Nuestro punto de partida para la ecuación logística es el modelo simple que mencioné en el último video, f de p es igual a rP.
Esta es una característica irreal donde la población crece sin límite.
En el ejemplo anterior, el mundo podía ser invadido completamente por los conejos.
Sabemos que ese no es el caso, porque podemos movernos sin chocarnos con los conejos, entonces, de modo general la población no crece para siempre.
Así que nos gustaría modificar esto de algún modo simple, para dar cuenta del hecho de que va a haber algún límite en el número de conejos,
o cualquier asunto que sea lo que estamos estudiando.
Lo haremos añadiendo un término a esta ecuación.
He modificado esta ecuación añadiendo este término 1-P sobre A
La cantidad A es conocida como la extinción de la población; si los conejos alcanzan esta población, el próximo año no habrá conejos.
Así que este debe ser algún nivel que los conejos comerán toda su comida, o pelearán entre ellos, entonces el próximo año no habrá conejos.
A es una población de extinción. Puedes imaginar como una población "apocalíptica".
Esto es "si nosotros alcanzamos esta población, el próximo año no habrá más conejos"
Permítanme mostrar esta declaración de forma algebraica.
Si la población es igual a A, todos los conejos mueren. Miremos como esto podría funcionar.
La pregunta es, "¿qué es F de A?"
Recuerden que esta función te dice la población para el próximo año, si sabes cuál es la población P para el año actual.
Así que si la población es A, f de A te dará la población para el próximo año.
Coloquemos y veamos que sucede.
Entonces tengo r, y estoy colocando en A para P
A entre A es 1
1 menos 1 es cero,
e rA veces cero es cero
En efecto, si la población alcanza A, no habrá más conejos el próximo año.
Así que A representa la población de extinción, o la población apocalíptica.
Existe otra propiedad en esta ecuación que quiero mencionar, que creo que tiene sentido;
Si la población es pequeña, esta es muy parecida con el modelo original que hemos estudiamos
Déjenme escribir eso
Para poblaciones pequeñas, que están muy alejadas del apocalipsis o extinción, podemos observar el rápido crecimiento que vimos antes
Esto es sólo cuando P se vuelve grande, que los conejos comienzan a quedarse sin comida o están compitiendo por espacio o algo parecido,
que el crecimiento de la población se vuelve lento.
Primeramente, debo explicar que quiero decir con pequeño. Quiero decir que P es mucho más pequeño que A...
y si esto es el caso, P sobre A es aproximadamente cero.
Así que si A es diez mil, entonces diez mil es el número de la población para extinguirse, y P podria ser diez o veinte.
Diez o veinte sobre diez mil es un número muy pequeño. Es muy cerca de cero.
Cuando eso es el caso, P sobre A es cerca de cero. Uno menos algo cerca de cero resulta casi uno, esto será un poquito menos de uno.
Así que este término entre paréntesis es alrededor de uno. Esta ecuación
Para poblaciones pequeñas, esta es la ecuación logística
la población crecerá rápidamente como el ejemplo de los conejos del video anterior.
Pero entonces, una vez que la población se vuelve grande, este término comienza a ser mayor, entonces el crecimiento de la población se vuelve lento
y allí esta un límite absoluto superior de extinción o apocalipsis donde el número de la población parará por completo
Así que estas dos propiedades, espero, parecen razonables para un modelo simple donde el único objetivo es limitar el crecimiento de la cantidad de conejos
Para continuar, voy a graficar esta ecuación, voy a diseñar la función de P e vamos a interpretar gráficamente.
La función logística es de esta forma: f de P es rP veces 1 menos P sobre A
Y esta ecuación, cuando es repetida, describirá el crecimiento de la población
La idea esta aqui abajo, voy a graficar esta función. En el eje horizontal, voy a tener Pn, la población de este año
Y en el eje vertical, esta función me dice sobre la población para el próximo año.
Así que, la población del próximo año, puedes llamarlo de f de P, o Pn mas uno
Hagamos un rápido gráfico de esta función, y resulta que se parece a una parábola invertida.
Obviamente, es sólo un esbozo, pero veamos que quiere decir
Si la población es pequeña, entonces obtenemos el crecimiento de la población. Estas unidades son arbitrarias...
Si estoy en una unidad aquí, entonces la población para el próximo año será de dos.
Estamos duplicando... si estoy en dos, entonces la población para el próximo año será aproximadamente cuatro.
Así que aquí, para una pequeña población, tenemos un crecimiento rápido
Aquí, si no encontramos en la extinción o apocalipsis, tenemos una población bastante grande
La curva morada (función) pasa por cero, eso significa que habrá cero conejos el próximo año
Por tanto, extinción o apocalipsis.
