En la unidad anterior introduje técnicas cualitativas
o geométricas para resolver ecuaciones diferenciales.
vimos que con el gráfico de la parte derecha de la ecuación
podemos encontrar la linea de fase
y obtener un cuadro general de las soluciones.
En esta segunda unidad, voy a presentar otra forma de resolución de ecuaciones diferenciales,
a veces llamadas soluciones numéricas
pero me gusta pensar en ellas como soluciones algorítmicas o computacionales.
Me gustan mucho estos métodos, son muy versátiles,
son muy comúnmente utilizados,
y dan en el corazón de lo que son las ecuaciones diferenciales
desde el punto de vista de los sistemas dinámicos
Voy a presentar este material en tres partes:
primero, voy a dar una visión general de los métodos de cómputo,
a continuación, en la segunda parte, que es opcional,
entraré con más detalle
de modo que pueda codificarlo usted mismo, si usted quiere,
y luego en la tercera parte de esta subunidad,
voy a resumir, dar un paso atrás
y comparar y contrastar una serie de diferentes métodos de solución.
El método de cálculo que me gustaría presentar
se conoce como el método de Euler
Volvamos al ejemplo que empezamos con
ley de enfriamiento de Newton - esto describe
la tasa de cambio de la temperatura
T mayúscula es la temperatura, t minúscula es el tiempo
de un objeto que está originalmente a 5 grados,
que se coloca en una sala de 20 grados.
Nos gustaría saber la temperatura en tiempos posteriores
nos gustaría mucho contar con un T mayúscula como una función del tiempo,
pero en este enfoque
Voy a tratar de estimar la T, la temperatura,
a los 2 minutos, 4 minutos, 6 minutos, y así sucesivamente.
Así, empezamos, dónde podemos empezar, al principio.
sabemos que la temperatura es de 5
y tenemos esta ecuación diferencial - esta regla,
así que puedo utilizar estos dos hechos de averiguar
cómo de rápido cambia la temperatura
en el momento inicial, cuando T es igual a 5
que es lo que esta ecuación diferencial hace,
me dice - si conozco la temperatura
me dice cómo de rápido la temperatura está cambiando,
por lo que vamos a hacer eso.
Así que, yo uso la ecuación, definida dT / dt
la tasa de cambio de la temperatura, en el momento inicial.
Así que, yo sólo pido la ecuación - introduciendo 5,
así, T es 5, 20 menos 5 es 15
que multiplicado por 0.2, me da 3 grados por minuto.
Esto es lo rápido que el objeto se está calentando inicialmente,
y puedo utilizar esta tasa para averiguar la temperatura en un momento posterior,
- uh oh - pero hay un problema, y es que esta tasa(incremento T) no es constante
la tasa de cambio está en constante cambio,
tan pronto como la temperatura cambia un poco,
la derivada cambia, la tasa de cambio varia un poco,
es así, estamos en un dilema.
Así pues, tenemos un problema: la tasa de cambio no es constante,
es así, tenemos que hacer frente a este problema de alguna manera,
y el mecanismo de defensa que utilizamos en el método de Euler
es simplemente ignorar el problema - sólo tendremos que fingir que es constante
para, digamos, un intervalo de 2 minutos.
Así que, vamos a pretender que esta tasa es constante durante 2 minutos,
no lo es, pero sólo vamos actuar como si lo fuera,
y si esta tasa es constante para estos 2 minutos,
luego, puedo averiguar la temperatura de 2 minutos más tarde.
OK, así que quiero saber T (2) - la temperatura T, en tiempo de 2 minutos,
2 minutos después de que este objeto se coloque en la sala.
Así que, ¿cuánto se caliente en esos 2 minutos?
Bueno, está calentando a 3 grados por minuto,
y suponemos que eso es constante
en realidad no es sino que simplemente vamos a ignorar el problema y pretender que lo es
3 grados por minuto, durante 2 minutos,
eso es un aumento total de 6 grados
tomo esos 6 grados, los sumo a 5, me sale 11,
y de esta manera he descubierto T (2)
Probablemente no es exacta,
por que tenemos que hacer un pequeño "acto de Fe"
pero en realidad no es tan malo.
Podemos hacer algo similar para obtener T (4), así que vamos intentarlo