In de quiz uit het vorige onderdeel moet je nogal iets vreemds
hebben gevonden wanneer r gelijk is aan 4.
De banen vestigen zich niet in een periodieke cyclus,
ze doen iets anders, ze blijven zich onvoorspelbaar gedragen.
En wat meer, er is geen enkele sprake van een periodiek.
Zoals je vast al geraden had: Dit is chaos.
Wij hebben ons eerste voorbeeld gezien van een
chaotisch, dynamisch systeem.
Dus we hebben veel om over te praten in de
volgende lessen.
Dan zal ik het begrip 'chaos' uitleggen,
en tevens wat
'gevoeligheid voor initiële omstandigheden',
ook wel bekend als het vlindereffect, behelst.
We gaan eerst in meer detail kijken naar de
banen van de logistieke vergelijking
wanneer r gelijk is aan 4.
Laten wij nu naar banen kijken voor de
logistieke vergelijking wanneer r gelijk is 4.0.
Dus dit zal ik veranderen in 4.0
en laten wij dan nu de
tijdsreeks plotten.
En hier is wat wij dan zien.
We zien dat de banen op- en neer dansen,
dichtbij de apocalyps ofwel de
vernietigingspopulatie komen,
instorten en weer groeien.
en opnieuw op- en neer springen.
`En het ziet er naar uit dat er hier nog een instorting was,
maar het allerbelangrijkste om op te merken is, dat
wij geen periodieke gedrag meer waarnemen.
Er zijn wel wat aanwijzingen daarvan,
er is wel sprake van enige regelmaat,
dit patroon van instorten en groeien
herhaalt zich een beetje
maar het herhaalt zich nooit helemaal precies.
Laten wij dit eens bekijken voor een groter aantal iteraties.
Hier zien wij het weer.
Het blijft op- en neer springen,
het ziet eruit alsof het bijna blijft haken bij
een waarde van .75.
Maar ook weer niet helemaal.
Daarna zien wij weer die ballen, waarna wij dichtbij
de apocalyps waarde komen
en wij kunnen onderin de tabel kijken, naar de getallen,
en wellicht kun je dat doen wanneer je de quiz doet,
je zoekt naar getallen die zich herhalen,
maar je zult steeds nieuwe getallen vinden,
het blijft ronddraaien.
Laten we nog iets anders doen.
Laten wij eens proberen om 1000 iteraties te plotten.
Dit zal er uit gaan zien als èèn grote paarse vlek.
Hier is het al.
Het is belangrijkste om hierbij op te merken,
is dat wij geen enkel periodiek of
regelmatig gedrag zien ontstaan.
Wanneer wij, zeg maar, terug gaan naar een getal van 3.2,
of 3.1, dat was een voorbeeld die wij eerder
hebben bestudeerd, dat was een periodieke waarde,
en wanneer wij nu naar de
tijdreeks daarvan kijken,
zien wij wel enige regelmaat,
het is beetje lastig om te zien,
maar het springt op- en neer tussen deze twee waarden.
Maar, wanneer ik naar 4 ga, blijft het maar
op- en neer springen.
Ik denk dat dit wel tot 10000 kan gaan, toch?
Ja, het heeft even een momentje nodig om te denken,
het rekent, het plot, het denkt nog steeds
het denkt nog steeds,
Ik ben hier echt mijn computer mee aan het stressen,
dat vind ik wel sneu,
Nu raakt het weer gestrest.
Goed, daar is het dan!
Dat was lang wachten op een
grote, paarse rechthoek!
Dit is dan 10000 iteraties voor de logistieke functie.
Het blijft op-en neer springen.
Laten wij eens helemaal
naar beneden scrollen,
onderaan het scherm,
en daar is het,
de getallen hebben nog steeds niet iets van een cyclus bereikt.
We blijven elke keer maar nieuwe getallen vinden.
Dus we kunnen zeggen dat dit gedrag, in plaats van regelmatig,
juist onregelmatig is,
de banen herhalen zichzelf niet.
