En la última sección, introduje la ecuación logística.
Un modelo simple del crecimiento de la población, donde existe un cierto límite sobre cuan grande la población puede ser.
Los detalles de la derivada de la función logística no son esenciales,
pero nosotros usaremos bastante la ecuación logística en la próximas unidades
que pienso que era necesário hablar un poco sobre su origen, y asi darte un poco de intuición sobre la ecuación
En esta unidad, veremos las propiedades de la ecuación logística.
Cuando estas iterando la ecuación logística, que sucede? Qué tipos de comportamiento puedes ver?
Iterando la ecuación logística -gustaríamos iterar esto bastante- es trabajoso y no es interesante hacerlo a mano,
entonces usaremos la programación por computadora para que lo haga por nosotros.
El programa que usaremos está en la web, y el link esta en el lado derecho, abajo de mi.
Si bajaste el video separadamente,
necesitarás volver a la web de complexity explorer y hacer click en este link, entonces el programa aparecerá
Si haces click en este link, una nueva ventana aparecerá. Necesitarás deshabilitar la ventana emergente.
Si haces click en él y no sucede nada, intenta deshabilitar la ventana emergente en tu navegador.
Deberias obtener una ventana que dice, "Logistic Equation Time Series Plots."
Observemos el programa y verás como usarlo.
Aquí está la web que calculará órbitas y gráficos de series de tiempo de la ecuación logística.
Allí hay tres cosas que tendrás que colocar
Primero, necesitas escoger el número de iteraciones que quieres graficar
Voy a escoger 20.
Después necesitas escoger la condición inicial.
Voy a escoger 0.2; que esta por defecto.
Y después necesitas escoger el parámetro de crecimiento, r.
Voy a usar 1.5, ya que ese fue el ejemplo que hice al final de la sección anterior.
En esta sección, encontramos que si la semilla es 0.2, la primera iteración es 0.24, y entonces la siguiente iteración es 0.2736
Veamos,... Voy a descender. debajo del gráfico, las órbitas están en forma de lista.
Vemos que comienza con 0.2, 0.24, 0.2736; tal como calculamos anteriormente con la calculadora
Podemos ver que las órbitas estan creciendo y entonces alcanzar un punto fijo en 0.3333.... o un tercio,
Entonces, sospechamos que es un punto atractor fijo.
Después, la serie de tiempo graficada muestra que la órbita comienza en 0.2 y crece hasta un tercio.
Veamos si es realmente un punto fijo. Podemos verificar con Álgebra, pero podríamoss hacer un experimento usando la computadora.
Coloqué in 0.333, y miro el gráfico de series temporales, podemos ver que el punto es fijo, y no va hacia arriba o abajo.
Puedes ver que eso también en la tabla de números.
Intentemos otro valor; porque no probar con 0.6?
Recuerden, esto podría ser 60% del camino hacia la extinción de la población.
Y vemos que la población decae y alcanza el mismo punto 0.333.
Este es un gráfico de series temporales, y aqui estan los números en bruto del que el gráfico fue hecho.
Probemos algunas cosas más, sólo para tener una idea de la ecuación logística.
Voy a probar una condición inicial de 0.99.
Esto significa que estamos 99% en dirección a la extinción de la población.
Asi, probablemente no sea sorprendente,
Inicialmente vemos un gran decaimiento de la población, porque estamos muy cerca del parámetro de extinción;
estamos muy cerca de tener muchos conejos que no hay comida suficiente para todos.
Así que la población decae dramáticamente,
y después crece hasta el mismo punto fijo estable que vimos en un tercio.
Aqui hay algunos números en bruto para eso.
Finalmente, voy a probar con cero como condición inicial, en este caso no hay conejos para comenzar,
Y por supuesto, no hay conejos.
Así que si no hay conejos en la isla hoy, no habrá conejos en la isla para el próximo año o la siguiente generación.
No es sorprendente que cero es un punto fijo, pero quizás sea bueno verlo aqui en un ejemplo numérico.
Hemos estado analizando la ecuación logística para r=1.5/
Resumamos este comportamiento.
Vimos un punto fijo atractor, y un punto de equilibrio, en 0.33.
Voy a resumir esto con algo que es parecido a una línea de fase pero no idéntico
Es algo que llamo de diagrama de estado final
En el diagrama de estado final, uno sólo dibuja un punto para el estado final o estados finales.
Así que aquí, supuestamente tiene que ir de cero a uno, esta es un único punto en 0.33
porque si dejo que itere en el sistema por bastante tiempo y vemos esto, veré que está fijo en este punto.
Volvamos al programa e investiguemos las órbitas de la función logística para otro valor de r.