في هذه المحاضرة، أريد أن آخذ استراحة من كل الشواش وأتحدث عن طرق مختلفة
للتفكير بالنماذج الرياضية.
ومقصدي الرئيسي في هذه المحاضرة هو ببساطة أنّه يوجد طرق مختلفة للتفكير
ولإستخدام النماذج الرياضية عبر العلوم والعلوم الإجتماعية.
لن أجادل أنّه يوجد هناك طريقة واحدة صحيحة أو أنّ عدة طرق لإستخدام النماذج
أفضل من غيرها، لكن بدلاً من هذا، يوجد الكثير من الطرق المختلفة التي تُستَعمل بها النماذج
والتي أعتقد أنّها شيءٌ جيد، لكنها تستحق أن تكون مُدرَكة.
إذاً دعوني أبدأ بشيءٍ ما، وإنّه ربما ليس نموذجاً بحد ذاته حتى، وذلك هو قانون
نيوتن للجاذبية الأرضية. وهو F=GM_1M_2/r مربعة.
هذا يصف كيف لشيئين أن ينفصلا ، من خلال المسافة r، كتلهم هي M_1 و M_2،
إنّه يصف مدى قوة القوى الجاذبة بينهم.
إذاً هذا موصوف كقانون للطبيعة أو قانون للفيزياء، عادةّ يُفكَّر به
كقانون حقيقي، وصف دقيق وصحيح.
إنّه أساسي جداً، ميكانيكياً، يصف بشكل ما ماذا يحدث تماماً.
ربما أحدٌ ما يستطبع أن يفسر الأشياء بمصطلحات جاذبية الكم أو النسبية العامة، لكن هذا
تفسير أساسي نوعاً ما، هذا حقاً ماذا يحدث.
إذاً معادلة أخرى يستطيع أحدٌ ما إستخدامها، حيث ربما الدوال أيضاً كنموذج قليلاً
ربما يكون قانون التحجيم الأيضي . أي (Y=Y_0*M^(3/4.
هذا سيصف كيف أنّ معدل الأيض Y يعتمد على كتلة الجسم M بشكل رئيسي
لكل الكائنات الحية .
إذاً هذه أيضاً معادلة، إنّها أقل ميكانيكية بمعنى أنّها فقط تصف،
بدقة كبيرة، لكنها وصف لعلاقة بين متغيرين.
لا تخبرك بالضرورة كيف أو لماذا يوجد علاقة بين كتلة الجسم و معدل الأيض،
لكنها تقول أنّه يوجد هذه العلاقة.
لكن حتى عم التفكير كثيراً بالنماذج إنما بالمعادلات، المعادلات مُستخدمة
بطرق مختلفة أو ربما يُفكّر بها بطرق محتلفة أيضاً .
البعض ربما تكون ميكانيكية أو أساسية، والأساسية لا تعني بالضرورة أنّها أفضل
لكن ربما بشكل ما عند أدنى مرحلة من التفسيرات،
ومعادلات أخرى ربما تصف العلاقة بين المتغيرات، لكن لا تعطي سبب
لماذا تلك العلاقة على ما هي عليه.
إذاً عندما أحدٌ ما يأخذ تصميم رياضي إلى مجالات خارج نطاق الفيزياء، في بعض الأحيان يوجد
فكرة، ربما فقط الفيزيائيون الذين يعتقدون هذا، لقد أتيت من خلفية فيزيائية ،
أنّ النماذج والمعادلات ربما يعملون بشكل مشابه في مجالات أو حالات أخرى،
حيث أننا نصنع قضية للحقيقة، قضية بحيث بستطيع الباحث أن يقوم
بتنبؤات باستخدامها .
لكن النماذج عادةً لا تستخدم بتلك الطريقة، أنّها تُستخدم لأغراض أخرى، إذاً النماذج
والمعادلة اللوجيستية كيف تستخدم ، التي قمنا بدراستها، إن النماذج
مثل المعادلة اللوجيستية، أفكر بها أكثركالرسم الساخر(الكاريكاتور).
إننا لا نحاول أن نلتقط الحقيقة، أو الحقيقة الكاملة أو القصة كاملة عن
شيئ ما، لكن إلى حدٍّ ما فقط رسم سريع أو أدنى تعبير لشيء
أو لظواهر التي تلتقط شيئاً ما ذا أهمية.
إذاً هنا على الشاشة رسم ساخر. أنا لست متأكداً من المصدر الأصلي لهذا،
ربما عدة أماكن على الإنترنت، لكنك من المحتمل أنك تميّز هذا الشاب. إنّه رسم أو كاريكاتور لباراك أوباما.
