ها هنا توضيح آخر لتأثير الفراشة
هذه المرة باستخدام المعادلات التفاضلية للتوابع التكرارية
إذاً سنعود للمثال من الوحدة السابقة
هذا المثال سيعد مثال لغير تأثير الفراشة.
قانون نيوتن للتبريد يصف درجة حرارة كأس من اشراب الشعير
أو كأس من أي شيء عندما تسخن لدرجة حرارة الغرفة.
هذه هي المعادلة، آمل أنّها أصبحت مألوفة الآن،
20 هي درجة حرارة الغرفة، T هي درجة الحرارة للشراب.
تذكير، هذه معادلة تفاضلية، أكثر من كونها تغيير بالخطوات أو الضغطات
درجة الحرارة تتغير باستمرار مع الزمن.
إذاً الحل لهذه المعادلة،
كل الحلول ستكون من طريقة أويلر، أو شيئاً ما مشابهاً على الحاسوب
الحل لهذه المعادلة هو (T(t،
درجة حرارة شراب الشعير كدالة الزمن.
كما رأينا، نبدأ بدرجة حرارة 5
رأينا أنّ شراب الشعير يسخن، يبدأ عند 5، يسخن
بسرعة في البداية، وتزداد بسرعة أقل وتقترب
لقيمة التوازن، والتي هي مستقرة أو جاذبة عند 20 درجة.
إذاً كما فعلنا بالمعادلة اللوجيستية
نستطيع أن نفكر بهذا بشكل مختلف قليلاً.
نستطيع أن نفكر بإستخدام المعادلة
للقيام بتنبؤات، إذاً إن كنت أعرف
درجة حرارة شراب الشعير الآن،
أستطيع أن أستخدم هذه المعادلة للقيام بتنبؤ
لدرجة حرارة شراب الشعير بوقتٍ لاحق.
وربما نكون مخطئين قليلاً في قياس درجة حرارتنا البدائية
لكن الفارق لن يهم كثيراً.
إذاً دعوني أريكم هذا.
ها هنا مثال خيالي، لدينا منحنيين،
أدعو أحدهما التنبؤ والآخر أدعوه الواقع.
لا يهم أن نفرق بينهم،
لكن الواقع هو المنحني في الأسفل.
ربما يجب أن ألون هذا بالأحمر.
هذه الشرائح متوفرة على الإنترنت
وهم بلونٍ لطيف هناك.
لقد كان لدي فقط طابعة بالأسود والأبيض، لهذا
تقنية التلوين ضعيفة.
إذاً الأحمر هو الواقع و الأسود التنبؤ وربما نقوم بخطأ،
ميزاننا لقباس الحرارة ليس جيداً جداً،
ربما بالغنا بطريقةٍ ما. نعتقد أنّ
درجة الحرارة البدائية هي 2 بدلاً من 5،
حسناً هذه ليست مشكلة كبيرة.
الاختلاف بدرجة الحرارة بين التنبؤ والواقع
يبدأ ليس كبيراً جداً ومن ثم يصغر فعلاً،
ونعرف أنّه حتى لو قست درجة الحرارة
نعرف أنّها ستنتهي عند 20 درجة.
إن احتجت أن أكون دقيقاً أكثر، قل احتجت
أن أعرف متى تصل درجة الحرارة لـ 15 لسببٍ ما،
حسناً، أستطيع أن أقيس بدقة أكثر.
وربما سأحتاج أن أعدّل
المعادلة التفاضلية قليلاً
لنأخذ بالحسبان، لا أعرف،
أنّه ربما الماء حول شراب الشعير يتكثّف عندما
يبدأ يسخن وهذا يغيّر معدل التبريد.
إذاً قد أحتاج أن أعدّل المعادلة قليلاً،
ربما أحتاج أن أكون أكثر دقة في شروطي الإبتدائية،
لكنني أقترب أكثر فأكثر للواقع.
أكثر وأكثر لجبر لابلاس،
إذاً هذا عالأقل عندما يسخن شراب الشعير،
المستقبل قد يكون كالحاضر. نستطيع أن نتنبأ المستقبل بمعرفة الحاضر.
حسناً هذه هي المناورة العلمية المعتادة
نأتي بمعادلة،
نقوم ببعض القياسات،
نستطيع أن نقوم بتنبؤات،
التنبؤات ليست مثالية لكنها جيدة.
نجعل التنبؤات أفضل من خلال ضبط معادلاتنا،
والقياس بدقة أكثر.
حسناً، أذاً دعونا نقوم بمثال آخر وهذا مثال مشهور
من تاريخ الأنظمة الديناميكية
والشواش ويدعى معادلات لورنز.
هذه أيضاً معادلات تفاضلية
هذه المرة ثلاث معادلات بقيمة واحدة،
معادلة لـ x، معادلة لـ y، ومعادلة لـ z.
x، y، وz كلهم يعتمدون على بعضهم البعض.
إذاً مقدار التغيير لـ z يعتمد على x ، y، و z.
مقدار التغيير لـ x يعتمد على y و x.