Laten wij nu het gedrag van de logistieke functie,
voor r is gelijk aan 4.0 eens samenvatten
zoals wij ook eerder al hebben gedaan voor andere waarden van r.
Het verschil voor deze waarde van r is, is dat wij nu zien
dat de baan aperiodisch is,
het bevat geen periodiek,
de baan herhaalt zichzelf niet.
Het danst wat onregelmatig op- en neer.
Dan nu een puzzel.
Hoe teken ik dit op een
eind toestand diagram?
Hier is de interval van de waarden.
De populatie is altijd tussen 0 en 1.
En 1 is dan de apocalyps waarde, oftewel
de vernietigingspopulatie.
En 0 is gewoon 0.
Wat zijn de eindtoestanden hiervoor?
Nou, bij 10000 iteraties en dan nogmaals
voor nog eens 10000 gaan kijken,
zien we dat de populatie,
en dat kun je zien aan de punt op deze lijn,
op- en neer blijft springen.
Een andere manier om hier naar te kijken is,
itereer voor 10000
en zet dan voor de volgende 10000 een camera neer
voor een foto met een lange sluitertijd,
terwijl de stip op- en neer blijft springen,
en dan zullen wij zien dat de stippen deze lijn op zullen gaan vullen,
net zoals in het vorige plaatje
met die paarse stippen die de rechthoek opvulden.
Dus ziet het er ongeveer zo uit.
Er zullen hier dus zoveel stippen zijn,
dat zij de gehele lijn op zullen vullen.
Het zal er dus uit zien als een
ononderbroken lijn aan stippen.
Dus de eindtoestand is niet 2 of 4 stippen,
vanwege een periodiek.
De eindtoestand is deze hele lijn,
omdat het aperiodisch is
en de baan ronddwaalt tussen waarden dichtbij 0 of dichtbij 1.
Dan is er nog een ding dat ik op wil merken,
voordat ik bedwelm door de dampen van deze markeerstift.
En dat gaat over mijn claim dat de baan aperiodisch is.
Dit is een wiskundig zeer beproefd resultaat
voor de logistieke functie wanneer r gelijk is aan 4.
Om dit doen gaat voor deze cursus veel te ver,
het vereist een behoorlijke hoeveelheid wiskunde.
Het betreft een standaard onderdeel
van de meeste junior cursussen rond chaos en
dynamische systemen.
Dus, sorry, ik kan het hier dus niet bewijzen.
Maar het is belangrijk om even te noemen, zodat men weet
dat deze claim echt grondig geworteld is.
Het is niet zomaar een computer uitkomst
of een experimenteel resultaat,
het is iets wat men in beginsel kan bewijzen
en kan afleiden.
Deze baan is echt aperiodisch,
er is een oneindig aantal waarden tussen 0 en 1.
Een ontelbaar, oneindig aantal waarden om precies te zijn.
En wanneer je dit voor altijd zou itereren,
dan zul je nooit hetzelfde getal een tweede keer aantreffen.
We blijven nieuwe getallen zien, terwijl de baan
heen- en weer blijft bewegen.
Ik denk dat aperiodisch gedrag in de logistieke functie
een ietwat verrassend en interessant resultaat is.
We maken de baan door een functie te itereren,
door telkens weer hetzelfde te doen.
Het is een erg repeterend proces.
Maar het resultaat is geheel niet repetitief.
Het is een baan die aperiodisch is,
het herhaalt zich nooit.
Ik vind het erg interessant dat dit ordelijke,
onveranderlijke proces,
dergelijk onregelmatig gedrag produceert.
En wat nog meer, we zullen zien dat de banen
die de logistieke functie produceert,
in zekere zin onvoorspelbaar zijn,
ze hebben het vlindereffect, oftewel
'gevoelige afhankelijkheid van initiële omstandigheden'.
En we kunnen zelfs in zekere zin zeggen, dat de banen die door
deze eenvoudige deterministische functie geproduceerd worden
willekeurig zijn.
Dus laten wij eens graven in deze ideeen door te kijken
naar hoe twee verschillende banen van de logistieke functie
zich gedragen.
Dat gaan wij doen in de volgende les.