إذاً الهدف من هذا الكاريكاتور ليس أن يكون رسم دقيق أو كامل
للرئيس أوباما قدر الإمكان.
أحدٌ ما على الأرجح لن بنتقد هذا ويقول إنّه ليس دقيقاً كفاية. سمة
الكاريكاتور الجيد هو أنّه إن كان لديك بعض الملامح الملقى الضوء عليها أو المبالغَة بطريقة ما لشخص
أو لشيء أو أياً كان ما تدرسه والذي يصبح نوعاً ما يمكن تمييزه مباشرةً.
وإن كان بإمكانك فعل هذا، عندئذً إنّك على الأرجح ستلتقط بعض الملامح الحقيقية أو المفيدة أو المثيرة للإهتمام
للشيء الذي ترسم له الكاريكاتور.
إذاً أعتقد أنّ النماذج تستطيع عادةّ أن تعمل بنفس طريقة الكاريكاتور.
بالنسبة للمعادلة اللوجيستية، فإننا لسنا نحاول أن نشكل كل شيء ممكن عن النظام البيئي،
حتى النظام البيئي البسيط أو المُختلق توعاً ما حيث لدينا أرانب تعيش على جزيرة،
لكن بدلاً من هذا إننا فقط نحاول أن نقوم ببعض الكاريكاتور.
نموذج بسيط جداً نوعاً ما مع القليل من الشطبات، والذي يمكنه بطريقة ما أن يلتقط بعض ملامح
الإرتفاعات والإنخفاضات للكثافة السكانية.
ها هنا بعض الطرق الأخرى للتفكير بطرق مختلفة التي ممكن أن تعملها النماذج.
إذاً، كمثال، أعتبر فكرة الدليل الميداني.
إذاً الأدلة الميدانية ، هذه الكتب ، ربما حول الطيور، أو الأشجار، أو من يعرف ما هي
الهدف منها حيث إن كنت بالخارج ورأيت طائراً، وقلت "أتساءل أي نوعٍ
من الطيور هذا،" يمكنك أن تنظر للدليل الميداني ومن ثمّ تستطيع أن تنظر لصور
الطيور وتكتشف أي طائر ترى هناك وتقول
"إنّه رائع، إنّي أعرف ما هذا الآن."
إذاً ستفكر أنّ الدليل الميداني الجيد يجب أن يحتوي على صور بداخله، لأنّ
الصور هي تمثيلا كامل أو واقعي لصورة الطائر.
بالطبع، إنّها ليست تمثيلات كاملة تماماً والصور ممكن أن تكون
معدّلة، كل أنواع هذه الأشياء، ولكنك مع ذلك ربما تفكر، أوه ، صورة
هذه وسيلة للذهاب.
لكن في الواقع الصور أشياء ضعيفة المستوى حقاً للإستخدام عندما نحاول أن نتعرف على الطيور
أو نباتات أو أياً كان.
إذاً كمثال سريع، ها هنا دليل ميداني للثديات البحرية المنجرفة على الشاطئ
والذي استعرته من زميل في آخر الرواق وإنّه ليس ممتلئاً بالصور،
لكن برسومات.
رسومات لحيتان، ذلك حوت الزعنفي.
إذاً بحيث إذا وجدت حوتاً كبيراً منجرفاً على الشاطئ، وتساءلت، " أي نوع من الحيتان هذا؟"
يمكنك أن تنظر وهذه الرسومات مفيدة أكثر من الصور.
إذاً هذا غريباً بعض الشيء لأنك تعتقد أنّ تلك الرسمة أحدٌ ما رسمها
ولابد أنّه قد أغفل بعض التفاصيل لذلك إنّها أقل دقة.
وربما هذا صحيح، وجهة النظر تلك، أنّ الرسمة الجيدة كالكاريكاتور الجيد
ألقي الضوء على أشياء معينة، بعض الملامح المهمة أو الممكن تمييزها نوعاً ما لكي تستطيع أن أن تميز بين حيتان الزعنفية
وحيتان العنبر أو الحيتان الزرقاء، أو أياً كان ما تحاول فعله.
إذاً إنّك لن تنتقد رسمةً كهذه وتقول، " أوه لقد أغفلت كل هذه التفاصيل."
لكن المقصد من رسمةٍ كهذه هي أن تتجاهل هذه التفاصيل لكي تلقي الضوء
على شيءٍ آخر.
إذاً بعض النماذج الرياضية تعمل بتلك الطريقة.
