上一节 我们引入了定性
几何技巧 来求解微分方程
用右边的方程的图
可以得到相线
从而知道一般的函数的解的形状
这一节里 我们介绍另一种方法
称之为数值方法
我也称之为计算或算法方法
这些方法非常全面 我很喜欢
它们经常被用到
它们是微分方程的核心
从方程的观点来看
所以 我把内容分成3部分
首先 我们给一个大概的介绍
然后
介绍详细的方法
你可以自己编程
在第三部分里
我将总结
然后比较各种方法
计算方法
被称之为欧拉法
我们回到例子
牛顿的冷却律
描述了温度的改变规律
T是温度 t是时间
一个对象的初始温度是5度
放在20度的房间里
我们看到温度
用T来表示 是时间的函数
但是在这个方法里
我们用大写的T表示温度
在2,4,6分钟里 等等
我们从一开始开始
温度是5度
我们有这个微分方程
我们用两个事实来得到
温度改变得有多快
初始时刻 温度是5度
这就是微分方程做的事情
如果温度
温度改变得有多快
让我们试试
我用方程定义dT/dt
温度在初始时刻的改变率
输入5
温度是5 20-5是15
乘以0.2 得到3 度每分钟
这就是温度增加的速率
我可以用这个来看出温度的改变率
但是有一个问题 速率不是常数
速率在改变
只要温度改变一点
导数就在变 速率改变一点
我们陷入了两难
所以 我们有一个问题 速率不是常数
我们要解决这个问题
我们在欧拉方法中用的办法
是 忽略这个问题 我就假装它是个常数
比如说在2分钟的区间里
假设速率是不变的
我们就是假设而已
如果速率是不变的
那么我们可以得到2分钟以后的温度
我想知道T(2) 在2分钟时的温度
这个物体在2分钟以后的温度
2分钟后它会升温到几度呢
它升温3度每分钟
我们假设这是个常数
这仅仅是假设
3度每分钟 ，过了2分钟
于是升了6度
5加上6得到11
这就是T(2)
这可能不够精确
因为我们假设了
但是结果也不太坏
我们可以类似地算T(4)