الآن رياضياً هؤلاء مختلفين قليلاً
عن المعادلات التفاضلية التي درسناها بالوحدة الماضية
وسأتحدث المزيد عن تلك المعادلات في الوحدات اللاحقة
عندما نتحذ عن الجاذبات الغريبة.
لكن للآن يمكننا أن نفكر بهؤلاء كونهم
كنسخة ثلاثية الأبعاد أو مضاعفة ثلاث مرات للمعادلات التفاضلية التي كنا ندرسها لحد الآن.
مصدر هذه المعادلات، والتي لن أدخل فيها،
لكن كملاحظة تاريخية، لقد تم الترويج لهم من فبل ED Lorenz في سنوات الـ1960، عالم الأرصاد الجوية MIT،
كنموذج بسيط جداً جداً للحمل الحراري في الغلاف الجوي.
ليس نموذج واقعي حقّاً،
تماماً كالمعادلة اللوجيستية ليست نموذج واقعي حقاً لتطور الكثافة السكانية
لكن نموذج بسيط جداً مصمم ليلتقط بعض معالم الحمل الحراري.
كما سابفاً نستطيع أن نحل هذه المعادلات، هنا،
سيجب أن نستخدم حاسوب للقيام بها باستخدام طريقة أويلر
أو شيئاً ما أبرع قليلاً وعندما أفعل هذا
لهذه المعادلة، أحصل على الدوال الثلاث التالية.
إذاً هذه معادلة لثلاث دوال: x، y، وz.
كل دالة منهم هي دالة ملساء، مستمرة للزمن.
هذا هو الزمن على هذا المحور ومن ثمّ x، y، وz.
السلوك غير دوري. تماماً كسلوك
المعادلة اللوجيستية عندما r = 4 هو غير دوري.
لذلك هناك نوعاً من الانتظام فيها لكن
إذا نظرت بحذر سترى أنّ هذه الذبذبات لا تتكرر جداً.
تذبذب x و y متشابه،
z يعل شيئاً ما مختلف قليلاً ويبدو
أحداً ما خربش، غضب جداً وخربش هكذا بالقلم.
هناك بالتأكيد سلوك دوري لكنه ليس دقيق.
إذاً هذه هي الحلول، إنهم غير دوريين.
مجدداً، سنتجث المزيد عن هذا في الوحدات اللاحقة.
النقطة الرئيسية الآن هي تناول صورة مختلفة
لتمشي مع قصتنا لتأثير الفراشة.
إذاً دعونا نفعل نفس الشيء الذي فعلناه سابقاً
مع قانون نيوتن للتبريد. دعونا نفكر
باستخدام معادلات لورنز لنقوم بالتنبؤات. للبساطة
سأركّز فقط على حل x، إذاً سننظر فقط إلى هذا المنحني، وليس منحني y و z.
ها هنا صورة التي تُظهر كيف يمكننا أن نستخدم
معادلات لورنز للتفكير بالقيام بالتنبؤات
لقد رسمت بيانياً هنا حل، فقط واحد من الحلول،
x، وليس y و z
لشرطين إبتدائيين مختلفين قليلاً، 15.1 و 15.0، وفي الواقع هذا يجب أن يكون ناقص هنا،
يوجد خطأ مطبعي في هذه الريحة والشرائح القليلة التالية،
لكن التفاصيل لا تهم.
إذاً، التنبؤ سيكون المنحني الأزرق
وسأرسم الواقع بهذا الأحمر، البنفسجي، الكستنائي.
النسخ على الإنترنت لديها ألوان لطيفة، لكن مجدداً
لم أملك طابعة ملونة اليوم.
المنحنيين، الواقع والتنبؤ، على قمة بعضهم البعض.
لا يوجد هناك اختلاف كبير بين هذه
والمنحنيين تتطابق عند حوال t=5.
عند t=5، المنحنيان الأحمر والأزرق يدوران بعيداً.
المنحني الأحمر الواقع ينحرف من التنبؤ هنا مباشرةً
ويصنع منعطف حاد ومن ثمّ المنحنيان يستمران وإنهم غير مترابطين أكثر أو أقل.
إنّهم يتذبذبان، كلٌ منهما يفعل شيئه الخاص
ويبدوان غير مرتبطين ببعضهم كلياً.
الاختلافات الصغيرة في الشروط الإبتدائية تصنع
اختلاف كبير جداً بعد 5 دقائق أو أياً كانت هذه الوحدات.
افترض أننا قمنا بقياسات أفضل.
نموذجنا صحيح، الواقع والنموذج كلاهما
يقومان بمعادلات لورنز، باتباع تلك القاعدة، لكن المشكلة
هي أنّ شرطنا الإبتدائي خاطئ. إنّه 15.1 عندما
الواقع 15.0. إذاً دعونا نجرب شرط إبتدائي أفضل.
إذاً سنذهب من 15.1 إلى 15.0001 والواقع لا يزال 15.0.
الآن المنحنيات الأزرق والكستنائي، أو الأحمر
فوق بعضهم البعض حتى حوالي 11.
