Η συνάρτηση σε αυτό το γράφημα δε θα μπορούσε να είναι η λύση
σε μια, αυτού του τύπου, διαφορική εξίσωση
Και να γιατί: Αυτή η διαφορική εξίσωση λέει οτι η παράγωγος,
ο ρυθμός μεταβολής του Χ,
είναι μόνο συνάρτηση του Χ και αυτό δεν ισχύει για τη συγκεκριμένη συνάρτηση.
Να ένας τρόπος να το δείτε αυτό:
Όταν το Χ ισούται με 5, εδώ, η συνάρτηση αυξάνεται, οκ
αλλά εδώ υπάρχει μια αντίφαση: η συνάρτηση μειώνεται.
Αν ο ρυθμός μεταβολής εξαρτάται μόνο απο το Χ,
δε μπορεί να έχει δύο διαφορετικές τιμές στην ίδια τιμή του Χ ίσον 5.
Αυτό είναι ένα σημαντικό σημείο, οπότε ας το γράψω.
Και πάλι, ο ρυθμός μεταβολής του Χ εξαρτάται μόνο από το Χ
Αυτό λέει αυτή η εξίσωση:
ο ρυθμός μεταβολής του Χ είναι μόνο συνάρτηση του Χ.
Ένας άλλος τρόπος να το πούμε αυτό είναι:
η ίδια τιμή του Χ - αν βάλω την ίδια τιμή του Χ εδώ
ας πούμε 5 - πρέπει να μας δώσει τον ίδιο ρυθμό μεταβολής
αλλά, εμφανώς, αυτό δεν συμβαίνει εδώ.
Βάζω 5 και παίρνω έναν θετικό ρυθμό μεταβολής,
βάζω 5 και παίρνω αρνητικό ρυθμό μεταβολής,
εδώ παίρνω άλλον έναν θετικό και ούτω καθεξής.
Έτσι, αυτή η συνάρτηση δεν είναι δυνατόν να είναι η λύση σε αυτή την εξίσωση
και μπορώ να το πώ αυτό με βεβαιότητα,
ακόμη και αν δεν ξέρω τι μπορεί να είναι αυτό το f(X)
και αυτό είναι ένα γενικό αποτέλεσμα:
διαφορικές εξισώσεις αυτού του τύπου δεν μπορούν ποτέ
να έχουν ταλαντευόμενες λύσεις.
Έτσι, ακόμη και αν αυτές είναι σημαντικές στην μηχανική και την επιστήμη
είναι λίγο βαρετές από την οπτική των δυναμικών συστημάτων:
μια συγκεκριμένη καμπύλη του Χ μπορεί μόνο να αυξάνεται ή μόνο να μειώνεται
ή να είναι σε κάποιο σταθερό σημείο. Δε μπορεί ποτέ να γυρίζει