في القسم الأخير، لقد قدّمت المعادلة اللوجيستية.
نموذج بسيط لتطور الكثافة السكانية، حيث يوجد حدٌ ما لمدى اتساع الكثافة
تفاصيل مشتق المعادلة اللوجيستية ليست أساسية،
لكننا سنستخدم المعادلة اللوجيستية كثيراً في العديد من الوحدات التالية
والتي أعتقد أنّها تستحق التحدث عن مصادرها، آملاً أن يعطيكم القليل من الحدس عن هذه المعادلة.
في هذه الوحدة، سننظر لخصائص المعادلة اللوجيستية.
عندما تكرر المعادلة اللوجيستية، ماذا يحدث؟ ماهي أنواع السلوك التي تراها؟
تكرار المعادلة اللوجيستية - و سنكررها كثيراً- ممل ولا يوجد متعة بتكرارها يدوياً ،
لذلك سنستخدم برنامج حاسوب ليقوم بهذا لنا.
البرنامج الذي سنستخدمه على الإنترنت، وهناك رابط له هنا، في الأسفل.
إذا حمّلت الفيديو لتشاهده منفرداً.
تحتاج للعودة إلى موقع (complexity explorer ) وتضغط على هذا الرابط، لكي يظهر البرنامج.
إذاً إذا ضغطت على الرابط، ستظهر لك نافذة جديدة. ربما تحتاج إلى تعطيل مانع الإشعارات المنبثقة (pop-up blocker)،
إذا ضغطت عليه ولم يحدث شيء، جرب تعطيل مانع الإشعارات المنبثقة على متصفحك.
يجب أن تحصل على نافذة تقول، "رسم سلسلة زمنية للمعادلة اللوجيستية بيانياً."
دعونا نلقي نظرة على ذلك البرنامج وسترى كيف تستخدمه.
ها هنا الموقع الذي سيحسب المدارات وسلاسل الزمن للمعادلة اللوجيستية بيانياً.
هناك ثلاث أشياء يجب أن تدخلها.
أولاً، تحتاج أن تختار عدد من التكرارات تريد أن ترسمه بيانياً.
سأختار 20.
بعد ذلك تحاتج أن تختار الشرط الإبتدائي.
سأختار 0.2: وهذا الاختيار الافتراضي .
ومن ثمّ تحتاج أن تختار وسيط التطور، r .
سأستخدم 1.5، لأنّ هذا كان المثال الذي فغلتهقمت به بنهاية الجزء السابق.
بذلك القسم، وجدنا أنّه إن كانت البذرة 0.2، فسيكون التكرار الأول هو 0.24، ومن ثم التكرار التالي 0.2736.
دعونا نرى.... سأنزل للأسف تحت الرسم الياني، المدارات مدرجة.
نرى أنّها تبدأ عند 0.2، 0.24، 0.2736: بالضبط كما حسبنا بالآلة الحاسبة سابقاً.
نستطيع أن نرى أنّ المدارات تتوسع ومن ثمّ تصل إلى النقطة الثابتة عند 0.3333... أو ثلث،
لذلك لقد اشتبهنا أنّ هذه نقطة ثابتة جاذبة.
ومن ثم إن رسم السلسلة الزمنية البياني يُظهر المدار يبدأ عند 0.2 ويتوسع للثلث.
دعونا نرى إن كانت هذه حقاً نقطة ثابتة. نستطيع أن نتأكد من ذلك جبرياً ، لكن نستطيع أيضاً أن نقوم بتجربة باستخدام الحاسوب.
أدخلت 0.333، ومن خلال رسم السلسلة الزمنية البياني، نستطيع أن نرى أنّ النقطة ثابتة بالفعل: لا تصعد ولا تنزل.
تستطيع أن ترى هذا أيضاً في جدول الأعداد.
دعونا نجرب قيمة أخرى: لماذا لا نجرب 0.6؟
تذكروا، هذا سيكون على مسافة ستين بالمئة من كثافة الإبادة.
ونرى أنّ الكثافة السكانية تتناقص وتقترب لنفس النقطة الثابتة عند 0.333.
هذا رسم السلسلة الزمنية البياني، وهنا صف الأعداد التي صنع منها هذا الرسم البياني.
دعونا نجرب بضعة أمور أخرى، فقط لنتوصل لإحساس حول المعادلة اللوجيستية.
سأجرب شرط إبتدائي لـ 0.99.
هذا يعني أنّنا على بعد مسافة 99% من كثافة الإبادة.
إذاً، ربما ليس مفاجئاً،
لقد رأينا في البداية انخفاض كبير في الكثافة السكانية، لأننا قريبين جداً من وسيط الإبادة:
نحن قريبين جداً من وجود أرانب كثيرة بحيث لا يوجد غذاء يكفي للجميع.
إذاً الكثافة السكانية تنخفض بشكل كبير،
ومن ثمّ تكبر لنفس النقطة الثابتة التي كنا نراها عند الثلث الأول .
هنا يوجد صف الأعداد لهذا.
أخيراً، سأجرب الشرط الإبتدائي للصفر، في هذه الحالة لا يوجد أرانب للبدء بها،
وبالطبع لا يوجد أرانب متبقية.
إذاً إن كان لايوجد أرانب على الجزيرة اليوم، فلن يكون هناك أرانب على الجزيرة العام القادم أو الجيل القادم.
ليس مفاجئاً أنّ الصفر نقطة ثابتة، لكن ربما من المريح رؤيته بهذا المثال العددي.
لقد كنا للتو نختبر المعادلة اللوجيستية من أجل r=1.5.
دعونا نلخص سلوكها.
لقد رأينا نقطة ثابتة جاذبة، نقطة ثابتة مستقرة، عند 0.33.
سألخص هذا بشيء مشابه جداً للخط المرحلي لكنه ليس متطابق،
شيئاً أدعوه بمخطط الحالة النهائية .
في رسم مخطط الحالة النهائية بيانياً، فقط نرسم نقطة للحالة النهائية أو للحالات النهائية.
إذاً هنا، يفترض أن يذهب فقط من الصفر للواحد، هناك فقط نقطة واحدة عند 0.33
لأنني إن تركته يتكرر في النظام لوقتٍ طويل وراقبته ، سأراه ثابتاً فقط عند هذه النقطة.
دعونا نعود للبرنامج و نختبر مدارات للمعادلة اللوجيستية من أجل قيمة أخرى لـ r.