En esta sección introduciré la idea de que un sistema dinámico caótico,
cómo la ecuación logística con r=4, es una fuente determinística de aleatoriedad.
Para poder hacerlo deberemos pensar cuidadosamente acerca de lo que significa
la aleatoriedad:
¿qué significa cuando decimos que un resultado o un proceso es aleatorio?.
Construiré una serie de argumentos capa por capa,
ninguno de estos argumentos son particularmente técnicos
en el sentido de que no requieren cálculo o álgebra,
sIn embargo son ricos conceptualmente y un poco abstractos,
pero pienso que terminaremos con algunas conclusiones muy interesantes
que serán quiza sorprendentes y espero sea divertido pensar en ellas.
Así que comencemos.
Comenzaré por introducir una técnica conocida como dinámica simbólica.
La idea detrás de la dinámica simbólica es convertir una órbita: una serie de números,
en este caso entre cero y uno, en una secuencia de símbolos,
y la manera común de hacerlo es la siguiente: si nuestro número a iterar
X es menor que 0.5 lo llamaré L, y si X es mayor o tal vez igual que 0.5
lo llamaré R.
Así que estoy visualizando que esto estaría en la mitad izquierda
del intervalo unitario y ésto está en la mitad derecha.
Los símbolos que utilizas son completamente arbitrarios,
podrias utilizar corazones y espadas, ó X y Y, ó 0 y 1,
pero yo utilizaré L y R.
Entonces, por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente itinerario (órbita).
Bien, aquí están los primeros 4 números iterados para la ecuación logística,
de nuevo r=4 y la condición inicial es 0.613, así que convirtamos
estos en dinámica simbólica. Entonces 0.613,eso es mayor que 1/2 sería una R,
0.949 también es mayor que 1/2, sería R, 0.194 es menor que 1/2,
menor que 0.5, lo llamaré L, 0.625, esto es mayor que 1/2,
es una R, esto también es mayor que 1/2 asi que sería una R.
Entonces la idea es que puedo tomar cualquier itinerario, cualquier órbita,
una secuencia de numeros entre 0 y 1, y convertir eso en una secuencia de simbolos
RRLRR en este caso.
Entonces, una vez que tenemos una secuencia de símbolos
la idea es que podemos estudiar la dinámica de la secuencia de símbolos
en lugar de la dinámica de la órbita original.
Y en muchos casos uno puede demostrar que las propiedades de la órbita original
son las mismas que las propiedades de la secuencia de símbolos.
Así que estudiar la secuencia de símbolos es igual de bueno que estudiar la órbita original.
Así que dejenme escribir esto.
Entonces: "las propiedades son las mismas para la orbita y la secuencia de símbolos".
Cuando digo propiedades, a lo que me refiero es digamos a la existencia
de puntos fijos y la estabilidad de los ṕuntos fijos.
El sistema dinámico simbólico que requiere sólo de los símbolos L y R
tendría la misma cantidad de puntos fijos y su estabilidad sería la misma.
Y si la secuencia simbólica, el sis- tema dinámico simbólico tuviera
digamos sensibilidad a las condiciones iniciales o fuera no periódico
entonces la órbita original, el sistema dinámico original la tendría también.
Ahora, esta no es para nada una afirmación obvia, porque pareciera
que al pasar a simbolos estoy perdiendo una gran cantidad de
información.
Despues de todo, para cualquier número que se encontraba entre 0 y 0.5
he decidido simplemente convertirlo en L entonces, hacer esto es algo muy tosco.
Hay muchos números una cantidad infinita de números entre 0 y 1/2 y yo sólo convertí
todos ellos a L, asi que pareciera que estoy perdiendo información, entonces
¿Cómo pueden estás dos cosas ser lo mismo?
