مُحتملين.
بالطبع ليس كل التوابع التكرارية
ستُظهر دورة أو سَتُظهر شواش
وتذكر أنّ الشواش هو مدار محدود غير دوري
والذي لديه أيضاً إعتماد حساس على الشروط الإبتدائية.
بينما بالنسبة للمعادلة التفاضلية،
الدورات والشواش غير محتملين.
إذاً دعونا نفكر لمذا هذا.
إذاً، أفترض دورة محتملة .
إن كانت هذه المسألة.
سيكون لدي منحني حل
الذي يبدو شيئاً ما كهذا.
إنّه يرتفع وينخفض.
يمكننا أن نزيل هذه الإمكانية
من خلال إستئناف حتمية هذه المعادلة.
تقول هذه المعادلة أنّ المشتق،
معدل التطور، نسبة التغيير للكثافة السكانية، يعتمد
فقط على الكثافة السكانية.
(و r و K ، لكننا نتخيلهما كـ ثابتين.)
إذاً دعونا نفكر بهذا المنحني الأزرق هنا
الذي يتذبذب للأعلى والأسفل.
سوف أرسم، إعتباطياً فقط،
خط متقطع خلال هذا .
ولاحظ ماذا يحدث.
هنا، لدي قيمة معينة،
قيمة الـ p هي عند هذا الخط المتقطع،
والكثافة السكانية تتزايد
إذاً المشتق موجب.
المشتق موجب لقيمة الـ p هذه.
هنا، عندما تعود الكثافة السكانية للأسفل،
الكثافة السكانية تتناقص،
إذاً المشتق سالب.
إذاً ذلك يعني عند هاتين النقطتين،
هنا وهنا.
إنّهم مشتَقَّات مختللفة .
إذاً عند السهم البنفسجي الأول
الدالة تتزايد : مشتق موجب.
عند السهم الثاني
الدالة تتناقص : مشتق سالب.
لكن المشكلة هي أنّهم
لديهم نفس قيمة الـ p كما على محور y هنا.
وقيمة الـ p هي نفسها.
إن كان هذا صحيحاً، هذا سيقول
مشتقات مختلفة عند نفس قيمة الـ p.
لكن ذلك مستحيل
لأنّ المعادلة التفاضلية تقول
المشتق هو دالة لقيمة p واحدة فقط.
طريقة أخرى لقول ذلك هي
أنّ قيمة p المعطاة لديها فقط مشتق واحد مترافق معها.
إذا علمت الكثافة السكانية p
عندئذٍ ذلك يحدد المشتق.
هنا، إذا عرفت الكثافة السكانية p
ذلك لا يحدد المشتق،
لأنّه لديك مشتقات مختلفة
عند نفس قيمة الـ p.
إذاً الإستنتاج، عندئذٍ هو،
أنّ الدورات ليست ممكنة،
والشواش ليس ممكناً أيضاً.
أي سلوك يرتفع وينخفض
(لا يجب أن يكون دورة منتظمة )
يمكننا أن نزيل بهذا الجدال.
كما قلنا بالوحدة 2
نطاق السلوكيات للمعادلات التفاضلية أحادية البعد
مملة نوعاً ما.
الدالة ممكن أن تزداد لنقطة ثابتة
تتناقص لنقطة ثابتة،
تتناقص إلى اللانهاية، تتزايد إلى اللانهاية،
وهذا كل ما يمكنها فعله.
التوابع التكرارية مصفوفة سلوك أغنى بكثير،
وذلك بسبب أنّ الحتمية لا تقيدهم
بنفس ااطريقة، إذاً ذلك لا يمنع الدورات.
إذاً الدورات ممكنة في التوابع التكرارية
والشواش، السلوك الغير دوري، ممكنٌ أيضاً.
في الوحدة الفرعية التالية
سنترك خلفنا التوابع التكرارية
قليلاً
وسننظر مجدداً للمعادلة التفاضلية اللوجيستية
وسأضيف مصطلح لها
وسنبدأ ببحث التشعبات.