Ένα μικρότερο Δt κάνει τη Μέθοδο του Euler
να είναι πιο ακριβής και μπορούμε να δούμε γιατί.
Ο λόγος που η Μέθοδος του Euler δεν είναι ακριβής
είναι οτι προσποιούμαστε οτι ένας διαρκώς μεταβαλλόμενος ρυθμός
μένει σταθερός για κάποιο χρονικό διάστημα.
Κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος 2 λεπτών,
ο ρυθμός μπορεί να αλλάξει αρκετά
αλλά ο ρυθμός θα αλλάζει λιγότερο αν το χρονικό διάστημα είναι μικρότερο.
Έτσι, αν το χρονικό διάστημα είναι 1 λεπτό, αντί για 2 λεπτά,
το κομμάτι στο οποίο προσποιούμαστε οτι ο ρυθμός δεν αλλάζει,
θα είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα
και θα το δείξουμε αυτό σε αυτό το επόμενο διάγραμμα.
Οκ, δε θα κάνω τους αριθμητικούς υπολογισμούς αυτού
αλλά να η Μέθοδος του Euler
για δύο διαφορετικά Δέλτα t.
Πρώτα, τα τετράγωνα, τα οποία έχουμε ήδη δει,
τα υπολογίσαμε πριν,
είναι Μέθοδος του Euler με Δt ίσον 2
όπου προσποιούμαστε οτι ένας διαρκώς μεταβαλλόμενος ρυθμός
μένει σταθερός για 2 ολόκληρα λεπτά.
Δt ίσον 1, αυτά είναι τα τετράγωνα με γραμμή απο παύλες και οχι από τελείες,
λίγο δύσκολο να το δείτε, αλλά το σημαντικό είναι
οτι βρίσκεται ανάμεσα σε αυτές τις δύο:
είναι πιο κοντά στην ακριβής λύση η οποία είναι η κανονική καμπύλη.
Είναι πιο κοντά επειδή το να αγνοήσουμε το πρόβλημα είναι λιγότερο κακή στρατηγική
- εδώ προσποιούμαστε οτι ο διαρκώς μεταβαλλόμενος ρυθμός
μένει σταθερός για 1 λεπτό, αντί για 2, οπότε δεν είναι τόσο μεγάλο ψέμα.
Και, τώρα πια, μπορείτε πιθανόν να μαντέψετε
πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό καλύτερο, και καλύτερο, και καλύτερο:
θα κάναμε το Δέλτα t μικρότερο, και μικρότερο, και μικρότερο
και τότε θα βλέπαμε οτι η Μέθοδος του Euler
θα έπεφτε ακριβώς πάνω σε αυτή τη γραμμή.
Τώρα που έχουμε δει μέρος ενός συγκεκριμένου παραδείγματος,
επιτρέψτε μου να μιλήσω για την Μέθοδο του Euler λίγο πιο γενικά.
Η Μέθοδος του Euler εφαρμόζεται σε διαφορικές εξισώσεις αυτού του τύπου.
Μια διαφορική εξίσωση είναι ένα δυναμικό σύστημα,
ένας κανόνας για το πώς κάτι αλλάζει στον χρόνο.
Αυτό που κάνει τις διαφορικές εξισώσεις λίγο πολύπλοκες
είναι οτι ο κανόνας είναι έμμεσος.
Αυτό μας λέει πώς αλλάζει η παράγωγος
και εμείς ενδιαφερόμαστε για το πώς η ποσότητα Χ καθ'αυτή αλλάζει.
Η Μέθοδος του Euler είναι απλά ένας τρόπος να πάμε απο αυτήν
την έμμεση πληροφορία της παραγώγου στην άμεση πληροφορία για το Χ.
Έτσι, η Μέθοδος του Euler μετατρέπει αυτόν τον έμμεσο κανόνα,
τη διαφορική εξίσωση, τον έμμεσο κανόνα που περιλαμβάνει την παράγωγο
- τον ρυθμό μεταβολής - και τον μετατρέπει σε τιμές για το Χ.
Το κάνει αυτό με το να προσποιείται οτι αυτός ο ρυθμός μεταβολής
παραμένει σταθερός για κάποιο χρονικό διάστημα.
Έτσι, η Μέθοδος του Euler κάνει αυτή τη μετατροπή
προσποιούμενη οτι η παράγωγος, η οποία αλλάζει διαρκώς,
μένει στην πραγματικότητα σταθερή για κάποιο χρονικό διάστημα Δt.
Αυτή η προσποίηση βελιώνεται,
πλησιάζει την πραγματική τιμή καθώς το Δt μικραίνει.
Έτσι, καθώς το Δt
- το χρονικό διάστημα για το οποίο προσποιούμαστε οτι ο ρυθμός δεν αλλάζει -
καθώς το Δt πλησιάζει και πλησιάζει το 0,
αυτή η "προσποίηση" του Euler θα γίνεται λιγότερο και λιγότερο λανθασμένη
και, με αυτόν τον τρόπο, η Μέθοδος του Euler,
η λύση που βρήκαμε από την Μέθοδο του Euler,
θα έρχεται πιο κοντά και πιο κοντά στην πραγματική απάντηση
Έτσι, καθώς το Δt πλησιάζει και πλησιάζει το 0
μια λύση που βρέθηκε με την Μέθοδο του Euler θα
πλησιάζει και θα πλησιάζει την ακριβής λύση.
Οπότε, η Μέθοδος του Euler είναι ένας υπολογιστικός τρόπος
να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση.
Απαιτεί να κάνουμε κάποιον υπολογισμό
και, μπορείτε να δείτε οτι, καθώς το Δt μικραίνει και μικραίνει,
ο υπολογισμός θα γίνεται μεγαλύτερος και μεγαλύτερος
- θα χρειαστεί να κάνουμε όλο και περισσότερα βήματα για να πάμε οπουδήποτε
και αυτά, σχεδόν πάντα, γίνονται σε υπολογιστή.
Οπότε, αυτή είναι μια αλγοριθμική λύση σε διαφορικές εξισώσεις.
Είναι μια συγκεκριμένη διαδικασία, είναι καλά καθορισμένη
για καλά καθορισμένες διαφορικές εξισώσεις.
Είναι δεδομένο οτι θα συγκλίνει με την ακριβής λύση.
Οπότε, η Μέθοδος του Euler είναι πολύ γενική,
δουλεύει σχεδόν πάντοτε, και, πιστεύω,
φτάνει στην κεντρική ιδέα μιας διαφορικής εξίσωσης:
μια διαφορική εξίσωση είναι ένα δυναμικό σύστημα,
ένας κανόνας για το πώς κάτι αλλάζει.
Ο κανόνας είναι λίγο έμμεσος, γιατί είναι με βάση την παράγωγο,
τον ρυθμό αλλαγής αυτής της ποσότητας Χ και οχι το Χ καθαυτό
αλλά η Μέθοδος του Euler είναι κάπως σαν ένα "τρικ"
που μετατρέπει αυτή την έμμεση πληροφορία για την παράγωγο
σε άμεση πληροφορία για τις τιμές του Χ.