Hallo en welkom in Unit 4 van de cursus.
Dit is het eerste Unit van twee lessen over tweedelingen, oftewel
spontane veranderingen in het gedrag van een dynamisch systeem
wanneer een parameter constant varieert.
In dit deel kijken wij naar tweedelingen in differentiaal vergelijkingen.
In de volgende les kijken wij naar tweedelingen
in iteratieve vergelijkingen, zoals de
logistische vergelijking die wij in unit 3 hebben bestudeerd.
Ik begin deze Unit met het herhalen van
kwalitatieve oplossingstechnieken
voor differentiaal vergelijkingen.
Daarna introduceer ik de differentiaal vergelijkingsversie
van de logistische vergelijking uit de laatste Unit
en gebruik ik dit voorbeeld om het idee
van tweedelingen te introduceren.
Dus laten wij starten!
Dus hier is een logistische differentiaal vergelijking.
dP/dt is gelijk aan rP min (1 min P delen door K).
Het ziet er hetzelfde uit als de
logistische vergelijking uit de eerdere Unit,
maar, dit is een differentiaal vergelijking,
hier staat dP/ dt aan de linkerkant
en dat betekent dat we iets andere eigenschappen hebben.
Ik zal de differentiaal vergelijking en de iteratieve functie
in de volgende video met elkaar vergelijken en contrasteren.
Maar ik wil mij nu eerst richten
op de eigenschappen van deze vergelijking.
Dus deze vergelijking heeft twee parameters,
r, zoals eerder, is de groeifactor.
Hoe groter r is, hoe groter de populatie zal zijn.
P, nogmaals, is de populatie van een bepaald dier.
En K is een parameter die bekend staat als het draagvermogen.
Voor de iteratieve functie, de iteratieve logistische functie was dit A,
beter bekend als de uitstervings- parameter
En je zult zien dat K en A,
hoewel ze wiskundig op dezelfde plaats staan,
ze een andere betekenis hebben en ze
een andere invloed hebben op deze differentiaal vergelijking.
Dit is dus een differentiaal vergelijking
zoals we die al in Unit 2 hebben bestudeerd.
dP/dt, de graad van verandering van P
is een functie van P.
Hoe snel de populatie groeit, is afhankelijk van de
huidige populatie en deze twee parameter waarden.
Hier is een plot van de rechterkant van deze vergelijking.
En voor de duidelijkheid, ik heb gekozen voor.....
wat ik heb eigenlijk gekozen???
Ik heb een K van 100 gekozen en een r van -ik denk - van 3.
Laat ik dat even opschrijven: K is hier 100 en r is 3.
Dus uit een grafiek zoals deze,
kunnen wij heel veel kwalitatieve informatie halen,
zoals wij al zagen in Unit 2,
van het gedrag van dit dynamische systeem.
Wanneer deze functie positief is, dan is de groeifactor
positief en neemt de populatie toe.
Dus elke populatie die een klein beetje groter is dan 0 of minder dan 100
zal toenemen tot nul.
Wanneer de populatie groter is dan 100,
dan is de groeifactor negatief en zal de populatie dus afnemen.
Wanneer de populatie kleiner is dan nul, dat is niet erg zinnig,
maar wiskundig gezien, wanneer de populatie negatief is,
zal ook de groeifactor negatief zijn
en zal dit de waarde naar links doen verschuiven.
Dus wij kunnen hiervoor een phase line tekenen
Laat ik dat hier doen. Hier is de Phase lijn.
En wij hebben twee vaste punten.
Eén van de vaste punten is bij 0.
En het andere vaste punt is bij 100.
En dit vaste punt is stabiel. Uhm, het is een attractor:
Alle waarden tussen 0 en 100 worden hier naartoe getrokken.
Alle waarden hoger dan 100 worden hier ook naar toe getrokken.
Populaties groter dan 100 nemen af totdat ze de 100 bereiken.
Populaties tussen 0 en 100 nemen toe totdat ze de 100 bereiken.
En dan is 0 een onstabiel vast punt, oftewel een repeller.
Wanneer je rond de 0 zit en je iets naar één van beide kanten beweegt,
dan word je weggedrukt naar
of de attractor 100 dan wel naar de negatieve oneindigheid.
Dus dit is de phase line voor deze differentiaal vergelijking.
We kunnen ook oplossingen schetsen van de differentiaal vergelijking
en de oplossing is in deze context de populatie als functie van de tijd.
Dus, laten wij eens kijken. We weten dat 100 een vast punt is en
Even het papier wat naar boven halen... daar gaan we.
We weten dat 100 een vast punt is.
Ik zal wat oplossingsvergelijkingen in blauw tekenen.
Wanneer wij starten rond 20 dan zouden wij een toename zien,
een snelle toename die door blijft gaan totdat we bij 100 zijn.
Wanneer wij boven 100 zouden starten,
dan zouden wij een afname zien die de 100 nadert.
Dus hier zien wij drie verschillende oplossingen.
P als een functie van de tijd. Dat is wat deze blauwe lijn laat zien.
Dit is P en dit is t en in alle gevallen naderen zij dit vaste punt bij 100.
Ik teken dat met een gestippelde lijn.
Dus nogmaals, zonder berekeningen of de Euler methode krijgen
wij een betrouwbare afspiegeling van de vorm van deze krommingen.
Tot slot, wil ik iets zeggen over K;
waarom het bekend staat als het draagvermogen.
Nou, uhmmm, deze vergelijking zegt dat bij iedere populatie
een positieve -dus echte - populatie waarmee je start, naar 100 zal gaan.
Dus 100 is de evenwichtspopulatie.
Het is het aantal dieren dat het systeem wat dit dan ook maar mag zijn kan dragen.
Dus dit is een kwalitatieve benadering
van de oplossingen van de logistische vergelijking.
Hierna komt een Quiz om je geheugen op te frissen over hoe dit allemaal werkt.
En daarna bespreek ik de logistische iteratieve functie en
zal ik de differentiaal vergelijking en de iteratieve functie
met elkaar vergelijken en contrasteren.