Un delta t más pequeño hace que el método de Euler
sea más preciso, y podemos ver porqué:
La razón porque el método de Euler no es preciso
es que fingimos que la tasa de cambio
es de hecho constante en un intervalo de tiempo.
Durante un intervalo de 2 minutos, la tasa puede cambiar un poco,
pero la tasa cambia menos si el intervalo es más pequeño.
Si el intervalo es 1 minuto, en lugar de 2,
la suposición en que fingimos que
la tasa no estaba cambiando, será un poco más apegada a la realidad,
y puedo ilustrar eso con esta gráfica.
No voy a adentrarme en los cálculos de esto,
pero aquí está el método de Euler
para dos delta t distintas.
Primero, los cuadrados, que ya vimos,
esos los calculamos antes,
eso es el método de Euler con delta t de 2,
donde estamos suponiendo que la tasa de cambio
es de hecho constante durante dos minutos enteros.
Delta t de 1, esos son los triángulos con la linea segmentada y no punteada.
es un poco difícil de ver, pero la clave está entre esos dos,
está más cercano a la solución exacta que es la línea continua.
Es más cercana porque el ignorar el problema es menos malo,
estamos fingiendo que la tasa que cambia continuamente
es constante por 1 minuto, en lugar de 2, así que no se miente tanto,
y ahora puedes adivinar
cómo podemos hacer esto mejor y mejor,
podríamos hacer delta t cada vez más y más pequeño,
y entonces veríamos que el método de Euler
estaría exactamente arriba de esta linea.
Ahora que vimos una parte de un ejemplo particular,
déjenme hablar sobre el método de Euler un poco más generalmente.
El método de Euler se aplica a ecuaciones diferenciales de esta forma.
Una ecuación diferencial es un sistema dinámico,
una regla de cómo cambia algo en el tiempo.
Lo que hace a las ecuaciones diferenciales un poco difíciles
es que la regla es indirecta.
Esto nos dice como cambia la derivada
y a nosotros nos interesa cómo cambia X.
El método de Euler es una forma de ir de esta
información indirecta de la derivada a la información directa sobre X.
Es decir, el método de Euler convierte esta regla indirecta,
la ecuación diferencial, la regla indirecta que involucra la derivada,
la tasa de cambio, y la convierte en valores de X.
Lo hace, suponiendo que esta tasa de cambio
es constante durante un intervalo de tiempo.
El método de Euler hace esta conversión pretendiendo que la derivada,
que está cambiando constantemente, es de hecho constante
durante un intervalo de tiempo delta t.
Esta pequeña suposición se vuelve mejor,
más cerca del valor verdadero, cuando delta t se hace más chico.
En tanto que delta t, nuestro intervalo de tiempo durante el cual estamos suponiendo que la tasa no está cambiando,
cuando delta t se acerca más y más a 0,
esta suposición de Euler será cada vez menos errónea,
y de esta forma, una solución obtenida
con el método de Euler, será cada vez más cercana a la verdadera.
Cuando delta t se acerca más a 0,
una solución obtenida con el método de Euler será
cada vez más cercana a la solución exacta.
El método de Euler es una forma computacional de
encontrar una solución a una ecuación diferencial.
Requiere hacer un cálculo,
y como puedes ver, cuando delta t se hace más y más pequeño,
el cómputo tomará más y más tiempo.
Necesitaremos hacer más y más pasos para llegar a donde sea,
estos se hacen casi siempre en una computadora.
Esta es una solución algorítmica para ecuaciones diferenciales.
Es un procedimiento, está bien definido,
para ecuaciones diferenciales bien definidas, está garantizado
que converge a una solución exacta.
El método de Euler es muy general,
casi siempre funciona, y pienso que va
a la idea clave de una ecuación diferencial:
una ecuación diferencial es un sistema dinámico,
una regla de cómo cambia algo.
La regla es un poco indirecta, porque está dada en términos de la derivada,
la tasa de cambio de esta cantidad X, y no de X misma,
pero el método de Euler es un truco
que convierte esta información indirecta sobre la derivada
en información directa sobre los valores de X.