We beginnen met het simpele model dat ik in de vorige video heb besproken, f van p is gelijk aan rP.
Vrij onrealistisch aan dit model is dat het groeit zonder grenzen.
De wereld zou volledig overgenomen worden door konijnen in het vorige voorbeeld.
We weten dat dit niet het geval is, omdat we nog steeds ergens kunnen lopen zonder tegen konijnen aan te botsen, dus we weten dat over het algemeen populaties niet oneindig groeien.
Dus we zouden dit graag op een simpele manier veranderen, om een soort limiet in het aantal konijnen toe te voegen
of wat we dan ook bestuderen.
We doen dit door een extra term aan de formule toe te voegen.
Ik heb de term 1-P over A toegevoegd.
De hoeveelheid A is een minimale populatie; als de konijnenpopulatie deze grootte bereikt, dan is er het jaar erop geen populatie meer.
Dus dit zal een bepaald niveau zijn waarop de konijnen al het voedsel opeten of met elkaar vechten zodat het jaar erop er geen konijnen meer zijn.
A is een vernietigingspopulatie. Je zou het kunnen zien als een apocalypse populatie
Het is een 'als we ooit deze populatiegrootte bereiken, dan is er volgend jaar geen konijn meer"
Laat ik dit algebraïsch opschrijven.
Als de populatie gelijk is aan A, dan sterven alle konijnen. Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet.
De vraag is, wat is F van A?
Onthoud dat deze functie je iets vertelt over de populatie volgend jaar, als je weet wat de populatie P is in dit jaar.
Dus als de populatie A is, f van A zou je dan de populatie volgend jaar geven.
Laten we A invullen en kijken wat er gebeurt.
Dus ik heb r, ik vul A in voor P
A boven A is 1,
1-1 is 0
en rA keer 0 is 0
Inderdaad, als de populatie de waarde A aanneemt, dan zijn er volgend jaar geen konijnen meer.
Dus A is de vernietigingspopulatie of de apocalyps populatie
Er is nog een ander karakteristiek van deze formule wat ik graag zou willen noemen, dat denk ik logisch is;
en is dat als de populatie klein is, het vrij dicht bij het vorige model ligt.
Laat ik dat even uitschrijven.
Voor een kleine populatie, die ver weg zijn van de apocalyps of vernietiging, zien we de snelle groei van het vorige model.
Alleen wanneer P te groot wordt en de konijnen te weinig voedsel hebben of teveel met elkaar in concurreren voor ruimte of iets,
dan neemt de populatiegroei langzaam af.
Allereerst moet ik duidelijk maken wat ik bedoel met klein. Met klein bedoel ik dat P veel kleiner is dan A...
en als dit het geval is, dan is P boven A ongeveer nul.
Dus misschien is A tienduizend, tienduizend is het apocalyps aantal, en P is misschien tien of twintig.
Tien of twintiger boven tienduizend is een heel klein nummer. Het is dichtbij nul.
Wanneer dit het geval is, dan is P boven A bijna nul. één min iets wat bijna nul is, dan is slechts een klein beetje minder dan één.
Dus deze term hier tussen haakjes is bijna één en de formule dus rP.
Voor kleine populaties, deze logistische formule - dit is een logistische formule
de populatie zal snel groeien zoals het konijnenvoorbeeld uit de vorige video.
Maar dan, als de populatie groot wordt, dan wordt deze term belangrijk en zal de populatiegroei afnemen.
en er is een absoluut limiet en een vernietigings of apocalypsaantal waarop de populatie zal crashen.
Dus deze twee kenmerken, hoop ik, zijn redelijk voor een simpel model wiens enige doel is om een bepaald limiet te stellen aan de konijnengroei.
Vervolgens zal ik deze vergelijking plotten, ik plot deze functie van P en we interpreteren het grafisch.
De logistische vergelijking heeft de volgende vorm: f van P is rP min P boven A
En deze vergelijking, wanneer je hem itereert, beschrijft de groei van een populatie.
Het idee is hier, ik ga deze functie plotten. Op de horizontale axis zetten we Pn, de populatie van dit jaar.
Op de verticale axis, deze functie vertelt me wat de populatie volgend jaar is.
Dus de populatie volgend jaar, je kunt het F van P of Pn plus één noemen,
Laten we een snelle schets maken van deze functie, en het ziet er ongeveer zo uit: het is een omgekeerde parabool.
Dit is natuurlijk een ruwe schets, maar laten we eens kijken wat dit ons vertelt.
Als de populatie klein is, dan hebben we populatiegroei. De units zijn arbitrair.
Als ik hier op één ben, dan is de populatie volgend jaar twee.
We zijn ongeveer aan het verdubbelen.. als ik twee heb, dan is de populatie volgend jaar ongeveer vier.
Dus voor kleine populaties hebben we vrij snelle groei.
Hier, als we bij de vernietigings- of apocalypspopulatie zijn, dan hebben we een hele grote populatie dit jaar
de paarse curve gaat door nul, dus dat betekent dat er volgend jaar nul konijnen zullen zijn
Vandaar de uitsterving of apocalyps.
