In deze les wil ik even een pauze nemen van al die chaos en
praten over verschillende manieren om over
wiskundige modellen na te denken.
Mijn belangrijkste punt is simpelweg, dat er
verschillende manieren zijn om over
wiskundige modellen te praten en ze te gebruiken
in de (sociale) wetenschappen.
Ik ga geen discussie voeren over
welke manier de juiste zou zijn
of dat de ene manier beter dan de andere is,
maar dat er juist vele manieren zijn
waarop modellen gebruikt worden en dat is goed,
maar het is van belang je hiervan bewust te zijn.
Laat ik starten met iets wat eigenlijk niet zo zeer een model is,
en dat is Newton wet van de zwaartekracht.
Dus F is gelijk aan GM1M2/ r2.
Dit beschrijft hoe twee objecten, gescheiden door afstand r
en hun massa's zijn M1 en M2.
Het beschrijft hoe sterk de aantrekkingskracht is tussen beide.
We zeggen vaak dat dit een natuurwet of een natuurkundige wet is.
Het wordt vaak gezien als een echte wet, als een echte en nauwkeurige beschrijving.
Het is ook behoorlijk fundamenteel.
Het is bijna mechanistisch.
Het beschrijft precies wat er aan de hand is.
Wellicht kan men dingen verklaren bij wijze van zwaartekracht
of de algemene relativiteits- theorie, maar dit is een
zo ongeveer een fundamentele verklaring voor wat er echt gebeurd.
Een andere vergelijking die men ook kan gebruiken, die wellicht ook een
beetje als een model functioneert,
zou de wet voor metabolische opschaling kunnen zijn
dus Y = Y0*M3/4
Dit beschrijft dan de hoe de metabolische graad Y afhangt
van de lichaamsmassa M voor eenvoudigweg alle levende organismen.
Dit is ook een vergelijking en het is minder mechanistisch in die zin
dat het bijna beschrijft, wel erg nauwkeurig, maar het is een beschrijving
tussen twee variabelen en het hoeft niet zo zeer het 'hoe en waarom'
die relatie tussen lichaamsmassa en metabolisch is, maar
het zegt wel dat die relatie bestaat.
niet zo zeer denkend aan modellen," maar aan vergelijkingen,
op verschillende manieren toegepast of over gedacht
Sommige kunnen mechanistisch zijn of fundamenteel en
fundamenteel hoeft niet zo zeer beter te zijn, maar wellicht zoiets
als de bodem van lagen van verklaringen.
En anderen beschrijven wellicht een relatie tussen variabelen, maar
geven geen notie van waarom die relatie is zoals die is.
Wanneer men wiskundig modelleren naar vakgebieden buiten de natuurkunde,
is er soms het idee dat, wellicht alleen onder natuurkundigen
en ik heb ook een achtergrond in natuurkunde, dat modellen
en vergelijkingen op een vergelijkbare manier functioneren in andere
vakgebieden of in een andere context.
We maken iets van een bewering die waar is, dat men kwantitatieve
voorspellingen kan doen, maar
modellen worden vaak niet op die manier gebruikt.
Die worden voor andere doeleinden gebruikt, dus modellen,
zo wordt onze logistische vergelijking ook gebruikt.
Modellen zoals de logistische functie zie ik meer als een karikatuur,
we proberen er niet de waarheid mee te vangen of de
complete waarheid of het hele verhaal, of iets dergelijks, maar
juist een kleine schets, een minimale expressie van een object of van
een fenomeen die iets van belang vangt.
Hier op het scherm een karikatuur.
Ik ben niet zeker van de originele bron hiervan.
Het staat op het internet op meerdere plaatsen,
maar je herkent deze man vast en zeker wel,
het is een schets of karikatuur van Barack Obama.
De reden voor deze karikatuur is niet om een zo accuraat of een zo
compleet mogelijk portret van president Obama te hebben.
Men zou vast en zeker geen kritiek hebben en
zeggen -ja- het is niet nauwkeurig genoeg.
Een goede karikatuur is dat je op een bepaalde manier
aantal kenmerken oplicht of benadrukt van iets of iemand.
Het wordt als het ware direct herkenbaar als zodanig.
En als je dat doet dan vang je waarschijnlijk iets van
waarheid of iets bruikbaars, een interessant kenmerk,
van hetgeen je een karikatuur maakt.
Ik denk dat modellen vaak op dezelfde manier
als een karikatuur kunnen functioneren.
We proberen niet alles wat maar mogelijk te modelleren van een
ecosysteem, zelfs een simpel ecosysteem zoals
konijnen die op een eiland leven, maar in plaats daarvan
proberen wij er een karikatuur van te maken, een simpel model
met een paar streken die op wat van manier dan ook
iets van de kenmerken van de ups en downs van een populatie vangt.
