In dit onderdeel introduceer ik het idee dat een chaotisch, dynamisch systeem,
zoals de logistische functie met r = 4,
een deterministische bron van willekeurigheid is.
Om dit te kunnen doen,
moeten we eerst goed nadenken over
willekeur behelst.
Wat betekent het eigenlijk wanneer wij zeggen dat
uitkomst of proces willekeurig is?
Ik zal laagje voor laagje een setje argumenten hiervoor opbouwen.
Geen van die argumenten is op zich nogal technisch van aard,
met andere woorden, er is geen calculus of algebra bij nodig, maar
ze zijn van conceptueel rijk en een beetje abstract.
Toch denk ik dat wij zullen eindigen
met een aantal hele interessant conclusies
die wellicht verrassend en heel plezierig zijn om over na te denken.
Laten we dus starten!
Ik start met een techniek die bekend staat als 'symbolische dynamica'.
Het idee achter 'symbolisch dynamica' is het omzetten van een baan,
in dit geval dus een serie van nummers, in dit geval tussen 0 en 1,
in een reeks van symbolen.
En de standaardwijze hierbij is alsvolgt:
Wanneer onze iteratief x< 0.5 dan noem ik die 'L".
En wanneer x > of x = 0.5 dan noem ik dat "R".
Ik stel me voor dat deze aan de linkerkant van het interval zit
en deze aan de rechterkant.
De symbolen die ik gebruik zijn volstrekt willekeurig.
Ik had ook harten en schoppen of x en y of 0 en 1 kunnen gebruiken,
maar ik gebruik L en R.
Voorbeeld: Stel, ik heb de volgende route
OK, hier zijn de eerste iteraties voor de logistische functie,
nogmaals r = 4 en de initiële conditie is 0.613.
Laten wij deze nu omzetten in symbolische dynamica.
0.613, dat is > dan 0.5 dus dat wordt een R.
0.949, dat is ook > 0.5 dus dat is ook een R.
0.194, is < 0.5, dus noem ik die L.
0.625, dat is > 0.5 dus dat is een R.
En deze is ook > 0.5 dus dat zal een R zijn.
Dus het idee is dat ik elke route, elke baan, een volgorde van nummers
tussen 0 en 1 en deze kan omzetten in een serie symbolen,
RRLRR in dit geval.
Nu we de symbolen volgorde kennen,
is het idee dat wij nu de dynamica van de reeks van de symbolen,
in plaats van de dynamica van de baan kunnen bestuderen.
En in veel gevallen kan men laten zien dat de kenmerken van de banen,
hetzelfde zijn als de kenmerken van de symbolen reeks.
Dus het bestuderen van de symbolen reeks is net zo goed als de originele baan.
Laat ik dat even noteren.
Dus; kenmerken zijn gelijk voor de baan en de symbolen reeks.
Wanneer ik het heb over 'kenmerken', dan bedoel ik de aanwezigheid
van vaste punten en de stabiliteit van vaste punten.
Het symbolische, dynamische systeem met alleen de symbolen L en R,
zal hetzelfde aantal vaste punten hebben en de stabiliteit zou hetzelfde zijn,
En wanneer de symbolische reeks gevoeligheid voor initiële condities kent,
oftewel aperiodiciteit, dan zal de originele baan,
het originele dynamische systeem dat tevens hebben.
Dit is overigens ook weer niet een voor de hand liggende conclusie,
want het lijkt er op dat ik met de keuze van de symbolen
veel informatie weggooi.
Immers, elk nummer tussen 0 en 0,5 heb ik gewoon in een L omgezet.
Dat is best wel grof om te doen.
Er zijn oneindig veel getallen tussen 0 en 0.5 en die zet ik allemaal om in L.
Dus, het lijkt erop dat ik informatie verlies, dus hoe
kunnen die twee dingen nu hetzelfde zijn.
Wel, wat blijkt is dat deze manier in het bijzonder,
van het vormen van symbolen, kan men het volgende laten zien
en beargumenteren.
Laat ik dit voorbeeld laten zien, zoiets als dit.
Stel dat ik je de volgende reeks aan symbolen liet zien
RRLRLLR
Dan kan ik je vragen naar de initiële condities
hebben geleid tot deze specifieke reeks symbolen.
