Nel quiz della precedente sezione, dovremmo aver notato qualcosa di strano quando r è uguale a 4.
Le orbite non si stabilizzano su un ciclo periodico, ma fanno qualcosa di diverso.
Continuano a comportarsi in maniera irregolare e, nei fatti, non c'è alcuna periodicità.
Come avrete probabilmente indovinato, questo è il caos.
Avete sperimentato il nostro primo esempio di sistema dinamico caotico.
Perciò, avremo molto di cui parlare nelle prossime lezioni.
Definirò cosa siano caos e dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali,
meglio conosciuta come effetto farfalla.
Possiamo iniziare analizzando più attentamente le orbite dell'equazione logistica quando r è uguale a 4.
Perciò, diamo un'occhiata alle orbite dell'equazione logistica quando r = 4.0
Porto questo a 4.0 e produco il grafico della serie temporale.
Ed ecco ciò che vediamo.
Possiamo notare che le orbite rimbalzano su e giù, arrivano molto vicine all'apocalisse, o valore di annullamento della popolazione.
Qui si schianta, poi cresce gradualmente e infine rimbalza nuovamente.
E sembra che qui ci sia un altro schianto.
L'aspetto più importante è che non notiamo alcun comportamento periodico.
Possiamo intuire alcune regolarità,
Uno schema in cui si ripete questo schianto, poi torna a crescere un po',
ma non si replica mai esattamente.
Vediamolo su un numero maggiore di iterazioni.
Qui, vedete di nuovo, continua a saltare,
sembra quasi che debba restare bloccato qui, attorno allo 0.75, ma non esattamente,
e poi, di nuovo, vediamo queste drastiche cadute quando si avvicina al valore di apocalisse,
e possiamo dare un'occhiata alla tavola dei valori, provate a guardare i numeri,
probabilmente, quando avete svolto i quiz, avete cercato numeri che si ripetevano,
ma continuerete a vedere numeri nuovi, e questo continua ciclicamente.
Facciamo un'altra cosa, proviamo a tracciare mille iterazioni.
Questo assomiglierà a una grande massa viola.
Eccolo.
E, mi sembra, la cosa pricipale da notare è che non vediamo emergere
alcun tipo di comportamento periodico o regolare.
Se, ad esempio, torniamo a 3.2 o 3.1, che è uno degli esempi che abbiamo studiato, quello era un valore periodico.
Se guardate il grafico della serie storica, potete vedere alcune regolarità.
E' un po' difficile da notare, ma rimbalza avanti e indietro entro questi due valori.
Mentre, se vado a 4, continua a rimbalzare intorno.
Credo che il programma possa arrivare a 10 mila. Ci mette un po' a pensare.
Sta calcolando e producendo il grafico.
...Continua a pensare...
Sto davvero stressando il mio computer con questa operazione, mi sento in colpa.
Ecco, ora si sta stressando di nuovo...
Ok, eccolo qui. Un tempo decisamente troppo lungo per un grosso rettangolo viola.
Comunque, queste sono 10 mila iterazioni dell'equazione logistica, continua a rimbalzare su e giù.
Fatemi andare direttamente al fondo della schermata.
Ecco. I numeri continuano a non presentare alcun tipo di ciclicità.
Continuiamo a vedere nuovi numeri.
Perciò possiamo dire che questo tipo di comportamento, anziché essere periodico, sia aperiodico.
L'orbita non si ripete.
Perciò, riassumiamo il comportamento dell'equazione logistica per r = 4.0
così come abbiamo fatto per altri valori di r.
La differenza è che, per questo valore di r, l'orbita è aperiodica. Non possiede alcun periodo.
L'orbita non si ripete, prosegue in modo irregolare.
Perciò, ecco un rompicapo: come possiamo rappresentare tutto ciò su un diagramma di stato finale?
Perciò, ecco l'unità, la popolazione è sempre compresa tra 0 e 1, ricordate che 1 corrisponde all'apocalisse
o popolazione di annullamento, mentre 0 è zero.
Perciò, quali sono gli stati finali?
Bè, se iteriamo per, diciamo, 10 mila volte e poi ancora altre 10 mila,
continueremo a vedere la popolazione, che potete immaginare come un punto su questa linea, rimbalzare intorno.
Perciò, un altro modo di vedere la questione è: iterate 10 mila volte,
e poi puntate una macchina fotografica per fare una foto a lunga esposizione mentre il punto si muove intorno.
Vedremmo i punti riempire man mano la linea,
così come nella precedente immagine, i punti viola hanno riempito il rettangolo.
Perciò, ci apparirà come qualcosa del genere.
Ci saranno così tanti punti da riempire l'intero segmento, cosicché sembrerà un'unica spessa linea fatta di punti.
Perciò, lo stato finale non è composto solo da 2 o 4 punti, come nel caso periodico, ma è l'intera linea, perché è aperiodico
e l'orbita vaga tra valori molti vicini allo 0 fino a quasi 1.
Perciò, ecco un'ultima cosa da menzionare,
prima che io sia sopraffatto dai fumi di questo pennarello.
Cioè qualcosa riguardo questa mia affermazione che l'orbita sia aperiodica.
Questo è un risultato matematico, rigorosamente dimostrato per l'equazione logistica con r = 0.
La dimostrazione va un po' oltre lo scopo di questo corso e richiede un bel po' di conoscenze matematiche,
è una parte piuttosto standard della maggior parte dei corsi di sistemi dinamici e caos,
quindi mi dispiace di non poter fare la dimostrazione in questa sede,
ma è importante da citare affinché sappiate che questa affermazione è stata rigorosamente dimostrata,
non è solo un risultato sperimentale o calcolato dal computer.
E' qualcosa che possiamo dimostrare o dedurre da principi primi.
Perciò, quest'orbita è davvero aperiodica. C'è una quantità infinita di numeri tra 0 e 1,
in realtà, una quantità infinita e non numerabile.
E se continuate a iterare per sempre, non vedrete mai lo stesso numero due volte.
Continuerete a vedere sempre nuovi numeri mentre l'orbita si muove intorno.
Credo che il comportamento aperiodico dell'equazione logistica sia un risultato sorprendente e interessante.
Noi generiamo le orbite iterando una funzione. Continuiamo a fare la stessa cosa ancora e ancora.
E' un processo molto ripetitivo.
Ma il risultato non è affatto ripetitivo: è un'orbita aperiodica, che non ripete mai se stessa.
Perciò, è interessante che questo processo così ordinato e immutabile produca un comportamento che appare così irregolare.
Inoltre, vedremo che le orbite prodotte dall'equazione logistica sono in un certo senso non prevedibili.
Presentano il carattere dell'effetto farfalla, o dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
E, in un certo senso, potremmo quasi affermare che le orbite prodotte da questa semplice funzione deterministica siano casuali.
Perciò, iniziamo a scavare in queste idee dando un'occhiata a come si comportano due diverse orbite dell'equazione logistica.
Faremo ciò nella prossima lezione.