Hier zijn wat andere denkwijzen over de verschillende manieren
waarop modellen kunnen functioneren.
Een voorbeeld: Stel je idee voor van een veldgids voor.
Een veldgidsen zijn boeken over wellicht vogels of bomen
of wat dan ook...
en het doel ervan is dat, wanneer je buiten bent en
en je ziet een vogel en je vraagt je af 'wat was dat van vogel?',
dat je dan in je veldgids kunt kijken,
dan naar foto's van vogels en kom je erachter wat van vogel je daar ziet.
OK, dat is gaaf, ik weet nu wat van vogel dat is.
Je zou denken dat een goede veldgids foto's zou moeten bevatten.
Want foto's zijn ware en complete representaties
van beelden van die vogel.
Het zijn natuurlijk niet complete representaties en foto's kunnen
worden aangepast en al die dingen en toch denk je, die foto is de manier.
Maar eigenlijk zijn foto's hele slechte dingen om te gebruiken wanneer
je een vogel of plant probeert te identificeren.
Een vlot voorbeeldje:
Hier is een veldgids voor zeedieren die langs de kust aanspoelen,
geleend van een collega hier verder op de gang.
Het is niet gevuld met foto's, maar met tekeningen,
tekeningen van walvissen
hier is een vinwalvis.
Dus wanneer je een grote aangespoelde walvis
op het strand vindt en je vraagt je af wat van soort walvis dat is,
dan kun je hier naar kijken en die tekeningen zijn veel
nuttiger dan foto's
En dat is gek want een tekening is door een persoon gemaakt
en die heeft veel details weggelaten dus is het veel minder nauwkeurig,
maar wellicht is dat waar en juist het punt, een goede tekening
vergelijkbaar met een goede karikatuur, licht bepaalde dingen
op, herkenbare kenmerken of belangrijke kenmerken, zodat
je direct vinwalvissen kunt onderscheiden van
dwergvinvissen of wat je dan ook maar probeert te vinden.
We zouden geen kritiek hebben op een tekening zoals deze en
zeggen, oh jee, je hebt al die details weggelaten,
details weglaten is juist de bedoeling,
zodat je andere aspecten kunt oplichten.
Dus sommige wiskundige modellen functioneren zo.
Dat kan bijvoorbeeld zoiets als de logistische functie zijn.
Het gaat niet om alle details,
sommige onbelangrijke details kun je juist weglaten.
En gaandeweg erachter komen wat de details zijn die niet belang zijn.
Om een herkenbare schets te krijgen van een fenomeen,
fysiologisch, biologisch of sociaal,
waar je iets van probeert te leren.
Wat kun je weglaten om het toch een herkenbaar te houden?
Dat is zeker een bruikbare en belangrijke manier om over
dat proces te leren.
Aan de andere kant, zijn er momenten waarin foto's bruikbaar zijn.
Stel dat een student naar mij toe komt en zegt:
"Dave, ik zag een paarse eenhoorn in mijn studentenkamer".
Dat zou fantastisch zijn, wie houdt er nou niet
van een paarse eenhoorn? Maar,
ik ben er niet zeker van dat ik die student zou geloven.
Ik zou kunnen zeggen dat dit leuk is, maar vragen:
'Welk bewijs heb jij dat er echt een paarse eenhoorn in je kamer was?"
En wanneer de student dan zegt:
"Hier is een tekening die ik ervan heb gemaakt".
Zelfs bij een fantastische tekening ervan, zou ik nog steeds
niet geloven dat er echt een eenhoorn in de kamer was, maar
wanneer hij mij een foto zou laten zien, zelfs wetende dat mensen mooie dingen
met Photoshop kunnen doen, dat zou het als bewijs serieuzer nemen.
Dus in sommige contexten is een foto bruikbaarder.
In andere contexten zijn een schilderij of een tekening weer bruikbaarder.
Het punt is dat het type van representatie die men zoekt
rond een object of fenomeen, is afhankelijk van de
doelen en van de context.
Hier is een ander voorbeeld om ons te helpen over modellen te denken.
Dit zijn twee verschillende modellen van het menselijk lichaam.
Het eerste model. Stel, dat een medische student over
een operatie moet leren en over hoe organen eruit zien.
Waar zou zij dan op oefenen in plaats van een echt lichaam
in stukken te snijden?
Wat vaak wordt gedaan, is dat medische studenten werken
foetale varkens. Een foetaal zal dus een goed model zijn
van het menselijk lichaam.
Wanneer we het opensnijden, zien de organen er
er ongeveer net zo uit en zitten ze op dezelfde plek.
Dus is een foetaal varken een model voor het menselijk lichaam.
En een hele goede voor de medische student.
Aan de ander kant kun je je een mode ontwerper voorstellen.
Die ontwerpt kleding en moet weten hoe de kleding de persoon staat.
