Analicemos las propiedades
de una secuencia de símbolos
generados por la función logística.
Voy a considerar una secuencia simple,
generada por una órbita
de la función logística,
en la cual r = 4.0,
de manera que éste es un valor caótico,
aperiódico, porque depende
de las condiciones iniciales.
y voy a imaginar un experimento
aquí a la izquierda,
y otro experimento a su lado
en el que arrojaré una moneda
muchas veces. Si arrojo una moneda,
los resultados van a ser caras (heads, H)
y cecas (tails, T),
la probablidad de obtener caras
es un medio (1/2);
la probabilidad de obtener cecas
es un medio (1/2);
y los lanzamientos son independientes:
el resultado de un lanzamiento
no influye el resultado
de ningún otro lanzamiento.
la secuencia de símbolos
se obtiene de la órbita
convertida en una serie de Ls y Rs.
Lo que quiero hacer ahora
es comparar las estadísticas
de esta serie de Ls y Rs
con las estadísticas
de la serie de Hs y Ts.
voy a imaginar que tengo
una cantidad infinita de datos,
de manera que estas dos series
son ambas infinitas.
esta suposición no es realista,
pero va a simplificar la discusión
y la explicaré más adelante.
Entonces,
sobre la primera serie infinita de Ls y Rs
podemos preguntar: cuál es la frecuencia de L,
y cuál es la frecuencia de R?
Y si hacemos esto,
encontramos que la mitad
de estos símbolos eran L,
y la mitad eran R.
Y podemos hacer lo mismo aquí:
arrojamos una moneda infinitas veces
y podemos preguntar lo mismo:
¿cuál es la frecuencia de H?
¿Cuál es la frecuencia de R?
Y la frecuencia de H es un medio,
y la frecuencia de T es un medio.
Esto nos dice que caras y cecas
son igualmente probables,
ocurren con la misma frecuencia,
y las Ls y las Rs también tienen
la misma frecuencia.
Esto no significa
que las secuencias sean iguales,
o que tengan las mismas características;
sólo nos dice que la frecuencia
de cada símbolo
es igual a la frecuencia
de los otros símbolos.
Ahora hagamos otro experimento:
Preguntemos cuál es la frecuencia
de las combinaciones LL, RL, LR, y RR;
la frecuencia de estos resultados.
Si yo reviso esta larga secuencia
y cuento con qué frecuencia
encuentro un par LL,
y en qué fracción
encuentro los pares LR, RL o RR,
obtengo un cuarto (1/4) para cada una:
los cuatro pares
tienen la misma probabilidad.
Lo mismo va a ocurrir aquí:
si pregunto cuál es
la frecuencia de HH, HT, TT y TH...
encuentro que las frecuencias
de todos los pares posibles
son todas iguales,
como ocurre en el caso de la izquierda.
Quizás ustedes ya adivinen
el siguiente paso: preguntemos cuáles son
las frecuencias de todos los
triples posibles: LLL, LLR, LRL, etc.
Entonces, en la dinámica de símbolos
de la función logística
hay ocho resultados posibles
para tres símbolos consecutivos,
y todos ocurren con la misma frecuencia:
un octavo (1/8).
Lo mismo ocurre en el caso de la moneda:
ocho resultados posibles
para tres símbolos consecutivos,
todos con la misma frecuencia: 1/8.
Puedo continuar haciendo
estos experimentos,
analizando cuatro símbolos consecutivos,
cinco, seis, etc. y en todos los casos
econtraré que todas las secuencias
ocurren con la misma frecuencia.
Por ejemplo, si estudiara la secuencia
de 5 símbolos H,T en el caso de la moneda,
encontraría que ocurren
con la misma probabilidad,
y lo mismo en el caso de la secuencia
de 5 símbolos H,L en la función logística.
Esto significa que la dinámica de los símbolos
de la función logística cuando r=4.0
son tan aleatorios
como el lanzamiento de una moneda.
Este es un resultado importante
que tenemos que considerar
con más detenimiento: lo voy a escribir...
"La ecuación logística con r=4 es tan aleatoria
como un lanzamiento de moneda".
En un lanzamiento de moneda,
todas las secuencias de Hs y Ts
tienen la misma probabilidad;
para la ecuación logística,
todas las secuencias posibles de Ls y Rs
tienen la misma probabilidad.
Otra forma de entender esto
es la siguiente:
Supongamos que genero dos secuencias
de símbolos (los nombres de las letras
no tienen importancia,
podemos usar Hs yTs, ceros y unos, etc. ).
Una de estas secuencias muy largas
fue generada arrojando una moneda
una y otra y otra vez.
La otra secuencia de símbolos
fue generada por la iteración
de la ecuación logística una y otra vez,
y convirtiendo el resultado
en una serie de símbolos.
