Στο quiz από το προηγούμενο μέρος, θα πρέπει να έχουμε δει κάτι περίεργο όταν το r είναι ίσο με 4.
Οι τροχιές δεν κατασταλάζουν σε εναν περιοδικό κύκλο, κάνουν κάτι διαφορετικό.
Συνεχίζουν να συμπεριφέρονται ακανόνιστα, και συγκεκριμένα δεν υπάρχει καμία περίοδος.
Όπως θα έχετε μαντέψει, αυτό είναι το χάος.
Είδαμε το πρώτο παράδειγμα ενός χαοτικού δυναμικού συστήματος.
Οπότε έχουμε πολλά να πούμε στις επόμενες διαλέξεις.
Θα μπορέσω να ορίσω τι είναι το χάος και η ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες,
επίσης γνωστή ως το φαινόμενο της πεταλούδας.
Θα ξεκινήσουμε εξετάζοντας πιο προσεκτικά τις τροχιές της λογιστικής εξίσωσης όταν το r ισούται με 4.
Ας κοιτάξουμε τις τροχιές της λογιστικής εξίσωσης όταν το r ισούται με 4.0.
Θα αλλάξω αυτό σε 4.0, και ας κάνουμε το σχεδιάγραμμα της χρονοσειράς.
και εδώ είναι αυτό που βλέπουμε.
Βλέπουμε ότι η τροχιά αναπηδά γύρω γύρω, φτάνει πολύ κοντά στον πληθυσμό της αποκάλυψης, ή εκμηδένισης,
εδώ συντρίβεται, μετά μεγαλώνει, και αναπηδά ξανά,
και φαίνεται ότι συντρίβεται ξανα εδώ
αλλά το σημείο-κλειδί που παρατηρούμε είναι ότι δεν βλέπουμε κάποια περιοδική συμπεριφορά.
υπάρχουν κάποιες ομαλότητες
το μοτίβο της συντριβής, το μοτίβο της αύξησης επαναλαμβάνονται λίγο,
αλλά ποτέ δεν επαναλαμβάνεται ακριβώς.
Ας το κοιτάξουμε για μεγαλύτερο αριθμό επαναλήψεων
εδώ το βλέπετε ξανά, συνεχίζει να αναπηδά γύρω γύρω
φαίνεται να κολλάει γύρω στο 0.75, αλλά όχι ακριβώς
μετά, βλέπουμε ξανά αυτές τις μεγάλες πτώσεις όταν φτάνει κοντά στην τιμή της αποκάλυψης
και μπορούμε να κοιτάξουμε στον πίνακ με τους αριθμούς, και ίσως μπορείτε να κοιτάξετε για αριθμούς,
ίσως όταν κάνατε το quiz, κοιτάξατε για αριθμούς που επαναλαμβάνονται
αλλά θα συνεχίσετε να βλέπετε νέους αριθμούς, συνεχίζει να κάνει κύκλους.
Ας κάνουμε λενα ακόμη πράγμα. Ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε χίλιες επαναλήψεις.
Θα μοιάζει με μια τεράστια μωβ μάζα.
Αυτό είναι.
Και υποθέτω, το κύριο πράγμα να παρατηρήσει κανέις είναι ότι δεν βλέπουμε
κάποιου είδους περιοδικής ή κανονικής συμπεριφοράς να αναδύεται.
Εάν πάμε πίσω, στο 3.2 ή 3.1, ένα παράδειγμα που έχουμε ήδη μελετήσει, και ήταν μια περιοδικη τιμή
κοιτάμε στο χρονοδιάγραμμα και μπορούμε να δούμε κάποια κανονικότητα.
Είναι λίγο δύσκολο να το δούμε, αλλά κινείται μπρος πίσω, ανάμεσα σε αυτές τις 2 τιμές.
Ενώ αν πάω στο 4, συνεχίζει να αναπηδά από τιμή σε τιμή.
Νομίζω ότι αυτό πάει μέχρι 10 χιλιάδες. Παίρνει ένα λεπτό για να σκεφτεί
Υπολογίζει, σχεδιάζει
Σκέφτεται, σκέφτεται
Φτάνω τον υπολογιστή μου στα άκρα με αυτο, νιώθω άσχημα
Τώρα στρεσάρεται ξανά.
Οκ, έγινε. Περιμέναμε πολύ για ένα απλό μεγάλο μωβ ορθογώνιο.
Οπότε αυτό έιναι 10 χιλιάδες επαναλήψεις της λογιστικής εξίσωσης. Συνεχίζει να αλλάζει τιμές.
Περιμένετε να πάω στο τέλος της οθόνης.
Εκεί είναι. Οι αριθμοί δεν έχουν σχηματίσει κάποιου είδους κύκλο.
Συνεχίζουμε να βλέπουμε συνέχεια νέους αριθμούς.
Οπότε, λέμε ότι αυτή η συμπεριφορά, αντί να είναι περιδιοκή, είναι μη περιοδική.
Η τροχιά δεν επαναλαμβάνεται.
Ας συνοψήσουμε τη συμπεριφορά της λογιστικής εξίσωσης για r ίσο με 4,
όπως κάναμε και με τις άλλες τιμές του r.
Η διαφορά είναι ότι για αυτή την τιμή του r, βλέπουμε ότι η τροχιά είναι μη περιοδική. Δεν έχει περίοδο.
Η τροχιά δεν επαναλαμβάνεται, συνεχίζει να κινείται σε ακανόνιστους κύκλους.