Men kan laten zien, door terug te redeneren, dat dit past bij
een vrij smalle band aan initiële condities.
Sterker nog, het zou zelfs een eenzijdig gebonden band zijn
die hieraan ten grondslag zou liggen.
En dan zou ik kunnen zeggen, OK, wat als de volgorde zo zou zijn.
Dan zou ik zeggen dat de initiële condities die hieraan
ten grondslag liggen nog altijd een hele smalle band vormen.
En nu voeg ik nog een symbool toe.
De mogelijke initiële condities die hieraan ten grondslag liggen,
is nog altijd smal.
Dus binnen de beperking dat de reeks symbolen oneindig langer wordt,
worden de mogelijke initiële condities die hieraan ten grondslag liggen
oneindig kleiner.
Een andere manier om dit te verwoorden, is dat wanneer jij mij
een bepaalde initiële conditie geeft,
de symbolen reeks die daaruit voortkomt, uniek is.
Er is één en slechts één symbolenreeks, die uit die bepaalde
initiële conditie voortkomt.
Dat is logisch want dit is een deterministisch en
dynamisch systeem.
Dus, het belangrijkste kenmerk hier is, dat er een 1 op 1 relatie bestaat tussen
de initiële condities en reeks aan symbolen.
Dus wanneer je me de oneindig lange symbolen reeks verteld,
dan kan daaruit de initiële condities halen en wanneer ik die weet
dan heb ik ook meteen alle informatie over de omloopbaan.
Dus, de oneindige reeks codeert voor de initiële condities en de
initiële condities, in samenhang met de dynamica, vertellen ons de
omloopbaan en van daaruit kunnen we de kenmerken afleiden.
Wat ik dus wil zeggen, is dat informatie in de symbolen reeks gelijk is
aan die van de initiële condities.
Manieren om getallen in symbolen om te zetten
die deze kenmerken hebben, worden aangeduid als
´generating partition´.
Ik wil geen formele definitie noteren, want dat gaat hier te ver en
dan wordt de notitie nodeloos ingewikkeld, maar
een partitie is gewoon, terugkijkend, dit stukje hier, dat is
in essentie een partitie.
De omschrijving van de symbolische notatie dat verteld hoe
van x naar symbolische notatie te gaan, dus L en R.
Dit schema heet de genererende partitie mits langere en langere
reeksen coderen voor smallere, unieke en niet overlappende
gebieden van initiële omstandigheden.
Niet alle symbolische codeerreeksen hebben deze fijne kenmerken.
Wanneer ik had gekozen voor 0.4 als afscheiding, dus wanneer x < 0.4 was,
dan had ik het L genoemd en anders R, dan had het
niet deze specifieke kenmerken gehad.
Dus alleen unieke manieren van coderen,
hebben deze mooie kenmerken.
Maar dat wat ik heb beschreven, heeft inderdaad de mooie kenmerken.
Alleen wanneer dit van toepassing is, is dit waar.
Laat ik wat dingen een beetje nauwkeuriger maken:
Mits wij een genererende partitie gebruiken.
Dus op voorwaarde dat wij een genererende partitie hebben,
dat is zo in dit geval,
dan zijn de kenmerken van de omloopbanen en
kenmerken van de symbolen reeks, zoals eerder beschreven,
gelijk aan elkaar.
Tenslotte wil ik nog benoemen dat de techniek van
symbolische dynamica een manier is om dingen
over dynamische systemen te bewijzen.
Zoals ik eerder zei, in de voorgaande lessen,
dat het grondig bewezen is dat wanneer r = 4
de logistische functie gevoeligheid voor
initiële condities kent en de banen aperiodisch zijn.
Om dit te bewijzen, bij wijze ruwe schets,
zou zijn van het originele systeem naar de symbolenreeks in kaart te brengen
en dan de kenmerken van die symbolenreeks achterhalen
en dan bewijzen dat die kenmerken, mits dit alles van toepassing is,
dat wat je bewijst voor de reeks, die makkelijker te hanteren is,
ook geldt voor originele omloopbaan.
Nu wij het idee van symbolische dynamica onder de knie hebben,
kunnen we gaan kijken hoe de symbolische dynamica
eruitziet wanneer r in de logische functie gelijk is aan 4.