Колкото по-малко е делта t, толкова по точен
е методът на Ойлер, и виждаме защо:
Причината методът на Ойлер да е неточен
е че се преструваме, че постоянно променяща се скорост
е всъщност постоянна в даден интервал
При интервал от 2 минути, скоростта може да се променя много,
но скоростта ще се променя по-малко ако интервалът е по-малък
При интервал 1, вместо 2,
измислената част, за която се преструваме
че е постоянна скорост, ще бъде по-близка до реалността
и можем да илюстрираме със следния чертеж.
Няма да минавам през всички детайли,
но това е методът на Ойлер
за 2 различни делта t.
Първо, квадратите, които вече видяхме
изчислихме ги
това е методът на Ойлер с делта t = 2
където се преструваме, че постоянно изменящата се скорост
е константа през целите 2 минути.
Делта t от 1, това са триъгълниците с тире, а не линия с точки
малко трудно се вижда, но важното е между тези две
по-близо е до точното решение, което е непрекъснатата крива
По-близо е, защото игнорирането на проблема е по-малко лошо
представяме си, че постоянно променящата се скорост
е константа само за 1 минута, вместо за 2, лъжата е по-малка
и сигурно се досещате
как можем да подобрим отново и отново
- като оставим делта t да бъде все по-малка
и ще видим, че методът на Ойлер
ще бъде точно върху линията.
След като видяхме част от този пример
нека поговорим за метода на Ойлер по-общо
Методът на Ойлер се прилага към диференциални уравнения от тази форма
Диференциално уравнение е динамична система
правило как нещо се променя във времето
Това което е по-сложно е
че правилото не е директно
Казва ни как производната се променя
и ни интересува как количеството X се променя.
Методът на Ойлер е само начин да минем от
тази недиректна информация от производната към директната информация за X
Методът на Ойлер преобразува това недиректно правило
диференциалното уравнение - недиректно правило относно производната
скоростта на промяна и го преобразува в стойност на X
Прави го като си представяме, че тази скорост на промяна
е постоянна през интервала от време
Методът на Ойлер прави трансформацията, претендирайки че производната
която постоянно се променя, е всъщност константа
през определен период делта t
Тази част с измислянето се подобрява
и доближава до истинската стойност, когато делта t се намаля
Докато делта t, времето в което претендираме, че скоростта не се променя
делта t се доближава до 0
методът на Ойлер ще става все по-малко грешен
и по този начин стигаме до решение
от метода на Ойлер, ще се доближава все повече до истината.
докато делта t се доближава до 0
решението от метода на Ойлер ще бъде
все по-близо до точното
Методът на Ойлер е изчислителен начин
за намиране на решение на диференциално уравнение
нужно е изчисление
и може да видим, че докато делта t се намалява
изчислението ще стане по-дълго
ще ни трябват все повече стъпки за да стигнем някъде
и често се правят на компютър
Това е алгоритмично решение на диференциално уравнение
Това е процедура, добре описана
за добре дефинирани диференциални уравнения, е гарантирана
да генерира точно решение
Методът на Ойлер е много общ
почти винаги работи и
стига до основната идея за диференциално уравнение
диференциалното уравнение е динамична система
правило за как нещо се променя
Правилото е индиректно, защото се отнася за производна
скоростта на промяна на това количество X и не самото X
но методът на Ойлер прилича на номер
който конвертира тази индиректна информация за производната
в директна за стойността на X