ربما المعادلة اللوجيستية كمثال آخر.
إن المقصد ليس ضم كل التفاصيل، المقصد هو تجاهل بعض التفاصيل،
التي لا تهم، وخلال ذلك، إكتشاف ماهي هذه التفاصيل التي لا تهم،
لكي تحصل على رسمة يمكن تمييزها للظواهر الفيزيائية، الحيوية، الإجتماعية التي تحاول
أن تتعلم شيئاً ما عنها، ماالذي يمكنك أن تتجاهله من تفاصيل ولا يزال من الممكن تمييزها.
بالتأكيد هذه طريقة مفيدة وهامة لتتعلم عن تلك الطريقة .
من ناحيةٍ أخرى، هناك أوضاع حيث الصور فيها مفيدة.
إذاً إفترض أنّ طالب أتى إلي وقال، "دايف، لقد رأيت وحيد قرنٍ بنفسجي في غرفة نومي."
وذلك سيكون رائعاً، من لا يحب حيوانات وحيد القرن البنفسجية، لكني لست متأكدأّ من أنّي سأصدق
الطالب ولذلك ربما أقول، "هذا لطيف، أي دليل تملك بأنّه كان يوجد
حقاً وحيد قرنٍ بنفسجي في غرفتك؟"ها هنا رسمة رسمتها
لذلك، "حتى وإن كانت رسمة رائعة، هذا لا يساعدني بالضرورة على أن أصدق
أنّه كان هناك وحيد قرنٍ بالغرفة.
لكن إذا عرضوا لي صورة، حتى بمعرفة أنّ الناس تستطيع أن تغعل أشياء عظيمة
ببرنامج الفوتوشوب، ذلك سيكون دليل سآخذه بجديّة أكثر.
إذاً في بعض الحالات الصورة مفيدة أكثر، في حالاتٍ أخرى، لوحة أو رسمة جيدة
مفيدة أكثر.
إذاً المقصد هو نوع التمثيل الذي يلتمسه أحدٌ ما لشيء أو لظواهر
تعتمد على الأهداف وعلى الحالات.
ها هنا مثالٌ آخر ليساعدنا على التفكير بالنماذج.
هذان نموذجين مختلفين لجسم الإنسان.
إذاً النموذج الأول، إفترض أنّ طالب طب احتاج أن يتعلم عن الجراحة وعن ما تبدو
عليه الأعضاء، إذاً ماذا يمكن أن تتمرن عليه بدلاً من تقطيع إنسان حقيقي؟
حسناً ، ما يُقام به عادةً وهو أنّ طلاب الطب يعملوا على أجنّة الخنازير.
وإذاً أظن أنّ جنين الخنزير، نموذج جيد لجسم الإنسان.
إن اقتطعته، الأعضاء تبدو نوعاً ما كأعضائنا وهي بشكل ما
في نفس مكان أعضائنا.
إذاً جنين الخنزير نموذج لجسم الإنسان، وإنّه جيد جداً لطلاب الطب.
من جهة أخرى، أعتبره مصمم أزياء. وإنّه يصمم ملابس، ويحتاج
أن يعرف كيف تبدو الملابس على الشخص، لذلك ربما يحتاج أن يملك نموذج لشخص
وسيستحدم عادةً تمثال لعرض الملابس. إذاً إنّه فقط شيء بلاستيكي كبير مشكّل كالإنسان.
وهذا يعمل بشكل جيد جداً لغاياته. تمثال عرض الملابس هو نموذج جيد لجسم الإنسان
لمصمم الأزياء. إذاً ما هو أفضل نموذج للإنسان؟
حسناً آمل أنّ هذا السؤال لا يبدو منطقياً. إنّه يعتمد على الحالة، ماذا
تحاول أن تجسّد.
إنها بالتأكيد ستكون فكرة سيئة إذاقام مصمم الأزياء بتصمم الملابس بإستخدام جنين الخنزير
كعارض للملابس. وسيكون أسوء على الأرجح إذا تمرن طالب الطب على الجراحة
ووظائف الأعضاء على عارض الملابس البلاستيكي الذي يكون عادةً داخله فارغ.
إذاً على أية حال، المقصد هو، مجدداً، النماذج تخدم غايات مختلفة ولا تبدو منطقية
دائماً لنقول أي نموذج أفضل أو أي أسوء، بدون تحديد الحالة والغايات
التي لديك ولماذا تستخدم أو لماذا تصنع نموذجاً من الأساس.
