Hemos visto que la ecuación logística con r=4 exhibe el efecto mariposa,
sensibilidad a la variación de las condiciones iniciales,
dos puntos de inicio cuya diferencia es impercebtible
pueden conducir a una gran diferencia en sus órbitas despues de un tiempo.
Y comprobamos esto utilizando computadoras, utilicé una computadora para iterar una función
o resolver una ecuación diferencial, y vimos estas trayectorias que divergen.
Entonces, argumenté que esto hace que dichos sistemas, a pesar de ser determinísticos,
sean esencialmente impredicibles, porque necesitamos una precisión imposible
para poder realizar predicciones a largo, o incluso a menudo medio plazo.
Además de plantear un reto para la predicción de procesos reales,
también plantea un reto o acertijo para la manera en que pensamos
acerca de los mismos resultados de la computadora,
ya que las computadoras no almacenan números con una precisión infinita,
y eso es lo que necesitamos para realizar una predicción exacta a largo plazo
en una computadora, necesitamos una enorme precisión en el punto de inicio
y en todos los números subsecuentes.
Así que dado que las computadoras cometen pequeños errores de redondeo,
debido a la forma en que representan los decimales,
podríamos preguntarnos: ¿podemos confiar en los resultados de una simulación en computadora?
Y resulta que la respuesta es sí, y hay un resultado que ilustra esto
conocido como "shadowing lemma" (lema de sombreamiento).
Así que lo que quiero hacer en este video es presentar la idea principal detras del lema,
en parte para que te sientas seguro(a) acerca de los resultados de la computadora,
pero también porque es un resultado interesante y una forma divertida y distinta de pensar
acerca de que significan la dependencia sensible a las condiciones iniciales
y el caos en los sistemas dinámicos.
Esta es la idea detras del sombreamiento (shadowing),
supongamos que estamos estudiando una función iterativa como la función logística,
y elegimos una condición inicial, y luego calculamos , usamos una computadora para
calcular una órbita, y podemos graficarla en una gráfica de series de tiempo
justo como la que habia realizado anteriormente en la computadora,
y talvez se vería parecido a esto.
El problema, es que la computadora comete errores de redondeo,
no tiene una precisión infinita, y como hay sensibilidad a las condiciones iniciales,
la órbita calculada no es la órbita verdadera
para la condición inicial que escogimos.
Así que para comenzar , dibujaré en azul la órbita verdadera para esta condición inicial.
Podría empezar aquí, estaría cerca,
pero después, ya que hay sensibilidad a las condiciones iniciales,
la órbita real se alejaría de la órbita calculada.
Entonces, quería que la computadora me dijera la órbita de esta condición inicial,
y lo que la computadora me arrojó se muestra en esta curva negra,
sin embargo, esta curva negra , la órbita calculada, no es la verdadera
órbita para esta condicion inicial,
la computadora comete pequeños errores de redondeo en como almacena
números decimales, y por lo tanto la órbita calculada no es la misma que la órbita verdadera
esta es otra manifestación del efecto mariposa.
En este punto podemos preguntar: si esta curva negra, esta serie de tiempo,
no es la órbita verdadera, ¿qué es?, ¿tiene algún significado o es sólo basura,
sólo algún tipo de aleatoriedad?
sorprendentemente, resulta que esta órbita calculada sí tiene significado:
es la órbita verdadera de alguna otra condición inicial.
Así que haré un dibujo de cómo podría verse,
arriesgandome a enturbiar esto.
Bien, entonces la serie de tiempo negra es lo que calculamos,
la azul es la órbita verdadera para esta condición inicial,
la roja es alguna otra órbita verdadera.
Así, esta órbita negra es de hecho una órbita real de la función logística,
o de lo que sea que estamos estudiando,
simplemente sucede que no es la órbita verdadera que corresponde a la condición inicial que escogí,
pero si es una órbita verdadera para alguna otra condición inicial.
Así que aun puedo interpretar esta serie de tiempo como una trayectoria
de la función logística, no es basura y no es un sinsentido,
pasa solamente que no es la trayectoria exacta que yo pensaba estar estudiando.
Ésto dice entonces que en los resultados numéricos para funciones iterativas
cómo la ecuación logística, a pesar de que los errores de redondeo, precisión finita en la computadora,
y el efecto mariposa significan que esta curva calculada no es una representación
fiel o verdadera de la órbita de esta condición inicial, sigue siendo una representación fiel
de una órbita de la ecuación logística.
Así que diriamos que esta curva negra calculada es la sombra de esta curva roja,
es posible que no sea exactamente igual a la curva roja, pero se acerca
arbitrariamente a una órbita verdadera. Y el resultado que afirma que esto es verdad
se conoce como el lema de ensombrecimiento,
y un lema en matemáticas es un resultado que se utiliza como un paso intermedio
para probar o demostrar otro resultado más importante o central.
En cualquier caso , este es un resultado bastante conocido, se conoce como
lema de ensombrecimiento, y el fenómeno es el ensombrecimiento que ocurre cuando
una orbita calculada , a pesar de que es en cierto sentido incorrecta debido al efecto mariposa
y precisión finita, ensombrece o se acerca arbitrariamente
a alguna otra órbita verdadera,
El ensombrecimiento pienso, es un fenómeno extraño, y es algo divertido e interesante en que pensar,
déjame dar una analogía para ilustrar esta idea detras del ensombrecimiento,
Supongamos que me pides que dibuje el retrato de alguien, y cómo sabes
porque me has visto dibujar, no soy muy bueno para dibujar,
así que trato de hacer un retrato verdadero y preciso de quien sea que me hallas pedido
retratar,
pero cómo no soy muy bueno, cometo un pequeño error en los ojos,
y un pequeño error en la boca, y uno en la nariz, de hecho cometo pequeños errores
todo el tiempo, porque simplemente no soy muy bueno dibujando
Así que el resultado es que te enseño el retrato que he dibujado,
tu lo verías y me dirías: ésto no se parece nada a la persona que se suponia que
dibujarías,
y yo diría : oh lo siento , tienes razón
pero , en la perspectiva del lema de ensombrecimiento
sí, lo que he dibujado no es un retrato preciso de la persona que yo quería dibujar
o que tu querías que dibujara, sin embargo lo que he dibujado es un retrato preciso de alguien mas.
