Hola, bienvenidos a la unidad 4 del curso
Esta es la primera de dos unidades en bifurcaciones
Las cuales son: cambios cualitativos súbitos en el comportamiento de los sistemas dinámicos
como parámetros que varían de forma continua. En esta unidad
veremos bifurcaciones en ecuaciones diferenciales.
La siguiente, será de bifurcaciones sobre funciones iteradas
como la ecuación logística que estudiamos en la Unidad III
Empezaré esta unidad, repasando
técnicas de solución cualitativa para ecuaciones diferenciales
y luego introduciré la versión diferencial
de la ecuación logística de la última unidad
y usaré el mismo ejemplo para introducirnos en la idea de
bifurcaciones. Entonces,comencemos.
Aquí tenemos la ecuación logística en forma diferencial
dP/dt es igual a rP por (1 menos P/K)
Es parecida a la ecuación logística de la unidad anterior
sin embargo, esta es una ecuación diferencial
vemos a la izquierda dP/dT.
Lo que significa que tiene propiedades algo distintas
Compararé y contrastaré la ecuación diferencial y la iterativa
en el siguiente video. Por ahora quiero enfocarme
sobre las propiedades, de esta ecuación. Entonces, esta ecuación tiene dos parámetros
r, como antes es una medida de la tasa de crecimiento
a valores de r más grandes, obtenemos poblaciones más grandes.
P, otra vez, es alguna población
K es un parámetro conocido como
capacidad de carga.
Para la función iterada de la ecuación logística
K era A, que nombramos como el parámetro de aniquilación. Y podemos ver que K y A
que si bien aparecen en el mismo lugar, tienen significados distintos.
Esta es una ecuación diferencial como las que estudiamos en la unidad II.
dP/dT, la velocidad de cambio de P
es una función de P. Cuán rápido la población crece
depende en la cantidad inicial de la población y en el valor de estos dos parámetros.
Aquí tenemos un gráfico de la parte derecha de la ecuación
Por simplicidad, elegí
un K = 100 y un r = 3
K = 100
y r = 3
De un gráfico como este, vimos en la unidad II
que podíamos obtener mucha información cualitativa acerca del comportamiento del sistema dinámico
Cuando, esta función es positiva
significa que la tasa de crecimiento es positiva
y que la población está creciendo. Por lo que toda población más grande que 0
y menor que 100 crecerá.
Si la población es mayor que P = 100, entonces la tasa de crecimiento (r) es negativa
por lo que la población (P) disminuye
Y si la población es menor a P = 0, lo cual no tendría sentido, pero
matemáticamente si la población fuera negativa (P < 0) la tasa de crecimiento también lo sería
haciendo que el valor de P se vaya a la izquierda
Entonces, podemos dibujar una línea de fase
que la vamos a hacer aquí
Aquí esta, y...
Tenemos dos puntos fijos, uno de los cuales
esta en 0 y el otro en 100
Este punto fijo (100) es estable
es un atractor. Cualquier número entre 0 y 100
será atraído a el, cualquiera más grande que 100 también
O sea, poblaciones más grandes que 100, decrecerán hasta 100
y poblaciones entre 0 y 100 crecerán hasta alcanzar P = 100
Y 0, es un punto fijo inestable, un repulsor
o sea, que si tenemos valores de 0 y nos movemos ligeramente hacia cualquiera de los lados, seremos empujados lejos de 0
en este caso (derecha) se dirige al atractor en 100 y en este (izquierda) se dirige hacia el
infinito negativo. Entonces, esta es la línea de fase
para esta ecuación diferencial. Podemos también dibujar soluciones
para la ecuación diferencial.
Y la solución, en este contexto,
es la población (P) como función del tiempo (t)
Veamos, sabemos que 100
es un punto fijo, y...
(se da cuenta que el papel estaba fuera de cámara)
Sabemos que 100 es un punto fijo
dibujaremos la curva solución con azul y empezaremos alrededor de 20
vemos que crecerá, rápidamente
hasta que alcance 100
Si empezáramos sobre el valor de 100, entonces disminuiría
acercándose a 100
Entonces, acá tenemos tres soluciones distintas con P como función del tiempo
Esto es lo que nos muestran las curvas azules: esta es P, esta es t
Y en todos los casos se acercan al punto fijo
de 100
el cual dibujo con la línea punteada
Entonces, nuevamente sin hacer ningún cálculo y sin usar el método de Euler
pudimos obtener, en cierto sentido, confiablemente, la forma
de estas curvas. Entonces, finalmente, digamos algo acerca
de esta cantidad K, porqué es la "capacidad de carga"
Bueno, esta ecuación nos dice que cualquier población
una población positiva (cualquier población real es positiva para empezar)
se acercará a 100. Entonces 100 es en cierto sentido la población en el equilibrio
Es el número/cantidad de individuos que el
sistema cualquiera sea, puede soportar
Ok. Este es un enfoque cualitativo
sobre las soluciones de la ecuación logística
Luego de esto viene un cuestionario (quizz) que nos
refrescará la memoria de cómo funciona esto
y luego discutiremos
la ecuación logística iterada y compararemos y contrastaremos
con la ecuación diferencial.