En als we dicht bij deze waarde zijn, dan zitten we dichtbij de nul de volgende keer.
Als ik hier ben, dan ben ik heel dicht bij de maximum waarde - de apocalyps waarde - wat is dan mijn populatie volgend jaar?
Als ik hier omhoog ga; de hoogte van de grafiek vertelt me dat dit vrij klein zal zal
Dus als we de apocalyps waarde naderen, zal de populatie kleiner worden.
De logistische vergelijking: hier is het, het ziet er als volgt uit; we zien weer een grafiek zoals deze
Het is een simpel model dat is ontwikkelt om de populatiegroei te beschrijven wanneer er een limiterende factor is.
Het kan niet voor eeuwig groeien, er is een bepaalde maximum waarde dat - als die ooit bereikt wordt -
de populatie plots verdwijnt.
Ik zal verder uitleggen hoe je de logistische vergelijking kunt afleiden door deze vergelijking iets te versimpelen,
en het in een iets andere, meer standaard - en ik denk algemenere - vorm.
Dit is de logistische vergelijking, rP keer 1 min P boven A, ; A is de vernietigingspopulatie en r is de groeiparameter
en dit vertelt me wat de populatie volgend jaar is, als ik de populatie van dit jaar weet.
Ik schrijf het iets anders op: Pn plus 1, de populatie volgend jaar,
is r keer Pn keer 1 min Pn boven A.
Om het nog verder te vereenvoudigen deel ik beide kanten van de vergelijking door A.
Ik ga dit door A delen,
en dit door A delen.
Wiskundig gezien mag dit; ik mag beide kanten van de vergelijking delen door A
zolang A geen nul is, wat het niet zal zijn.
Dit zal de ongelijkheid waarborgen.
En dan, zoals je ziet heb ik P boven A, een P boven A, en een P boven A, waardoor ik het nog verder kan versimpelen
Ik ga een nieuwe variabele, x, als volgt definiëren:
Ik definieer de nieuwe variabele x als P gedeelde door A. Het is de populatie, maar dan uitgedrukt als fractie van de vernietigingspopulatie.
Dus als x gelijk is aan 0.5, dan betekent dat we halverwege de apocalyps waarde zijn;
we zijn halverwege het maximale nummer.
Als x 0.8 is, dan zijn we op 80% en als x 0.1 is, op 10% van A.
x is dan een nummer wat altijd tussen nul en één ligt.
Ik kan x gebruiken om de vergelijking te vereenvoudigen
P boven A is x.
P boven A is x, P boven A is x,
Dus dit vertelt me dat de populatie volgend jaar gelijk is aan rx keer 1 min x,
waarbij x de populatie is uitgedrukt in een fractie van de maximale waarde.
Laat me dit als een functie opschrijven.
De functie waarmee we gaan werken, die we in de volgende sub-units veel zullen itereren,
is deze: F van x is Rx keer 1 min x.
Dit is de logistische vergelijking in de standaard vorm. Het is belangrijk genoeg om er een rood kader omheen te tekenen.
Voor de compleetheid, r is een groeisnelheid parameter, dus r is iets dat kan variëren.. dat kan veranderen,
en we zullen zien hoe dat het gedrag van deze vergelijking verandert.
Als laatste kan ik de rechterkant van deze vergelijking vermenigvuldigen zodat ik het volgende krijg:
rx min rx in het kwadraat. Dus de logistische formule is een polynoom van de tweede orde, het is een parabool; een heel simpele functie.
Je hebt parabolen bestudeerd op de middelbare school, het is geen exotische of ingewikkelde functie.
In de volgende subunits gaan we deze functie itereren en zullen we zien wat de eigenschappen van deze functie zijn.
Ik eindig dit college met een kort voorbeeld, voordat je er zelf eentje gaat proberen.
Laat ik snel een voorbeeld geven, om het idee van een iteratieve functie te herhalen.
Ik itereer de logistische vergelijkig, en ik zit r gelijk aan 1.5. De functie waarmee ik zal werking is f van x is 1.5x keer 1 min x.
Ik moet een kiem kiezen, dus ik kijk wat er gebeurt als ik x gelijk zet aan 0.2.
De eerste iteratie wordt verkregen door de functie op de kiem toe te passen, dus dat is 1.5 keer 0.2 keer 1 min 0.2.
Ik doe dat op een rekenmachine, eens kijken..
Ik krijg 0.24, oke, dus dan, de volgende iteratie is F toegepast op 0.24, en dat 1.5 keer 0.24 keer 1 min 0.24.
Laten we dat eens intypen op de rekenmachine...
Ik krijg 0.2736. We kunnen hiermee doorgaan en de volgende iteratie krijgen door de functie keer op keer toe te passen op de kiem
en dan kunnen we ons afvragen wat het gedrag van de functie op het lange termijn is.
We zullen dat doen in de volgende sub-unit.
Voordat je dat doet stel ik voor dat je de quiz doet en kijkt hoe dit gaat.