Bueno, resulta que para esta manera particular de formar símbolos
uno puede mostrar y argumentar lo siguiente
Asi que dejenme hacer esto con una especie de ejemplo
supongamos que te muestro una secuencia de símbolos RRLRLLR
Entonces luego podría preguntarte ¿que condiciones iniciales pudiesen
haber dado lugar a esta secuencia particular de símbolos?
y uno puede mostrar , puedes en cierta forma inferir hacia atrás
que eso (la secuencia) corresponderia a una región bastante angosta de
condiciones iniciales , y por otro lado sólo sería una única región conectada
que daría lugar a esto y entonces yo podria decir:
bien, ¿que pasaría si la secuencia fuera digamos esta?
y luego podrias mostrar que las condiciones iniciales posibles
que habrían dado lugar a una orbita cuya secuencia de símbolos es esta
sería incluso mas pequeña
y si agrego otro símbolo las posibles condiciones iniciales que dan lugar
a esto sería incluso menor y entonces en el límite en que la secuencia de símbolos
se vuelve infinitamente larga, las posibles condiciones iniciales que darian lugar a ella
se volverian infinitamente acotadas.
Otra forma de decir esto es que si me das una condición inicial
específica, la secuencia de símbolos que resulta de ella es única,
hay una y sólo una secuencia de símbolos que resulta de esa condición inicial,
y eso en cierta forma tiene sentido, este es un sistema dinámico determinístico.
Entonces, la característica clave aquí es que hay una relación uno a uno entre
condiciones iniciales y secuencias de símbolos,
así que si me dices la secuencia de símbolos infinitamente larga
yo conocería la condición inicial, y si conozco la condición inicial
de un sistema dinámico determinístico, eso contiene toda la información
acerca de la órbita.
Asi que la secuencia infinita codifica para la condición inicial
y la condición inicial junto con la dinámica te dice la órbita
y a partir de ello se pueden obtener las propiedades.
Supongo que lo que quiero decir es que la información en las secuencias
de símbolos es la misma que la información de las condiciones iniciales.
Y las maneras de formar símbolos a partir de números, que cumplen esta
propiedad se llaman generadoras, y el esquema particular se conoce a veces
como una partición generadora.
No quiero escribir una definición formal de esto ,porque pienso que nos
alejará demasiado de lugar y nos conducirá a una notación muy
complicada, pero una partición, y una partición era simplemente...
volviendo aqui, esto en cierto sentido sería la partición, la descripción
de la dinámica simbólica, esto me dice como ir de la orbita, las equis,
a los simbolos L y R, este esquema se llamará una partición generadora
si secuencias cada vez mas largas codifican para regiones cada vez mas
delimitadas, unicas y que no se traslapan de condiciones iniciales.
Bien, entonces no todos los esquemas simbólicos de codificación tienen esta propiedad,
de hecho si hubiera elegido 0.4 como el punto de corte,
que si X fuera menor que 0.4 lo llamara L y es R en los demas casos,
entonces eso no tendría esta propiedad, asi que son sólo particiones especiales,
formas especiales de codificar las que cumplen esta agradable propiedad.
Pero la que describí ciertamente tiene esta propiedad.
Asi que es sólo cuando éste es el caso que esto (las propiedades son las mismas para la órbita y la secuencia) es verdad.
Asi que dejenme para hacer las cosas un poco mas precisas decir:
"si utilizamos una partición generadora".
Entonces dado que tengamos una partición generadora, que sí tenemos en este caso,
las propiedades de la órbita y las propiedades de las secuencias
de símbolos son en el sentido que he descrito las mismas.
Por último quiero mencionar que ésta técnica de dinámica símbolica
es una manera de demostrar cosas acerca de los sistemas dinámicas,
dije en las últimas clases que se demuestra rigurosamente que cuando
r=4 la ecuación logística tiene sensibilidad a las condiciones iniciales y sus orbitas son
no periódicas, la manera en que uno haría esta demostración, y esto es sólo un
bosquejo aproximado, sería realizar este mapeo (función) desde el sistema
dinámico original a secuencias simbólicas, demostrar propiedades de dichas secuencias
y luego si todo ésto se cumple , que si sucedería en este caso,
lo que demuestres acerca de la secuencia símbolos, con la cual es mas fácil trabajar,
sería verdadero para la órbita también.
En cualquier caso, ahora que tenemos esta idea de la dinámica simbólica
veamos como se vé la dinámica simbólica para la ecuación logística con r=4.