إذاً الواقع والتنبؤ يطابقان بعضهما على نحوٍ لا يمكن تمييزه
لـ 11 دقيقة أو 11 خطوة زمنية، ومن ثم مجدداً الواقع يأخذ
منعطف حاد بعيداً عن التنبؤ ومن ثمّ لبقية المسار
لدينا سلوكيات مختلفة جداً للمنحنيين.
لذلك تنبؤنا جيد لفترة ومن ثمّ يصبح
عديم الجدوى جوهرياً، بالأحرى فجأةً عند t=11.
ومع ذلك، كنا قدرين على أن نتوقع أبعد،
إذاً لقد حسّنا قياسنا، ونستطيع أن نتوقع الآن لـ t=11، سابقاً كانت فقط t=5.
إذاً دعونا نجرب قياس جيد جداً جداً.
إفترض أننا نستخدم هذا 15.00000001
في حين أنّ في الواقع إنّها 15.0. إذاً هذا
قريب بشكلٍ مذهل للقيمة الحقيقية ومؤكدة كفاية،
الواقع والتنبؤ، الأزرق لا يزال التنبؤ،
الأحمر لا يزال الواقع، يسيران معاً بجانب بعضهما للآن، نستطيع أن نذهب حتى 18 تقريباً،
مجدداً كما سابقاً، الواقع، المنحني الأحمر ينحرف
من المنحني الأزرق ومن ثمّ يصبح مختلفاً جداً بعد هذا.
إذاً لدينا قياس جيد جداً
ونستطيع أن نمدد توقعنا لـ 18،
لكن بعد 18 توقعنا يصبح عديم الجدوى أكثر أو أقل.
أريد أن أتوقف لثانية و
أفكر بأحجام هذه الأرقام.
هذا لايزال يساعد على توضيح فقط ماذا يحدث مع تأثير الفراشة.
إذاً دعونا نقول x كانت تقيس الطول.
أيّاً كان الشيء الذي تقيسه x نفس القصة ستستمر
لكن ستكون أكثر واقعية إن كنا نتحدث عن الطول.
إذاً 15 متر، هذا طويل جداً،
هذا طويل بطول بناء بـ 5 طوابق.
لكن ماذا عن 0.00000001?
هذا حوال 10 نانو متر، 10 x 10-9m.
هذا صغير حقّاً، هذا أصغر حوالي 1,000 مرة
من خلية دم حمراء واحدة،
أكبر 10 مرات جزيء الجلوكوز وحيد.
إذاً هذا يقول إن كان لدينا شيئاً ما 15 متر
15 متر + 10 خلايا جلوكوز أنّ السلوك
سيكون مختلف كلياً بعد فقط 18 خطوة زمنية.
إذاً من ناحية هذا نظام حتمي،
تماماً كالمعادلات التفاضلية التي درسناها في الوحدة الماضية،
لكن هذا يعتمد كثيراً على الشرط الإبتدائي
حيث أنّ الحتمية تصبح تقريباً بدون معنى.
سأقول هذا كشأنٍ عملي،
الاختلاف بين 15.0 و 15.00000001 ليست فقط
بسبب عدم امتلاك أدوات قياس جيدة،
إنّه من الصعب التفكير بهذا مادياً، ما هو الاختلاف،
كيف تفكر بشكل مختلف حول ما قد تعنيه هذه الأرقام.
في حس مادي أو عملي هذه يجب أن تعني نفس الشيء.
بناء من خمسة طوابق يتمدد أو يتقلص
أكثر بكثير جداً من هذا كل دقيقة أو كل يوم بدون شك.
كل أنواع المقادير تتذبذب طبيعياً،
إاذً إن كان المستقبل يعتمد هذا القدر على الشرط الإبتدائي
ربما إنّه نوع آخر من الحتمية عما تخيله لابلاس .
لتلخيص هذا القسم من المحاضرة،
هذا مثال لتأثير الفراشة.
خطأ صغير جداً جداً في الشرط
الإبتدائي يزداد بسرعة كبيرة جداً ، إذاً هذا يعني
أنّ التنبؤ طويل المدى مستحيل.
تأثير الفراشة سيفوز في النهاية.
كل الأخطاء الصغيرة مضخّمة ستزداد.
ما لدينا الآن هو حتمي، مثال: نظام يستند إلى قواعد،
الذي يتصرف بشكل غير متوقع.
حالما يتجاوز منطقة إمكانية التنبؤ،
حتى لو كان لدينا نظام حتمي،
يتصرف كما لو أنّه لا يمكن التنبؤ به.
إدراك أين تأتي عدم إمكانية التنبؤ تلك؟
حسناً، هذا ربما مبسط قليلاً،
لكن إمكانية التنبؤ للقاعدة،
القاعدة بالإدراك هي حتمية جداً،
يعتمد كثيراً على الشرط الإبتدائي
الذي يتطلب دقة مستحيلة،
تقريباً دقة بدون معنى بالشرط الإبتدائي
لكي يكون قابل للقيام بتنبؤ
إمكانية التنبؤ أو الحتمية أو
الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية هي التي تسبب
عدم إمكانية التنبؤ في الأنظمة كهذه التي تُظهر تأثير الفراشة.