Si después muestro estas dos secuencias,
y pregunto cuál es cuál,
no hay ninguna forma de diferenciar
estas dos secuencias.
una fue generada lanzando una moneda,
un proceso que consideramos
como totalmente al azar,
mientras que la otra secuencia
fue generada por el calculo repetido
de una función, un proceso que
consideramos totalmente determinístico.
Y sin embargo, los resultados
no pueden distinguirse uno del otro.
Ahora debo aclarar que, en ambos casos,
en la realidad no podemos generar
una secuencia verdaderamente infinita,
de manera que estas probabilidades
no serían exactamente 1/8
y estas tampoco serían exactamente 1/8,
algunas serian algo mayores
y otras algo menores que 1/8.
Pero esto no afecta el argumento
de que cuando las secuencias
se extienden más y más,
todas estas frecuencias se igualan
y todas estas frecuencias se igualan,
y las dos secuencias
no se pueden distinguir.
Acabamos de ver un ejemplo
de una función determinística
que produce un resultado aleatorio.
Y no solo un resultado aleatorio cualquiera,
sino un resultado que, como dije,
es tan aleatorio como lanzar una moneda.
Iterando una función determinística,
obtuvimos un resultado
que no se puede distinguir
del resultado de arrojar una moneda.
Esto parece muy extraño, y hablaremos más
sobre esto en un momento.
pero primero quiero subrayar
que este resultado, que iterando
la función logística y convirtiendo
el resultado en dinámica de símbolos
produce algo que semeja el lanzamiento
de una moneda,
es un resultado extremadamente útil.
porque la aleatoriedad es un recurso
muy útil en la ciencia,
y en nuestras vidas.
El acceso a una fuente de valores aleatorios
es algo bueno; por ejemplo:
en muchos algoritmos numéricos se utiliza
la simulación llamada "Monte Carlo",
que requiere una buena fuente
de números al azar,
porque necesita muestrear al azar
el espacio (numérico) que se está analizando.
En estadística es muy importante trabajar
con lo que se llama una "muestra no sesgada";
por ejemplo si tengo una población muy grande
(millones de personas en un país, etc.)
y quiero estudiar sus propiedades
estadistícas (ingreso promedio, etc.),
llevaría demasiado tiempo preguntarle
a cada una de las personas. Por eso
se toma una muestra más pequeña.
Pero esa muestra pequeña debe ser
REPRESENTATIVA de la población grande;
y la mejor manera de lograr eso
es haciendo un muestreo al azar.
No siempre es fácil hacerlo,
pero tener un algoritmo que produce
números aleatorios es algo muy útil.
La aleatoriedad también es
un recurso muy útil en otras actividades:
Si me encuentro interactuando
en forma estratégica con un rival,
por ejemplo, negociando un precio,
escapando de alguien
que trata de alcanzarme,
evadiendo a alguien
que intenta hacerme daño,
voy a desear que my estrategia
sea lo más dificil de predecir posible.
Si lo que hago tiene regularidad,
mi rival puede explotar esa regularidad.
esto puede ocurrir en juegos
como el "Dilema del Prisionero"
o "Piedra, Papel y Tijeras",
o en una situación en la que necesito
moverme en zigzag para escapar de alguien.
De manera que,
en interacciones estratégicas,
si usamos parámetros al azar,
evitamos la regularidad
que el rival podría aprovechar.
Algo muy parecido ocurre en criptografía;
hay muchas formas de hacer criptografía,
pero una es utilizando una secuencia
de símbolos para codificar
el mensaje secreto.
La secuencia que se utiliza
como parte de ese esquema codificador
debe ser lo más aleatoria posible.
porque cualquier regularidad
en la secuencia codificadora
puede ser usada por un adversario
para descubrir el mensaje.
En resumen, muchas veces el azar
es algo no deseado (no me gustaría
que mi auto no pudiera arrancar al azar,
sino que me gustaría
poder confiar en que arranque,
incluso en días muy fríos),
por eso a menudo tratamos de evitar
la aleatoriedad, pero en realidad
la aleatoriedad puede ser un recurso muy útil.
La ecuación logística con r=4.0
puede generar números
o bits (ceros y unos)
que pueden utilizarse como
un generador de números al azar.
y esto es muy útil en muchos
tipos de aplicaciones.
No soy un experto en generadores
de números aleatorios,
pero no creo que la función logística
en la forma que vimos sea utilizada en los
generadores de números aleatorios.
Sin embargo, la idea básica es la misma:
se itera una función determinística
que es caótica y produce
estos resultados aleatorios,
y sirve como fuente de aleatoriedad
para la aplicación de interés.
de manera que la aleatoriedad
es muy útil en muchas circunstancias.
En la próxima lección
profundizaremos el tema de la aleatoriedad
porque necesitamos comprender mejor
lo que significa la aleatoriedad
producida por un sistema determinístico.