Y si estamos cerca de este valor, estaremos cerca a cero el próximo año.
Si estoy aquí, estoy muy cerca al valor máximo -valor para la extinción- entonces, ¿cuál será mi población el próximo año?
Iría hasta aquí; la altura de la gráfico me dice que será bastante pequeña.
Así que, mientras nos acercamos al valor del apocalipsis, la población se va a hacer más pequeño.
En cualquier evento, la ecuación logística: Aquí está, parece como esto; veremos gráficos como este nuevamente.
Este es un modelo diseñado para capturar el crecimiento de la población donde existe algún factor limitante para la población
Esto no puede crecer para siempre, aquí está algún valor máximo que -si alguna vez alcanza-
de repente pierde toda la población.
Voy a completar la derivación de la ecuación logística simplificandola un poco más,
y poniéndolo de una forma diferente y más estándar -creo que de una forma general-
Aqui esta la ecuación logística, rP veces 1 menos P sobre A; A es la población de extinción y r es el parámetro de crecimiento
y esto me dice la población para el próximo año, si yo sé la población para este año.
Permítanme escribir de otra forma, Pn más 1, la población para el próximo año,
Es r veces Pn vezes 1 menos Pn sobre A
Para simplificar las cosas un poco, voy a dividir ambos lados de la ecuación por A
Voy a dividir esto por A
y voy a dividir esto por A
Matemáticamente, es un movimiento válido; estoy permitido de dividir ambos lados de la ecuación por A
con tal que A no sea cero, lo cual no será.
Esto va preservar la desigualdad
Y entonces, notas que tengo P sobre A, un P sobre A y un P sobre, esto me permite simplificar las cosas un poco
Así que voy a definir una nueva variable x, como sigue.
Voy a definir esta nueva variable x como P dividido por A. Esto es la población, pero expresado como una fracción de la población de extinción.
Así, si x es igual a 0.5, esto significa que estamos a la mitad de la extinción o del apocalipsis;
estamos a la mitad de valor máximo posible.
Si x es 0.8, entonces estamos estamos a 80% de la capacidad, si x es 0.1, estamos en 10% de A
x, entonces, es un número que siempre será entre 0 y 1
Puedo usar este x para escribir la ecuación de una forma más simple
P sobre A es x
P sobre A es x, P sobre es x,
Así que esto me dice que la población para el próximo año será rx veces uno menos x
donde x es la población expresada como fracción del valor máximo
También permítanme escribir esto como función.
La función que estaremos trabajando y cambiando bastante durante las próximas dos sub-unidades
es simplemente esta: F de x es Rx veces 1 menos x
Esta es la ecuación logística en la forma estándar que usaremos. Es lo suficientemente importante que voy a colocarlo en un cuadro rojo.
Sólo para completar, r es el ritmo de crecimiento, así que r es algo que varía ... que cambia
y veremos como el comportamiento de esta ecuación cambia.
Finalmente, Yo puede expandir o multiplicar el lado derecho de esto y obtener esto:
rx menos rx al cuadrado. Así, la ecuación logística es sólamente un polinomio de segundo orden, es una parábola, una función simple.
Ustedes han estudiado parábolas en el colégio seguramente, no es para nada una función exótica o función complicada.
En las próximas subunidades, estaremos cambiando estas funciones, y veremos cuáles son las propiedades de esta función.
Voy a terminar esta clases con un ejemplo rápido, antes que ustedes intenten hacer el suyo propio.
Permítanme hacer un ejemplo simple, sólo para revisar la idea de iterar la función.
Voy a iterar la ecuación logística y voy a dejar r = 1.5. La función con la cual que estaré trabajando es f de x es 1.5x veces 1 menos x.
Necesito escoger una semilla, asi que veré que sucede si x = 0.2
Como la primera iteración es obtenida como aplicación de la función en la semilla, esto es 1.5 veces 0.2 veces 1 menos 0.2
Así que voy a hacerlo en la calculadora, veamos aquí...
Obtuve 0.24. OK, entonces, la próxima iteración es F aplicado en 0.24, que es 1.5 veces 0.24 veces 1 menos 0.24
Hagamos en la calcudora...
Obtuve 0.2736. Podemos continuar una y otra vez usando la semilla de la iteración siguiente,
y entonces podemos preguntar ¿cómo es el comportamiento a largo plazo?
Haremos eso en la siguiente sub unidad
Antes que lo hagas, te sugiero que completes el cuestionario de esta clase, sólo para saber como vamos