إذاً لقد رأينا مثالين لتأثير الفراشة،
أو الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية.
المثال الأول كان المعادلة اللوجيستية مع r=4،
والمثال الثاني كان معادلات لورنز،
معادلة تقاضلية.
الآن دعوني أعرّف الاعتماد الحساس
على الشروط الإبتدائية (SDIC) بدقة أكثر قليلاً
ومن ثمّ سأكون في موضع
لأعرّف الشواش بدقة أكثر قليلاً.
الفكرة خلف الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية
هي ، نقول، النظام الديناميكي لديه
اعتماد حساس على الشروط الإبتدائية (SDIC)
إن كان يوجد اختلافات صغيرة جداً في الشروط الإبتدائية،
لدينا مدارين صغيرين اللذين يبدؤون
قريبيين جداً لبعضهما، بحيث بعد فترة قصيرة ، الاختلاف
بين هذه الشروط الإبتدائية يصبح كبيراً.
لقد رأينا أنّه ربما أكثر وضوحاً
للمعادلة اللوجيستية عندما ، حقيقة ، يرسمون
يرسمون بيانياً الاختلاف بين هذين المدارين.
هذا تعريف أكثر رسمية وأنا
لا أريد أن أغوص فيه كثيراً.
لكن من ناحيةٍ أخرى، بعضٌ منكم
ربما يود أن يرى هذه الشكلية.
ولعلّ مفهوم تأثير الفراشة
هو الشيء الرئيسي، أو أحد الأشياء الرئيسية،
وربما الفكرة الأكثر شعبية من الشواش.
لذلك إنّها تستحق مشاهدة ما
يبدو عليه التعريف الرسمي.
حسناً، ها هو التعريف الر سمي:
سأقول هذا ومن ثمّ أترجمه إلى شيءٍ ما
مفهوم أكثر قليلاً.
لدينا دالة f، أو بشكل عام
نظام ديناميكي، وندع x0 و y0 يكونوا
بذرتين محتملتين، شرطين إبتدائيين مختلفين.
سنقول بأنّ هذا النظام الديناميكي أو الدالة
لديه اعتماد حساس على الشروط الإبتدائية
اجتمعت الشروط الإبتدائية التالية.
هناك ضرورة بأن يكون رقمٌ ما دلتا
لأي شرط إبتدائي، x0، يوجد بعض
الشروط الإبتدائية الأخرى، y0، الذي هو ضمن إبسيلون لـ x0.
أنّه ليس بعيداً أكثر من إبسيلون واحد
عن الشرط الإبتدائي الأول هذا.
علاوةً على ذلك، الشرط الإبتدائي هذا y0 لديه خاصية
أنّه يوجد رقمٌ ما n
بعدما يكرر n مدار الـ y0
أكثر من دلتا عن مدار الـ x0 ، بكلماتٍ أخرى،
xn التكرار الـ nth لـ x ناقص yn
التكرار الـ nth لـ y هو أكبر من دلتا هذا الرقم.
حسناً، إذاً هذا نظري بالتأكيد
وأفضل طريقة لتوضيح هذا
هي تخيّل لعبة من المجموعات.
إذاً، إليكم كيف أتخيل التفكير
بهذه اللعبة. إذاً سوف
تعطيني لغز ويتاح لك أن تختار
التالي: يتاح لك أن تختار شرط إبتدائي x0.
دعونا نقول، فكر بالمعادلة اللوجيستية،
يجب أن يكون رقم بين 0 و 1.
تختار 0.7. ومن ثم يتاح لك أن تختار
عتبة خطأ ما، هذه دلتا، δ.
هذه مسألة دلتا الحالة الأدنى اليوناينة ، مجدداً هذا يجب أن يكون بين 0 و 1.
دعونا نقول أنك تختار 0.2. الشيء الأخير
الذي يتاح لك اختياره هو إبسيلون الخطأ الإبتدائي، ε,
وتختار 0.1. تقوم بهذه الاختيارات
لهذه الأعداد الثلاثة للمعادلة اللوجيتستية،
ومن ثمّ اللغز هو أنّي يجب أن آتي
بالتالي: المهمة لي هي هل أستطيع أن أجد y0
شرط إبتدائي آخر ما ويكون صمن 0.1
لـ 0.7 التي هي ضمن ε لـ x0 التي اخترتها.
y0 هذه التي وجدتها يجب أن تملك الخاصية التالية:
يوجد بعض n أعداد من التكرارات، عند ذلك التكرار،
التكرار الـ nth لـ xn هو بعيد أكثر من 0.2
عن التكرار الـnth لـ yn. إذاً اللغز بالنسبة لي هو،
أنّي أحتاج أن أجد y0 التي لديها هذه الخاصية.
هل أستطيع فعل هذا؟ أنا متأكد أنّي أستطيع. سأستخدم البرنامج
الذي استخدمناه سابقاً على الإنترنت لرؤية
إن كان بإمكاني إيجاد y0 التي تجتمع بها هذه المعايير.
حسناً، إذاً إني أبحث عن y0 التي هي ضمن 0.1 لـ 0.7.
