إن قيمة أصغر لدلتا t تجعل طريقة أويلر
أكثر دقة، ونستطيع أن نرى لماذا:
إن سبب عدم دقة طريقة أويلر
هو أنّنا نتظاهر بأنّ المعدل المتغيّر باستمرار
ثابت خلال فاصل زمني.
خلال فاصل زمني من دقيقتين، ذلك المعدل ربما يتغير قليلاً،
لكن المعدل سيتغير بشكلٍ أقل إذا كان الفاصل الزمني أصغر.
إذاً، إن كان الفاصل الزمني 1 دقيقة، بدلاً من 2،
الخدعة الصغيرة، حيث تظاهرنا بأنّ
المعدل لا يتغير، سيكون أقرب للواقع،
وأستطيع أن أوضّح هذا بالرسم البياني التالي.
إذاً، لن أمر خلال كل الحسابات العددية لهذا ،
لكن ها هنا طريقة أويلر
لقيمتين مختلفتين لدلتا t
إذاً، أولاً المربعات، والتي رأيناها من قبل،
حسبنا هذه من قبل،
هذه طريقة أويلر مع دلتا t تساوي 2،
حيث تظاهرنا أنّ المعدل المتغير باستمرار
ثابت في الواقع لدقيقتين كاملتين.
من أجل دلتا t تساوي 1، تلك المثلثات مع خط صغير غير منقط بينها
من الصعب قليلاً رؤيته، لكن الشيء الرئيسي بين هذين الإثنين
إنّه أقرب للحل الدقيق والذي هو المنحني بالخط السميك.
إنّه أقرب لأنّ تجاهل المشكلة هو الشيء الأقل سوءاً لفعله،
نحن نتظاهر الآن أنّ المعدل المتغير باستمرار
ثابت لدقيقة واحدة، بدلاً من اثنتان، لذلك إنها ليست بكذبة كبيرة لهذه الدرجة،
والآن على الأرجح تستطيع أن تخمن
كيف يمكن أن نفعل هذا أفضل وأفضل وأفضل
يمكن أن ندع دلتا t تصبح أصغر أكثر فأكثر،
ومن ثم سنرى أنّ طريقة أويلر
ستعطي منحني متطابق تماماً مع هذا الخط
الآن وقد رأينا جزء من مثال معين
دعوني أتحدث عن طريقة أويلر بشكل أكثر عمومية
طريقة أويلر تطبق على المعادلات التفاضلية بهذا الشكل.
المعادلة التفاضلية هي نظام ديناميكي،
قاعدة لكيفية تغير شيء ما عبر الزمن.
الذي يجعل المعادلات التفاضلية صعبة قليلاً
هي أنّ القاعدة غير مباشرة
هذا يخبرنا كيف يتغير المشتق
ونحن مُهتمين بكيف المقدار X ذاته يتغير.
طريقة أويلر إنّها فقط طريقة لننتقل من
هذه المعلومات غير المباشرة للمشتق، إلى المعلومات المباشرة لـ X
إذاً طريقة أويلر تحوّل هذه القاعدة غير المباشرة،
المعادلة التفاضلية - قاعدة غير مباشرة شاملة على المشتق
- معدل التغيير، و يحوّل ذلك إلى قيم لـ X.
تفعل ذلك، من خلال التظاهر بأنّ معدل التغيير هذا
ثابت خلال فاصل زمني.
إذاً، طريقة أويلر تفعل هذا التحويل من خلال التظاهر بأنّ المشتق،
والذي هو متغير دائماً، ثابت
خلال فاصل زمني دلتا t.
هذه الخدعة الصغيرة تصبح أفضل
وتقترب من القيمة الصحيحة، عندما تصبح دلتا t أصغر.
إذاً، خلال الفاصل الزمني دلتا t، الذي تظاهرنا بأنّ المعدل فيه ليس متغيراً،
عندما دلتا t تقترب أكثر وأكثر لـ 0،
افتراض أويلر سيصبح أقل خطأً تدريجياً،
وبهذه الطريقة، الحل الذي نحصل عليه من طريقة أويلر
سيقترب أكثر وأكثر للإجابة الصحيحة.
إذاً، عندما تقترب دلتا t أكثر وأكثر من 0،
سيقترب الحل الذي نحصل عليه من طريقة أويلر
أكثر وأكثر من الحل الدقيق.
إذاً، طريقة أويلر هي طريقة حسابية
لإيجاد حل لمعادلة تفاضلية.
تتطلب القيام بحساب،
وتستطيع أن ترى أنّ عندما تصغر قيمة دلتا t أكثر وأكثر
الحساب سيصيح أطول أطول.
نحتاج لنقوم بخطوات أكثر وأكثر لنصل أيّ مكان،
لذلك فإن هذه الخطوات تنجز على الغالب باستخدام الحاسوب.
إذاً، هذا حل خوارزمي للمعادلات التفاضلية.
إنّه إجراء، إنّه معرّف جيداً،
للمعادلات التفاضلية المعرّفة جيداً، إنّه مضمون
أن يتقارب إلى الحل الدقيق.
إذاً، طريقة أويلر هي طريقة عامة جداً،
إنّها تعمل في أغلب الأحيان
وتصب في جوهر فكرة المعادلة التفاضلية:
المعادلة التفاضلية هي نظام ميكانيكي،
قاعدة لكيفية تغير شيء ما.
القاعدة غير مباشرة قليلاً، لأنّها تعبر عن المشتق،
معدل التغيير للمقدار X هذا، وليس X بحد ذاته
لكن طريقة أويلر هي نوعا ما خدعة
تحوّل هذه المعلومات غير المباشرة عن المشتق
إلى معلومات مباشرة عن قيم X