En la última unidad introduje técnicas cualitativas
o geométricas, para resolver ecuaciones diferenciales.
Vimos que con la gráfica del lado derecho de la ecuación,
podemos encontrar la linea de fase
y obtener una imagen global de cómo lucen las soluciones.
En esta unidad, presentaré otra forma de resolver ecuaciones diferenciales
llamadas a veces soluciones numéricas,
pero me gusta pensar en ellas como soluciones computacionales o algorítmicas.
Me gustan mucho estos métodos, son muy versátiles,
son usados muy comúnmente,
y van al corazón de lo que son las ecuaciones diferenciales
del punto de vista de los sistemas dinámicos.
Voy a presentar el material en tres partes:
primero, daré un resumen de los métodos computacionales,
luego en la segunda parte, que es opcional;
voy a adentrarme en esos métodos en detalle
para que puedas programarlos tú mismo, si así lo quieres,
y luego en la tercera parte de esta unidad,
voy a resumir, regresar un poco,
y comparar y contrastar varios métodos de solución.
De hecho, el bosquejo no salió como fue planeado.
Aquí un bosquejo actualizado:
1.- Un ejemplo paso a paso que ilustra cómo funciona
una solución computacional llamada el método de Euler.
Este video está dividido en tres partes.
2. Un resumen más general del método de Euler.
3. Una discución de cómo mejorar el método de Euler.
El método computacional que quiero presentar
es conocido como el método de Euler.
Regresemos al ejemplo con el que empecé:
La ley del enfriamiento de Newton, describe
la tasa de cambio de la temperatura
T mayúscula es temperatura, t minúscula es tiempo,
de un objeto que originalmente estaba a 5 grados,
y es colocado en una sala a 20 grados.
Nos gustaría saber la temperatura a tiempos posteriores,
nos encantaría tener T como función del tiempo,
pero desde este enfoque
voy a intentar estimar T, la temperatura,
a los 2, 4, 6 minutos y así sucesivamente.
Empezamos, dónde más podríamos hacerlo, al principio.
Sabemos que la temperatura es 5,
y tenemos esta ecuación diferencial, esta regla,
así que puedo usar estos dos hechos para averiguar
qué tan rápido cambia la temperatura,
al tiempo inicial, cuando T es 5,
eso es lo que hace la ecuación diferencial,
me dice, si conozco la temperatura;
me dice qué tan rápido cambia la temperatura,
así que hagámoslo.
Uso la ecuación, definida dT/dt,
la tasa de cambio de la temperatura, al tiempo inicial.
Simplemente le pregunto a la ecuación, poniendo 5 ahí dentro,
así que, T es 5, 20 menos 5 es 15,
por 0.2, me da 3 grados por minuto.
Eso es qué tan rápido se está calentando el objeto inicialmente,
así que puedo usar esta tasa para encontrar la temperatura a tiempos siguientes,
pero hay un problema, que esta tasa no es constante,
la tasa está cambiando todo el tiempo,
en cuanto cambia la temperatura, un poco,
cambia la derivada, la tasa también cambia un poco.
así que estamos más o menos en un dilema.
Tenemos un problema: la tasa de cambio no es constante,
tenemos que enfrentar este problema de algún modo,
y la forma de enfrentarlo que usamos en el método de Euler
es simplemente ignorar el problema, fingimos que es constante,
digamos, en un intervalo de 2 minutos.
Hacemos como si la tasa fuera constante por 2 minutos,
no lo es, pero hacemos como si lo fuera,
y si la tasa es constante por esos dos minutos,
entoncces puedo encontrar la temperatura 2 minutos después.
Quiero conocer T(2), la temperatura T, al tiempo 2 minutos,
2 minutos después de que el objeto es colocado en la sala.
¿Cuanto se calentó en esos dos minutos?
Bueno, se está calentando a 3 grados por minuto,
y aparentamos que es constante,
realmente no lo es pero ignoramos el problema y hacemos como si lo fuera.
3 grados por minuto, durante 2 minutos
eso da un incremento total de 6 grados,
tomo esos 6 grados le sumo 5 y obtengo 11,
de esta forma encontré T(2),
probablemente no es exacto
porque tuvimos que fingir un poco,
pero de hecho no está tan mal.
Podemos hacer lo mismo para obtener T(4), así que vamos a intentarlo.