Asi que no he dibujado un buen retrato de tu amigo(a) del cual querías un retrato,
pero de las seis o siete billones de personas en el mundo
conseguí un retrato que se acerca mucho a estar correcto para alguien más.
Así que esta es la idea detras del lema de ensombrecimiento, le pides a la computadora
realizar no un retrato, sino la serie de tiempo de una condición inicial particular,
y la computadora comete pequeños errores debido a que sólo cuenta con precisión finita,
ciertamente es mejor en aritmética de lo que yo soy dibujando,
pero aun asi solo tiene precisión finita asi que te devuelve
no un retrato, sino una serie de tiempo, y esta serie de tiempo no es exactamente lo que querías,
no es la serie de tiempo verdadera y exacta para la condición inicial,
pero si es una serie de tiempo arbitrariamente cercana a verdadera para alguna otra condición inicial.
Así que talvez estarías algo decepcionado, sin embargo lo que la computadora
te ha arrojado si dice algo verdadero acerca del sistema dinámico que estas
estudiando,
es arbitrariamente cercano a uns órbita verdadera del sistema dinámico.
no puedo demostrar el lema de ensombrecimiento en este curso,
es un resultado bastante técnico y no contamos con la maquinaria matemática
para hacerlo,
pero permiteme comentar algunas cosas que talvez lo hagan parecer por lo menos un poco mas factible.
Imaginemos que el sistema dinámico que nos interesa no es una función iterativa determinística,
sino una moneda justa (no cargada), algo que es aleatorio y que
tiene un elemento de azar, de modo que cada vez que tiras la moneda hay
igual probabilidad de obtener cara o cruz,
y luego me preguntas:
¿cuál será el resultado en los siguientes cinco lanzamientos? , eso sería en cierto
sentido la órbita para este sistema,
y yo podría decir: bueno yo creo que será cara , cara , cruz , cruz , cruz
y luego se pone a funcionar el sistema y resulta que estaba equivocado,
ésto no es sorprendente, es dificil predecir procesos perfectamente
aleatorios de tiros de moneda justa,
bien, de cualquier forma dije cara, cara, cruz, cruz, cruz y estuve equivocado
pero entonces podría decir: muy bien, si, estoy equivocado, pero , no del todo
porque si espero lo suficiente seguro vas a observar cara, cara, cruz, cruz, cruz
debido a que todos los resultados de cruces y caras son igualmente probables,
así que sí, te dí un resultado erroneo para esta instancia particular, pero es verdad en el
sentido de que realmente verás cara, cara, cruz, cruz , cruz así que no estoy tan equivocado como crees.
Ésta no es una afirmación muy sorprendente o profunda acerca de un proceso aleatorio
cómo tirar monedas. Lo que es interesante es que el mismo tipo de argumento se mantiene para
este sistema determinístico: una función iterativa.
Así que me pides las siguientes cinco o las siguientes cincuenta órbitas
y yo hago el cálculo en una computadora te doy un resultado y este resulta erroneo
en comparación con la órbita verdadera, pero podría decir: perdón , es incorrecta
pero te garantizo que si esperas lo suficiente vas a observar esta órbita,
así que te estoy dando algo que es de hecho verdadero.
entonces en cierto sentido si un sistema es lo suficientemente aleatorio o entremezclado,
entonces errores cometidos al tratar de predecir el sistema, en este contexto,
pueden aun asi producir resultados que podrían haber sido producidos por el mismo sistema.
Y tal vez otra manera de pensarlo sea notando que lo que yo estoy llamando errores
no son errores en el sentido de que se me olviden las reglas de la aritmética
o que piense que 2+2=5, son muy pequeñas imprecisiones y es el efecto mariposa
lo que amplifica estas imprecisiones
Así que en efecto , tenemos estos pequeños errores, pero después la manifestación macroscópica de estos errores
es un resultado de la misma dinámica del sistema, así que en un sentido estos errores o imprecisiones,
no estoy seguro de que palabra utilizar, surgen de la dinámica del sistema,
no de una horrible equivocación o una fuente externa,
entonces talvez no sea soprendente que los errores o imprecisiones inducidos en el sistema
son sin embargo fieles al sistema en cierta forma.
Nuevamente ésto ciertamente no es una demostración del fenómeno de ensombrecimiento,
pero talvez estos comentarios ayudaron a que el ensombrecimiento parezca un poco mas factible,
y cómo talvez pudiste notar en el ultimo par de minutos, hay diferentes nociones de
aleatoriedad que podrían aparecer aqui, ¿un proceso es aleatorio si es el resultado
de un proceso aleatorio?,
¿puede un proceso determinístico arrojar un resultado aleatorio?,
así que hay algunas ideas que queremos desempacar aquí , y hay que pensar cuidadosamente en
a que nos referimos cuando decimos que algo es aleatorio.
Así que este será el tema, que es la aleatoriedad y cómo pensamos acerca de ella en los sistemas dinámicos,
en las siguientes clases.