En el cuestionario de la sección previa encontramos algo raro cuando r = 4
Las órbitas no se acomodaban en un ciclo periódico, sino que hacían algo distinto.
Continuaban comportándose irregularmente y, de hecho, no había período en ningún sentido.
Como probablemente pudiste adivinar, esto es caos.
Entonces, has visto nuestro primer ejemplo de un sistema dinámico caótico.
Luego, tendremos muchos para hablar de ellos en las siguientes clases.
Estaré en posición de definir, qué es el caos, y también qué es la dependencia sensible en las condiciones iniciales (SDIC)
también conocidas como el 'efecto mariposa'.
Empezaremos observando más de cerca a las órbitas de la ecuación logística cuando r = 4
Entonces, miremos las órbitas para la ecuación logística cuando r = 4,0
Cambiaré esto a 4,0 y grafiquemos la serie temporal.
y esto es lo que vemos;
podemos ver que la órbita se mueve de un lado a otro, se acerca mucho al apocalipsis, o a la cantidad de aniquilación
aquí cae, luego crece y salta nuevamente
esto parece otra caída aquí
Pero la clave aquí, es notar que no estamos observando ningún comportamiento periódico,
podemos observar que existen algunas regularidades
hay un patrón que repite esta caída, un patrón de crecimiento que se repite un poco,
pero nunca se repiten de forma exacta.
Observemos qué pasa aquí con una mayor cantidad de iteraciones
aquí lo podemos ver nuevamente, continúa moviéndose de un lado a otro,
pareciera que se repitiera aquí, alrededor de 0,75, pero no exactamente,
luego, nuevamente, podemos ver esas caídas grandes cuando se acerca al valor de apocalipsis
y podemos también ver aquí abajo en esta tabla, y posiblemente pueden buscar los números,
quizás cuando hicieron el cuestionario buscaron números que se repetían
pero aquí seguirán viendo nuevos números, sigue ciclando de un lado a otro.
Hagamos una cosa más, intentemos graficar mil iteraciones.
Esto se parecerá a una gran burbuja púrpura.
Aquí está.
Y, supongo, la principal cosa que podemos saber es que no estamos viendo
que ningún tipo de comportamiento periódico o regular emerge.
Si, digamos, regreso a 3,2 o 3,1, uno de los ejemplos que estudiamos, conseguiremos un valor periódico,
miran el gráfico y pueden observar cierta regularidad.
Es algo difícil de ver, pero se está moviendo hacia arriba y hacia abajo entre estos dos valores.
mientras que si voy nuevamente a 4, vemos nuevamente el anterior comportamiento.
Pienso que puedo ir hasta 10 mil... tomará un segundo para que piense
está calculando, graficando
Sigue, pensando, pensando
Realmente estoy estresando mi computadora haciendo esto, me siento mal
se sigue estresando
Ok, aquí esta. Fue un tiempo largo de espera para conseguir un gran rectángulo púrpura.
Entonces, esto son 10 mil iteraciones de la ecuación logística, se sigue moviendo de un lado a otro
bajemos hasta el final de la página
aquí está. Los números siguen sin tener ninguna clase de ciclo
y seguimos viendo números nuevos todo el tiempo
Entonces, podemos decir que este comportamiento, más que ser periódico es aperiódico:
La órbita, no se repite.
Entonces, resumamos el comportamiento de la ecuación logística cuando r = 4,0
como lo hicimos para otros valores de r.
La diferencia es que, para este valor de r, encontramos que la órbita es aperiódica. No posee un período.
La órbita, no se repite, sigue ciclando y ciclando de forma irregular.
Entonces, tengo un problema: ¿Cómo puedo representar esto, en un diagrama de estado final?
Entonces, aquí tenemos la unidad (--), la población está siempre entre 0 y 1, recuerden que 1 es el apocalipsis
o la población de aniquilamiento, y 0 es 0.
Entonces, ¡cuáles son los estados finales para esto?
Bueno, digamos que lo iteramos 10.000 veces y luego lo miramos otras 10.000.
seguiremos viendo que la población, que podemos pensar como un punto en esta línea, se mueve de un lado para otro.
Otra forma de pensar en esto es que, iterando para 10.000
y luego ponemos un siguiente 10.000 y sacamos una foto con mucho tiempo de exposición a medida que los puntos se van acomodando alrededor
y podríamos ver que los puntos llenarían esta línea,
justo de la misma forma que los puntos púrpuras llenaron el rectángulo.
Entonces, se parecerá a algo como esto:
Habrán de esta manera muchos puntos aquí que llenarán la línea completamente de forma que parecerá una línea sólida.
de esos puntos. Entonces, los estados finales no son solo 2, o 4 puntos porque eso es periódico, los estados finales
serían esta línea completa, debido a que es aperiódico y las órbitas vagan desde
muy cerca de cero hasta casi uno. Hay algo más que debemos decir antes que
sea vencido por los vapores de este marcador. Pondré la tapa nuevamente.
Y eso es, un poco más acerca de lo que les digo que la órbita es aperiódica.
Este, es un resultado de las matemáticas que está probado de forma exacta y rigorosamente para la ecuación logística cuando r = 4,0
hacerlo está más allá del objetivo de este curso y requiere algo de matemáticas
es algo estándar para la mayoría de los cursos nivel junior acerca de caos, o sistemas dinámicos
Lo siento, pero no puedo hacer esta prueba aquí, pero es importante mencionar y entender
que esto que decimos está rigurosamente establecido.
No es simplemente un resultado de computadora o uno experimental.
Es algo que uno puede probar, o deducir desde principios primeros.
Entonces, esta órbita es realmente aperiódica. Hay una cantidad infinita de números entre
0 y 1, un número incontablemente infinito de hecho.
Y, si decidieran iterar esto eternamente, jamás verían el mismo número dos veces.
Seguirían viendo nuevos números a medida que la órbita sigue su camino.
Pienso que el comportamiento aperiódico en la ecuación logística es de cierta forma un resultado sorprendente e interesante.
Hacemos las órbitas mediante la iteración de una función. Estamos haciendo lo mismo, una y otra vez.
Es un proceso bastante repetitivo
Pero el resultado no es repetitivo de ninguna manera: es una órbita que es aperiódica, que nunca se repite.
Entonces, esto es interesante para mí, que este proceso muy ordenado, que no cambia, produce un comportamiento que
parece tan irregular. Aun más, veríamos que las órbitas producidas por la ecuación logística son
en cierta forma, impredecibles. Poseen el efecto mariposa, o la dependencia sensible sobre las condiciones inciales.
Y, en cierto sentido, podemos aun decir que las órbitas producidas por esta simple función determinista poseen aleatoreidad.
Entonces, comencemos a adentrarnos en estas ideas observando cómo se comportan dos órbitas distintas para la ecuación logística.
Haremos esto, en la siguiente clase.