كان يجب أن أذكر هذا بالنسبة للمعادلة اللوجيستية مع r=4.0
بما أننا ننظر إلى مسألة مشوشة غير دورية.
لـ x0 أختار 0.7، لقد أدخلت هذا،
لكن لقد اخترت هذا لي في هذه المهمة التي أعطيتني إياها.
أحتاج أن أختار شرط إبتدائي آخر
يكون قريب لـ0.7، كيف قريب، لا يمكن أن يكون بعيد أكثر من ε ،
الـ ε التي أعطيتني إياها هي 0.1، سأجرب 0.72، هذا يقابل المعايير.
سأصنع رسم السلسلة الزمنية البياني.
الآن يوجد لدينا هنا المدارين، بالأخضر والبنفسجي.
مدارات الـ x0=0.7 ومدار البذرة yo=0.72.
الآن أريد أن أرى إن كان بإمكاني إيجاد بعض n،
مثل تلك المدرارت عند تلك الـ n بعيدة أكثر من 0.2.
إذاً دعونا نرى، نستطيع أن نرى هنا مباشرةً بالزمن
الذي نصل به عند 5، الاختلاف بين الاثنان،
أو القيمة المطلقة للاختلاف بين الإثنين،
تبدو حوالي 0.6.
إذا نزلت مسافة أبعد ونظرت في جدول الأعداد
هنا على اليمين أستطيع أن أرى، بالفعل، ذلك نحو
التكرار الخامس الاختلاف بين، أو
القيمة المطلقة للاختلاف بين
المدراين أكبرمن الـ δ التي أعطيتني إياها، 0.2.
إذاً، نعم، أستطيع أن أجد y0 ضمن 0.1
للشرط الإبتدائي 0.7 مثل هذا بعد كمية
من تكرارات الاختلاف بين
المدارين أكبر من0.2.
إذاً الإجابة لهذا السؤال هي نعم!
وخاصةً وجدت أنّ y0 هي 0.72،
ومن ثمّ كررت y0 خاصتي، لقد بدؤا ضمن إبسيلون
لكلً منهما ومن ثمّ بعد 5 تكرارات
الاختلاف بين هذين الاثنين، القيمة المطلقة
هي حوالي 0.63، إن 0.63 هي الشيء الرئيسي حيث
|x5-y5| (القيمة المطلقة) أكبر من دلتا.
لقد قلت أنّه يجب أن أجعله أكبر من 0.2،
ليست مشكلة، في الواقع، لقد حصلت عليه أكبر بكثير من 0.2.
حسناً إذاً هذه مسألة معينة واحدة، خيار واحد معين لـ x0، δ ، وε.
إذاً إذا كانت دالة لديها اعتماد حساس على الشروط الإبتدائية
يجب أن أكون قادراً على إجابة هذا السؤال بنعم،
لأيّاً مان ما تختاره للأشياء الثلاثة هذه.
مجدداً، طالما لم تفعل شيئاً جنونياً
مثل اختيار دلتا أكبر من 1.
إذاً إن كنا نتحدث عن المعادلة اللوجيستية
كل شيء يجب أن يكون بين 0 و 1.
إذاً طالما أنّك تختار
أعداد معقولة وليست جنونية هنا، لأي اختيار
معقول للأعداد الثلاثة هذه، أستطيع
دائماً إجابة هذا السؤال بنعم.
إذاً ما يعنيه هذا أنّه أي شرط إبتدائي
تختاره، ويمكنك أن تختار
عتبة خطأ كبيرة جداً، 0.9، 0.99، إذا أردت
ويمكنك أن تختار ε صغيرة جداً، أستطيع حتى أن أرسم هذا.
إذاً، ها هنا الشرط الإبتدائي x0، ولقد اخترت هذا،
ومن ثمّ سوف يكون هناك بعض الأشياء الصغيرة x0 + ε ، x0 - ε،
في مكانٍ ما هنا أستطيع أن أجد شرط إبتدائي y0
مثل ذلك بعد كمية من التكرارات
هاتين النقطتين متباعدتين.
أي δ قد اخترت. إذاً إذا كانت الدالة
لديها اعتماد حساس على الشروط الإبتدائية
أي شرط إبتدائي قريب جداً للشرط الإبتدائي ذاك
هو شرط إبتدائي آخر والذي في النهاية يصبح بعيداً جداً.
إذاً هذا التعريف الرسمي
للاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية (SDIC).
ها هنا هذا اشيء الطويل والكثير الكلام. إنّه مسار شنيع من الجمل
لكن لم أعرف طريقة أخرى لكتابته.
هذا التعريف القياسي الذي أنا متأكد أنّه يمكن أن تجده
على وكيبيديا، أو أي نص كتابي إذا أردت.
إنّه عام جداً، نحتاج أن يكون لدينا
f تحتاج أن تكون دالة التي تنظم الفراغ لنفسها.
الفراغ يحتاج أن يكون فراغ موزون
لأنّنا بجب أن يكون لدينا فكرة عامة عن المسافة
لكن هذا هو المطلب الوحيد حقاً
لكي أكون قادر على إستخدام هذا التعريف.
لكي يطبق على الكثير
من الأنظمة الديناميكية وليس فقط التوابع التكرارية