في االاختبار القصير من القسم السابق يجب أن نكون قد وجدنا شيئاً ما غريباً عندما كانت r تساوي 4.
المدارات لا تستقر في المخطط الدوري ، بل تفعل شيئاً مختلفاً.
تستمر بالتصرف بشكل غير منتظم، وفي الواقع لا يوجد دورعلى الإطلاق.
كما خمنتم على الأرجح، هذا تشوش.
لقد رأيتم مثالنا الأول للنظام الديناميكي المشوش.
إذاً، لدينا الكثير للتحدث عنه في المحاضرات العديدة التالية.
سأكون قادراً على أن أعرّف ما هو التشوش، ماهو الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية،
المعروفة أيضاً بتأثير الفراشة.
سنبدأ من خلال النظر عن كثب لمدارات المعادلة اللوجيستية عندما r تساوي 4.
إذاً دعونا ننظر لمدارات المعادلة اللوجيستية عندما r تساوي 4.0.
إذاً سأغير هذا إلى 4.0 ودعونا نصنع رسم السلسلة الزمنية البياني
وها هنا ما نراه:
نستطيع أن نرى أنّ المدار يرتد هنا وهناك، تصبح قريبة لكثافة نهاية العالم، أو كثافة الإبادة
هنا انهيار ثم نمو، ومن ثمّ قفز هنا وهناك مجدداً،
ويبدو أنّ هناك انهيار آخر كان يحدث هنا
لكن الشيء الرئيسي هو أن تلاحظ أنّك لا ترى أي سلوك دوري
للتلميحات له يوجد بعض الانتظامات،
نمط يكرر هذا الانهيار، نمط متزايد يتكرر قليلاً
لكنه لا يتكرر حرفياً على الإطلاق.
دعونا ننظر لهذا لعدد أكبر من التكرارات
ها هنا تراه مجدداً، يستمر بالقفز هنا وهناك،
يبدو أنّه سيعلق هنا تقريباً حوالي 0.75، لكن ليس تماماً
ثمّ مجدداً، نرى هذه الانهيارات الكبيرة عندما يقترب من قيمة نهاية العالم
ونستطيع أن ننظر لجدول الأعداد هذا، وربما يمكنك أن تبحث عن أعداد،
ربما عندما قمت بالاختبار القصير بحثت عن أعداد تتكرر
لكن ستستمر برؤية أعداد جديدة، هذا يستمر بالدوران هنا وهناك
دعونا نفعل شيئاً آخر، دعونا نجرب أن نرسم آلاف التكرارات بيانياً.
هذا سيبدو كبقعة بنفسجية كبيرة.
ها هي.
وأعتقد أنّ الشيء الرئيسي مجدداً هو أن تعرف بأنّنا لا نرى
أي نوع من انبثاق سلوك نظامي أو دوري
إذا، قل، عدنا لـ 3.2، أو 3.1، هذا كان مثالاً قد درسناه، هذه كانت قيمة دورية،
إنّك تنظر لرسم السلسلة الزمنية البياني هناك، يمكننا أن نرى بعض الانتظام.
من الصعب قليلاً رؤيته، لكنه يقفز بين هاتين القيمتين ذهاباً وإياباً.
بينما إن ذهبت لـ 4، ستستمر بالقفز هنا وهناك.
أعتقد أنّ هذا سيرتفع لـ 10 آلاف... يأخذ دقيقة ليفكر
إنّه يحسب، إنّه يرسم بيانياً
لا يزال يفكر، لا يزال يفكر
إنّني أُجهد حاسوبي من خلال فعل هذا، أشعر بالسوء
الآن إنّه يُجهَد مجدداً
حسناً، ها هو، كان هذا وقتاً طويلاً لانتظار مستطيل كبير بنفسجي.
إذاً، هذه عشرة آلاف تكرار للمعادلة اللوجيستية، تستمر بالقفز هنا وهناك
دعوني أقفز للأسفل لأدنى الشاشة
ها هو. العدد لا يزال لم يصطدم بأي دورة
ونستمر برؤية أعداد جديدة كل الوقت.
إذاً نقول أنّ هذا السلوك، بدلاً من كونه دوري، إنّه غير دوري:
المدارات لا تتكرر.
إذاً، دعونا نلخص لسلوك المعادلة اللوجيستية لـ r تساوي 4.0
كما فعلنا لقيم r الأخرى.
الاختلاف هو أنّ لقيمة r هذه، وجدنا أنّ المدارات غير دورية. إنّها لا تملك دورة.