Οπότε υπάρχει ένα παζλ: Πως μπορούμε να το δείξουμε αυτό στο διάγραμμα της τελικής κατάστασης;
Εδώ είναι to διάστημα της ενότητας. Ο πληθυσμός είναι πάντα ανάμεσα στο 0 και 1. Θυμηθείτε ότι το 1 είναι
ο πληθυσμός της αποκάλυψης ή εκμηδένισης, και 0 είναι μηδέν.
Οπότε ποιές είναι οι τελικές καταστάσεις για αυτό΄
Λοιπόν, αν κάνουμε 10 χιλιάδες επαναλήψεις και μετά το κοιτούσαμε για άλλες 10 χιλιάδες
θα συνεχίζαμε να βλέπουμε τον πληθυσμό, που μπορούμε να τον σκεφτούμε ως μια τελεία πάνω στην γραμμή, να αλλάζει συνεχώς.
Οπότε ένας άλλος τρόπος να το σκεφτούμε είναι να κάνουμε 10000 επαναλήψεις
και μετά να βάλουμε άλλες 10000, να ανοίξουμε την κάμερά μας για μια φωτογραφία μακράς έκθεσης, καθώς οι τελείες αλλάζουν συνέχεια θέση
και θα βλέπαμε ότι οι τελείες θα γέμιζαν τη γραμμή,
όπως ακριβώς στην προηγούμενη εικόνα οι μωβ κουκίδες γέμισαν το ορθογώνιο
οπότε θα έμοιαζε κάπως έτσι.
Θα υπάρχουν τόσες πολλές τελείες που θα γέμιζαν ολόκληρη την γραμμή, οπότε θα έμοιαζε σαν μια κανονική γραμμή
από τελείες. Οπότε οι τελικές καταστάσεις δεν είναι μόνο 2 ή 4 τελείες επειδή είναι περιοδικές, αλλά η τελική κατάσταση θα ήταν
ολόκληρη η γραμμή, επειδή είναι μη περιοδική και η τροχιά πηγαίνει από
πολύ κοντά στο 0 μέχρι σχεδόν 1. Υπάρχει ένα ακόμη πράγμα που πρέπει να αναφέρω πριν
το στυλό μου αρχίσει να βγάζει καπνούς.
Και αυτό είναι σχετικά με ισχυρισμό μου ότι αυτή η τροχιά είναι μη περιοδική.
Οπότε, αυτό είναι ένα αποτέλεσμα των μαθηματικών που αποδεικνύεται επακριβώς για την λογιστική εξίσωση όταν το r ισούται με 4.0.
Είναι πέρα του στόχου αυτού του μαθήματος να δείξουμε αυτή την απόδειξη και απαιτεί αρκετά μαθηματικά.
Είναι στάνταρντ μέρος των περισσότερων μαθημάτων του τρίτου έτους στο χάος και στα δυναμικά συστήματα.
Οπότε λυπάμαι που δεν μπορώ να δείξω την απόδειξη εδώ, αλλά είναι σημαντικό να αναφέρω ότι υπάρχει για να καταλάβουν όλοι
πως αυτός ο ισχυρισμός είναι ισχυρά κατοχυρωμένος.
Δεν είναι απλά υπολογιστικό ή πειραματικό αποτέλεσμα.
Είναι κάτι που μπορούμε να αποδείξουμε, να συνάγουμε από βασικές αρχές.
Οπότε αυτή η τροχιά είναι πραγματικά μη περιοδική. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αριθμών ανάμεσα στο
0 και 1, ένας μη μετρήσιμα άπειρος αριθμός για την ακρίβεια.
Και αν το επαναλάβουμε αυτό επ' άπειρον, δεν θα δούμε ποτέ τον ίδιο αριθμό δυο φορές.
Θα συνεχίσουμε να βλέπουμε νέους αριθμούς καθώς η τροχιά αλλάζει τιμές.
Θεωρώ ότι η μη περιοδική συμπεριφορά της λογιστικής εξίσωσης είναι ένα εκπληκτικό και ενδιαφέρον αποτέλεσμα.
Φτιάχνουμε τις τροχιές επαναλαμβάνοντας μια συνάρτηση. Κάνουμε το ίδιο πράγμα ξανά και ξανά.
Είναι μια πολύ επαναλαμβανόμενη διαδικασία.
Αλλά το αποτέλεσμα δεν είναι καθόλου επαλαμβανόμενο. Είναι μια τροχιά που έιναι μη περιοδική. Δεν επαναλαμβάνεται ποτέ.
Οπότε, μου φαντάζει ενδιαφέρον που μια πολύ μεθοδική, απαράλλακτη διαδικασία παράγει μια συμπεριφορά που
μοιάζει τόσο ακανόνιστη. Επίσης, θα δούμε ότι οι τροχιές που δημιουργούνται από την λογιστική εξίσωση είναι,
κατά μία έννοια, απρόβλεπτες. Έχουν το φαινόμενο της πεταλόυδας ή ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες.
Και, κατά μία έννοια, μπορούμε ακόμη να πούμε ότι αυτές οι τροχιές, που παρήχθησαν από μία απλή ντετερμινιστική συνάρτηση είναι τυχαίες.
Οπότε ας αρχίσουμε να εμβαθύνουμε σε αυτές τις ιδέες κοιτάζοντας πως η λογιστική εξίσωση συμπεριφέρεται για 2 διαφορετικές τροχιές.
Αυτό θα το κάνουμε στην επόμενη διάλεξη.