Hij zal dus wellicht een model van een persoon hebben en
hij gebruikt dan typisch een mannequin,
een groot, plastic ding gevormd om op een mens te lijken.
En dat werkt voor hem prima voor zijn doeleinden.
Een mannequin is een goed model van het menselijk lichaam
voor de mode ontwerper.
Wat is nu dan een beter model van de mens?
Hopelijk slaat die vraag nergens meer op nu.
Dat hangt immers af van de context
en van wat je probeert te modelleren.
Het zou zeker een slecht idee zijn wanneer de mode ontwerper
kleding zou gaan ontwerpen met het foetaal varken als model.
En het zou een zo mogelijk nog slechter idee zijn, wanneer
een medische student operaties en fysiologie zou bestuderen
aan de hand van mannequins, die doorgaans nogal leeg zijn
Modellen dienen diverse doeleinden
welk model beter of slechter is, is geen zinnige vraag
zonder eerst de context en doeleinden nader te specificeren
die je hebt en waarom je model überhaupt gebruikt.
Tenslotte wil ik nog aangeven dat dit niet mijn eigen voorbeeld is,
ik weet niet van wie het wel is, ik heb het lang geleden eens gelezen
en ik weet niet meer waar dus ik weet niet hoe ik het kan toekennen.
Dus, sorry, wanneer jij het bedacht hebt, laat het me weten
en dan ken ik het aan jou toe.
Of wanneer jij het ergens eerder hebt gelezen, laat mij dat dan even weten,
want ik weet echt niet meer waar dit idee vandaan is gekomen!
Hoe dan ook, verschillende soorten modellen worden op
verschillende wijze in verschillende situaties gebruikt.
Dat is het punt!
Samenvattend: Soms, met name in de natuurkunde, gebruiken we modellen
als een directe aanwijzing van een bepaald aspect van de realiteit.
Een directe en complete aanwijzing van.
En die modellen, en die vergelijkingen, zijn vaak niet zonder meer beschrijvend,
maar juist exploratief, wellicht mechanistisch en vaak voorspellend.
Newton's wet van de zwaartekracht verklaard op een zeker niveau
de zwaartekracht en het is zeker voorspellend,
Newton's wet van de zwaartekracht verklaard allerlei dingen over
banen van hemellichamen, samen met Newton's tweede wet rond
beweging, kan het gebruikt worden om satellieten op exacte locaties in
het zonnestelsel te brengen.
Maar buiten wat basale natuurkunde kunnen modellen op veel
verschillende manieren worden gebruikt.
En vaak worden ze gebruikt als karikatuur of als schets of zoiets.
Dus bij die type modellen is de vraag of een model waar of onwaar is
een nuttige of zelfs zinnige vraag is.
Is het foetaal varken een echt model van een mens?
Wel, op een bepaalde manier zijn alle modellen onwaar...
Op een ander niveau zijn alle modellen weer waar, want
we nemen aan dat alle modellen een bepaald aspect van een
studieobject weten te vangen.
Een nuttiger setje vragen om te stellen:
Helpt het model wel of niet?
Het foetaal varken zal erg nuttig zijn voor de medische student.
En een mannequin zal zeker nuttig zijn voor een kledingontwerper.
Licht een model het studieobject op
heeft het de neiging deze te verdoezelen?
Vaak niet makkelijk vast te stellen,
maar dit zijn de stellen vragen.
Modellen zijn vaak nuttig voor het suggereren van zekere, minimale
mechanismen of sleutelkenmerken.
Erachter komen wat je uit je representatie kunt trekken,
maar toch dat ding vast kunnen houden wat je bestudeerd.
Hoe dan ook, modellen worden op veel verschillende manieren toegepast.
Er zijn heel veel goede artikelen en essays rond dit onderwerp.
En het is een immens onderwerp in de filosofie en wetenschap.
Dus er is nog veel meer om te lezen en in het onderdeel na deze video
is er pagina met links naar artikelen die ik van harte aanbeveel.
Wellicht weet jij nog een paar goede artikelen, laat me dat weten,
dan zet ik die links daar ook op.
Veel modellen waar wij mee zullen werken in deze cursus,
zijn meer het schets type model.
De logistische vergelijking en de Lorenz vergelijking.
Hier zullen we het nog over hebben in volgende units.
Ik zou ze niet te serieus nemen als direct representaties,
over bijvoorbeeld de konijnen- populatie dynamica op een eiland,
maar ze zijn meer schetsen of karikaturen die wij kunnen gebruiken
om vragen te stellen over modellen in het algemeen en om
algemene kenmerken rond natuurkundige fenomenen.
En ze zijn heel bruikbaar.
Eenvoudige voorbeelden om zaken te achterhalen, om dieper te graven
in dynamische systemen en om te leren over chaos en
over gevoelige afhankelijkheid voor initiële omstandigheden
en onderwerpen zoals die.