المدار لا يتكرر، يستمر بالدوران هنا وهناك بشكل غير منتظم.
إذاً، لدي لغز: كيف يمكن أن نمثّل هذا على رسم الحالة النهائية البياني؟
إذاً، هنا الوحدة (--)، الكثافة السكانية دائماً بين 0 و 1، تذكر أنّ 1 هو كثافة نهاية العالم
أو كثافة الإبادة، و0 هي صفر.
إذاً، ماهي الحالات النهائية لهذا؟
حسناً، إذا كررناها قل، 10.000 مرة ومن ثم شاهدنا 10.000 مرة أخرى،
سنستمر بمشاهد الكثافة السكانية، والذي يمكنك أن تفكر فيها كنقطة على هذا الخط، تقفز هنا وهناك.
إذاً، طريقة أخرى للتفكير بهذا، كرر لـ 10.000
ومن ثمّ أدخل الـ 10.000 التالية، وافتح كاميرا وصوّر بالتعريض الطويل عندما تقفز النقاط هنا وهناك
وسنرى أنّ النقاط ستكمل هذا الخط،
كما في الصورة السابقة تماماً النقاط البنفسجية أكملت المستطيل
إذاً، ستبدو شيئاً كهذا
إذاً سكون هناك نقاط كثيرة هنا التي ستملأ كامل الخط، لكي تبدو كحط سميك
من هذه النقاط. إذاً، الحالات النهائية ليست فقط 2، أو 4 نقاط لأنّها دورية، الحالات النهائية ستكون
هذا الخط كاملاً، لأنّها غير دورية، والمدارات تجول من
نقطة قريبة جداً لـ 0 إلى 1 تقريباً. إذاً هناك شيئاً واحداً أريد أن أذكره قبل
قبل أن أُنهك من الغضب من هذا المكر (الغش).
وها هو، قليلاً عن إدعائي بأنّ المدار غير دوري
إذاً، هذه نتيجة من الرياضيات والتي هي مبرهنة حرفياً وبدقة للمعادلة اللوجيستية عندما r تساوي 4.0
فعل هذا هو خارج نطاق هذه الدورة ويتطلب رياضيات جيدة قليلاً
إنّه جزء قياسي من معظم دورات المستويات المبتدئة في التشويش، أو الأنظمة الديناميكية
إذاً أنا آسف لأنني لا أستطيع أن أقوم بهذا البُرهان هنا، لكن من المهم ذكره للفهم
أنّ هذا الإدعاء مؤكد بدقة.
إنّه ليس فقط نيتجة حاسوب أو نتيجة تجريبية.
إنّه شيئاً ما يستطيع أحدٌ ما برهنته، أو يستنتجه من المبادئ الأولى.
إذاً، المدارات غير دورية حقاً. هناك عدد لا متناهي من الأعداد بين
0 و 1، أعداد لا متناعية غير قابلة للعد في الواقع.
وإن كررت هذا للأبد، فإنّك لن ترى نفس العدد مرتين أبداً.
ستسمر برؤية أعداد جديدة بينما المدارات تتحرك هنا وهناك.
أعتقد أنّ السلوك الغير دوري في المعادلة اللوجيستية مفاجئاً بعض الشيء ونتيجة مثيرة للاهتمام.
إنّنا نصنع المدارات بواسطة تكرار دالة. إنّنا نفعل نفس الشيء مراراً وتكراراً.
إنّها عملية حافلة بالتكرار
لكن النتيجة ليس حافلة بالتكرار على الإطلاق: إنّها مدار غير دوري، إنّها لا تتكرر أبداً.
إذاً، إنّه من المثير للاهتمام بالنسبة لي، أنّ هذه عملية غير متغيرة بانتظام و تنتج سلوك
يبدو غير منظم جداً. علاوةً على ذلك، سنرى أنّ المدارات التي تُنتج بواسطة المعادلة اللوجيستية
بمعنى لا يمكن التنبؤ به. إنهم يملكون تأثير الفراشة، أو اعتماد حساس على الشروط الإبتدائية.
وبالمغزى نستطيع أن نقول حتى أنّ المدارات التي تُنتج من دالة حتمية بسيطة هي عشوائية.
إذاً، دعونا نبدأ بالبحث عن هذه الأفكار من خلال النظر لكيفية سلوك مدارين مختلفين للمعادلة اللوجيستية.
سنفعل هذا في المحاضرة التالية.