Στην τελευταία υποενότητα παρουσίασα ποιοτικές
ή γεωμετρικές τεχνικές για να λύνουμε διαφορικές εξισώσεις.
Είδαμε οτι, με το γράφημα της δεξιά πλευράς της εξίσωσης,
μπορούμε να βρούμε τη γραμμή φάσης
και να πάρουμε μια γενική εικόνα για το πώς μοιάζουν οι λύσεις.
Σε αυτή την υποενότητα θα παρουσιάσω
έναν άλλο τρόπο να λύνουμε διαφορικές εξισώσεις.
Αυτές αποκαλούνται κάποιες φορές αριθμητικές λύσεις
αλλά προσωπικά προτιμώ να τις σκέφτομαι σαν υπολογιστικές ή αλγοριθμικές λύσεις.
Αυτές οι μέθοδοι μου αρέσουν αρκετά: είναι ιδιαίτερα πολύπλευρες,
χρησιμοποιούνται πολύ συχνά
και φτάνουν στον πυρήνα του τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις
από την οπτική των δυναμικών συστημάτων.
Θα παρουσιάσω το υλικό σε τρία μέρη:
πρώτα, θα κάνω μια επισκόπηση των υπολογιστικών μεθόδων,
μετά, στο δεύτερο μέρος, το οποίο είναι προαιρετικό,
θα μπω σε κάποιες λεπτομέρειες γι' αυτές τις μεθόδους
έτσι ώστε να μπορείτε να τις γράψετε σε κώδικα και μόνοι σας, αν θέλετε,
και, έπειτα, στο τρίτο μέρος αυτής της υποενότητας,
θα συνοψίσω, θα κάνω ένα βήμα πίσω
και θα συγκρίνω και αντιπαραβάλλω κάποιες διαφορετικές μεθόδους.
[Βασικά, το περίγραμμα αυτό δεν πήγε σύμφωνα με το πλάνο.
Αυτό είναι το αναθεωρημένο περίγραμμα:
1. Ένα βήμα προς βήμα παράδειγμα του πώς μια υπολογιστική λύση που λέγεται "Μέθοδος του Euler" δουλεύει.
Αυτό το βιντεο είναι χωρισμένο σε 3 μέρη. Κατέληξε μεγαλύτερο από όσο ήθελα
αλλά δεν έβρισκα τρόπο να το κάνω συντομότερο.
2. Μια μικρότερη, πιο γενική σύνοψη της Μέθοδου του Euler.
3. Συζήτηση για το πώς να βελτιώσετε Μέθοδο του Euler].
Η υπολογιστική μέθοδος που θα ήθελα να παρουσιάσω
είναι γνωστή ως η Μέθοδος του Euler.
Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα με το οποίο ξεκινήσαμε:
τον Νομο Ψύξης του Νεύτωνα.
Αυτό [dT/dt] περιγράφει το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας
- κεφαλαίο Τ είναι η θερμοκρασία, μικρό t είναι ο χρόνος -
ενός αντικειμένο που είναι αρχικά στους 5 βαθμούς
και που τοποθετείται σε ένα δωμάτιο 20 βαθμών.
Θα θέλαμε να μάθουμε τη θερμοκρασία σε επόμενους χρόνους,
θα θέλαμε να έχουμε το κεφαλαίο Τ ως συνάρτηση του χρόνου
αλλά, σε αυτή την προσέγγιση,
θα προσπαθήσω να υπολογίσω το κεφαλαίο Τ, την θερμοκρασία,
στα 2 λεπτά, 4 λεπτά, 6 λεπτά και ούτω καθεξής.
Οπότε, ξεκινάμε - από που άλλου μπορούμε να ξεκινήσουμε - από την αρχή.
Ξέρουμε οτι η θερμοκρασία είναι 5
και έχουμε τη διαφορική εξίσωση - αυτόν τον κανόνα -
οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά τα δυο στοιχεία για να βρούμε
πόσο γρήγορα αλλάζει η θερμοκρασία
στον αρχικό χρόνο [Τ(0)], όταν το Τ ισούται με 5.
Αυτό κάνει αυτή η διαφορική εξίσωση,
μου λέει, αν γνωρίζω τη θερμοκρασία,
μου λέει πόσο γρήγορα η θερμοκρασία αλλάζει.
Οπότε, ας το κάνουμε αυτό.
Χρησιμοποιώ την εξίσωση για να βρω το dT/dt,
το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας,
στον αρχικό χρόνο.
Απλά λοιπόν ρωτάω την εξίσωση, βάζοντας το 5
έτσι, το κεφαλαίο Τ είναι 5, 20 μείον 5 είναι 15,
επί 0.2, μου δίνει 3 βαθμούς ανα λεπτό.
Οπότε αυτό είναι το πόσο γρήγορα το αντικείμενο θερμαίνεται αρχικά
και μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτόν τον ρυθμό
για να βρω την θερμοκρασία σε επόμενο χρόνο
όμως, ωχ, υπάρχει ένα πρόβλημα, το οποίο είναι
οτι αυτός ο ρυθμός δεν είναι σταθερός
ο ρυθμός μεταβάλλεται διαρκώς.
Με το που η θερμοκρασία αλλάζει, λιγάκι,
η παράγωγος αλλάζει, ο ρυθμός αλλάζει λιγάκι
οπότε, βρισκόμαστε σε δίλημμα.
Οκ, έχουμε ένα πρόβλημα: ο ρυθμός δεν είναι σταθερός.
Οπότε πρέπει να διαχειριστούμε κάπως αυτό το πρόβλημα
και ο μηχανισμός διαχείρισης που θα χρησιμοποιήσουμε στη μέθοδο του Euler,
είναι απλά να αγνοήσουμε το πρόβλημα - θα προσποιηθούμε οτι είναι σταθερός
για, ας πούμε, ένα χρονικό διάστημα 2 λεπτών.
Οπότε, προσποιούμαστε οτι αυτός ο ρυθμός είναι σταθερός για 2 λεπτά,
δεν είναι αλλά θα κάνουμε σαν να ήταν,
και, αν αυτός ο ρυθμός είναι σταθερός για αυτά τα 2 λεπτά,
τότε μπορώ να βρω τη θερμοκρασία 2 λεπτά αργότερα.
Οκ, θέλω λοιπόν να βρω το T(2) - τη θερμοκρασία Τ στον χρόνο 2 λεπτά,
2 λεπτά αφού το αντικείμενο τοποθετήθηκε στο δωμάτιο.
Πόσο θερμαίνεται σε αυτά τα 2 λεπτά;
Λοιπόν, θερμαίνεται 3 βαθμούς ανα λεπτό
και προσποιούμαστε οτι αυτό είναι σταθερό - δεν είναι πραγματικά
αλλά απλά θα αγνοήσουμε το πρόβλημα και θα προσποιηθούμε,
3 βαθμούς το λεπτό, για 2 λεπτά
αυτή είναι μια αύξηση συνολικά 6 βαθμών.
Παίρνω αυτούς τους 6 βαθμούς, τους προσθέτω στους 5 και παίρνω 11
και, με αυτόν τον τρόπο, βρήκα το T(2)
- πιθανά όχι ορθώς ή πιθανά όχι ακριβώς
επειδή έπρεπε να προσποιηθούμε λίγο -
αλλά, στην πραγματικότητα, δεν είναι και τόσο κακό.
Μπορούμε να κάνουμε κάτι αντίστοιχο για να βρούμε το T(4),
οπότε ας κάνουμε μια προσπάθεια.