في الوحدة الفرعية الأخيرة قدّمت التقنيات النوعية،
أو التقنيات الهندسية، لحل المعادلات التفاضلية.
رأينا أنّه، برسم الجهة اليمنى للمعادلة بيانياً،
نستطيع أن نكتشف الخط المرحلي
ونحصل على صورة عامة لما تبدو عليه الحلول.
في الوحدة الفرعية هذه، سأقدّم طريقة أخرى لحل المعادلات التفاضلية
هذه تُدعى في بعض الأحيان الحلول العددية
لكن أحب أن أفكر بهم كحلول حسابية أو خوارزمية
أحب هذه الطرق كثيراً - إنّها متعددة الاستعمالات،
ومستعملة بشكل شائع جداً،
وإنّها تصل لقلب ما تعنيه المعادلات التفاضلية
من وجهة نظر الأنظمة الديناميكية.
إذاً،سأقدّم هذه المادة بثلاث أجزاء:
أولاً، سأعطي نظرة عامة عن الطرق الحسابية،
ثم في الجزء الثاني، والذي هو اختياري،
سأذهب لهذه الطرق بشيءٍ من التفصيل
بحيث يمكنكم ترميزهم بأنفسكم، إذا أردتم،
ومن ثمّ في الجزء الثالث من الوحدة الفرعية هذه،
سألخص، خذوا خطوة للوراء،
وقارنوا وغايروا عدد لطرق حل مختلفة.
الطرق الحسابية التي أود أن أقدّمها
معروفة بطرق اويلر.
دعونا نعود للمثال الذي بدأنا به:
قانون نيوتن للتبريد - هذا يصف
مقدار التغيير لدرجة الحرارة
T الكبيرة هي درجة الحرارة، t الصغيرة هي الزمن،
لشيء الذي بالأصل عند 5 درجات،
موضوع في غرفة درجة حرارتها 20 درجة.
نود أن نعرف درجة الحرارة بأزمنة لاحقة
نود كثيراً أن نجعل T الكبيرة كدالة للزمن،
لكن في هذه المقاربة
سأحاول أن أستنتج T الكبيرة، درجة الحرارة،
عند 2 دقيقة، 4 دقائق، 6 دقائق، وهكذا.
إذاً، نبدأ - أين يمكن أن نبدأ أيضاً - عند البداية.
نعرف أنّ درجة الحرارة هي 5،
ولدينا هذه المعادلة التفاضلية - هذه القاعدة،
إذاً أستطيع أن أستخدم هاتين الحقيقتين لأكتشف
مدى سرعة تغير درجة الحرارة،
عند الزمن الأولي، عندما t تساوي 5،
هذا ما تفعله المعادلة التفاضلية،
تخبرني - إن كنت أعرف درجة الحرارة،
تخبرني مدى سرعة تغير درجة الحرارة،
إذاً دعونا نفعل هذا.
إذاً، أستخدم المعادلة، المعرّفة لـ dT/dt،
مقدار التغيير لدرجة الحرارة، عند الزمن الأولي.
إذاً، فقط أسأل المعادلة - من خلال إدخال 5،
إذاً، T الكبيرة هي 5، 20 ناقص 5 هو 15،
الزمن 0.2، يعطيني 3 درجات بالدقيقة.
إذاً، هذه هي السرعة التي يسخن بها الجسم بشكل أولي
إذاً أستطيع أن أستخدم هذا المعدل لأكتشف درجة الحرارة عند وقتٍ لاحق،
- أوه - لكن يوجد مشكلة، والتي هي أنّ هذا المعدل ليس ثابت،
المعدل يتغير دائماً،
في أقرب وقت تتغير درجة الحرارة قليلاً،
المشتق يتغير، المعدل يتغير قليلاً،
إذاً، نحن في مُعضلة نوعاً ما.
إذاً، لدينا مشكلة: المعدل ليس ثابت،
إذاً، علينا أن نتغلب على هذه المشكلة بطريقة ما،
وآلية التغلب على المشكلة التي نستخدمها بطريقة أويلر
هي فقط أن تتجاهل المشكلة - فقط سنتظاهر بأنّ معدل التغير هذا ثابت
لـ ، دعونا نقول، مجال من دقيقتين.
إذاً، سنتظاهر أنّ هذا المعدل ثابت لدقيقتين،
إنّه ليس كذلك، لكن فقط سنتظاهر بأنّه كذلك،
وإن كان هذا المعدل ثابت للدقيقتين هاتين،
عندئذٍ، أستطيع أن أكتشف درجة الحرارة بعد دقيقتين.
حسناً، إذاً أريد أن أعرف (T(2 - درجة الحرارة T، عند الزمن 2 دقيقة،
دقيقتين بعدما وُضع هذا الشيء في الغرفة.
إذاً، كم يسخن في هاتين الدقيقتين؟
حسناً، إنّه يسخن بمعدل 3 درجات بالدقيقة،
ونتظاهر بأنّ هذا ثابت
إنّه ليس كذلك حقّاً لكن لكننا ستجاهل المشكلة فقط ونتظاهر
3 درجات بالدقيقة، لدقيقتين
هذه الزيادة الكلية هي 6 دقائق
آخذ الدقائق الـ 6 هذه، وأضيفهم لـ 5، أحصل على 11،
وبهذه الطريقة حسبت (T(2
- ربما ليس دقيق أو ربما ليس مضبوط
لأنّنا اضطررنا أن نفعل خدعة نوعاً ما
لكن في الواقع إنّه ليس بهذا السوء،
يمكننا أن نفعل شيء مشابه لنحصل على (T(4، إذاً دعونا نجرب هذا.