أخيراً، يجب أن أذكر أنّ هذا المثال ليس مُبتكر مني، لكن لا أعرف
من اختلقه، لقد قرأته منذ وقتٍ طويل، ولأ أستطيع أن أتذكر أين لذلك لا أستطيع أن أعرف كيف
أسنده، لذلك أنا آسف لكن على أي حال إذا أنت من إختلقته، دعني أعرف وسوف
أسنده إليك، أو إذا قرأت هذا سابقاً، دعني أعرف لأني لا أستطيع
أن أتذكر من أين هذه الفكرة.
على أي حال، أنواع مختلفة من النماذج مُستخدمة بطرق مختلفة وبظروف مختلفة.
هذا هو المقصد.
إذاً للتلخيص.
أحياناً، تحديداً في الفيزياء،نستخدم نماذج كمحاسبة مباشرة لهيئة ما
للواقع. محاسبة مباشرة وكاملة.
وهذه النماذج عادةً، وهذه المعادلات عادةً ليست وصفية فحسب، لكن تفسيرية
وربما ميكانيكية وعادةً تنبؤية.
إذاً قانون نيوتن للجاذبية الأرضية، ربما يفسر الجاذبية على مستوى ما وإنّه بالتأكيد تنبؤي.
قانون نيوتن للجاذبية الأرضية يتنبأ بكل أنواع الأشياء الواقعة على المدارات السماوية، مع
قانون نيوتن الثاني للحركة ويمكن إستخدامه لإرسال أقمار صناعية إلى
مواقع دقيقة جداً في النظام الشمسي.
لكن خارج نطاق بعض الفيزياء الأساسية، النماذج والمعادلات تُستخدم في طرق كثيرة
مختلفة، وغالباً يكثر إستخدامهم في الكاريكتور أو الرسم لشكل ما ..
ولذلك لهذه الأنواع من النماذج، لا أعتقد أن سؤال ما إذا كان نموذج ما صحيح أو خاطئ
سؤالاً مفيد أو ذو معنى حتى.
هل جنين الخنزير نموذجاً صحيحاً للإنسان البشري؟ حسناً على مستوى ما ، كل النماذج خاطئة.
على مستوى آخر، كل النماذج صحيحة لأنّه من المفترض أنّ النماذج تلتقط بعضاً من مظهر
الشيء المدروس.
إذاً أعتقد أنّ مجموعة أسئلة مفيدة أكثر لسؤال نموذج وهي هل هو مُساعد أم لا؟
جنين الحنزير على الأرجح مُساعد جداً لطالب الطب، وبالتأكيد عارض الملابس البلاستيكي
مُساعد جيد للشخص الذي يصمم ملابس.
هل النموذج يميل لتنوير الشيء المدروس أو لجعله غامضاً؟
وليس كأنّه من السهل معرفة ذلك دائماً، لكن هذه هي الأسئلة التي يريد أحدٌ ما أن يسألها.
النماذج عادةً مفيدة لإقتراح تقنيات بسيطة معينة أو معالم أساسية رئيسية.
إكتشاف ماذا يمكنك أن تسقط من التمثيل لكن لا تزال تحافظ على الشيء
الذي تحاول أن تدرسه هناك.
إذاً، على أي حال، النماذج تستعمل كثيراً بطرق مختلفة.
يوجد بعض المقالات الجيدة حقاً حول هذا الموضوع، وهو موضوع ضخم وفلسفي
في العلوم/ لذلك هناك الكثير لتقرأه في القسم الذي يتبع هذا الفيديو.
لدي صفحة تحتوي على روابط لمقالات التي أنصح بها بشكل خاص. ربما تعرف بعض المقالات الجيدة،
دعني أعرف وسأنشر روابط لهم أيضاً.
إذاً كثيراً من النماذج التي سنعمل معها في هذه الدورة إنها أكثر من مجرد نموذج، نوع الرسمة.
المعادلة اللوجيستية، ومعادلات لورنز التي سنتحدث عنها أكثر باللوحدات اللاحقة.
لن آخذهم بجديّة كثيرة كالتمثيل المباشر، قل، ديناميكيا الكثافة السكانية للأرانب
على جزيرة، لكنهم أشبه برسومات أو كاريكاتور التي يمكننا أن نستخدمهم
لطرح أسئلة عن النماذج يشكلٍ عام ولنبحث عن، قل، معالم عامة للظواهر الفيزيائية
وإنّهم أمثلة بسيطة مفيدة جداً لنتعمق أكثر في النظام الديناميكي ولنتعلم
عن الشواش والاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية ومواضيع كهذه.