В последния под-модул въведох качествените
или геометрични техники за решаване на диференциални уравнения
Видяхме, че с графика на дясната страна на уравнението
можем да намерим фазова линия
и виждаме общата картина на това как ще изглеждат решенията
В този под-модул ще представя друг начин за решаване на диференциални уравнения
това са т.нар. числови решения
но аз обичам да ги наричам изчислителни или алгоритмични
Много ми харесват тези методи - много са гъвкави
много често се използват
и достигат до същността на диференциалните уравнения
от гледна точка на динамични системи.
Ще го представя в три части
първо, ще прегледаме изчислителните методи,
след това, по избор,
ще навлезем в повече подробности
за да можете да ги ползвате сами, ако трябва,
а в третата част,
ще обобщим, ще се върнем с 1 стъпка,
и ще сравним различни методи за решаване.
Изчислителният метод, който ще представя,
е познат като метод на Ойлер.
Нека се върнем на примера, с който започнахме
Закона на Нютон за охлаждане, това описва
скоростта на промяна на температурата
главно Т е температура, малко t е време
на обект с начална температура 5 градуса,
поставен в стая 20 градуса.
Искаме да разберем температурата в по-късно време
искаме да имаме T като функция на времето
но в този метод
ще опитам да естимирам главно T, температурата
във време 2 минути, 4 минути, 6 минути, и т.н.
Започваме, къде другаде, от началото
Знаем, че температурата е 5
и имаме това диференциално уравнение - това правило
и мога да използвам тези 2 факта за да разбера
колко бързо температурата се променя
в началното време, когато Т = 5
и това прави диференциалното уравнение
казва ми - ако знам температурата,
колко бързо температурата се променя,
нека го направим
Използвам уравнението, определено от dT/dt
скоростта на промяна на температурата, в началното време
Ще попитам уравнението - вкарвам 5,
главно Т е 5, 20 минус 5 е 15,
по 0.2 ми дава 3 градуса в минута.
Това е скоростта на затопляне в началото
мога да използвам тази скорост за да разбера температурата по-късно
но има проблем - тази скорост не е константа
тя се променя постоянно
при всяка промяна в температурата, по малко,
производната също се променя, скоростта на промяна по малко,
изправени сме пред дилема
Имаме проблем: скоростта не е постоянна
трябва някак си да се справим с него
и механизмът, който използваме при метода на Ойлер
е да игнорираме проблема - представяме си че е константа
за, например, 2 минутен интервал
Представям си, че скоростта е константа за 2 минути
не е, но си представяме че е,
и ако тази скорост е постоянна за тези 2 минути
мога да разбера температурата след 2 минути
ОК, искам да знам Т(2) - температурата във време 2 минути,
2 минути след като обектът е поставен в стаята
Колко се затопля след тези 2 минути?
Затопля се с 3 градуса в минута,
и предполагаме, че е константа,
въпреки, че не е - игнорираме проблема
3 градуса в минута, за 2 минути
общо нарастване с 6 градуса
взимам тези 6 градуса, добавям ги към 5, получавам 11
и така намерих T(2)
вероятно не е точно,
защото си представихме някои неща,
но не е лоша прогноза.
Можем да направим нещо подобно, за да получим T(4) - да опитаме.